2025届新高考数学精准冲刺复习独立性检验与回归分析

2025届新高考数学精准冲刺复习独立性检验与回归分析

考点梳理考情回顾高考预测一元线性回归模

型、回归方程2022全国乙卷（文、

理）第19题1.一元线性回归模型：主要

考查数据整理与分析，模型

转化与化归，公式推导与变

形等.2.独立性检验：主要考查模

型建立、数据整理、逻辑说

明、结果解释等.2×2列联表、独

立性检验2023全国甲卷（文、

理）第19题2022新高考Ⅰ卷第20题

（2023·全国甲卷节选）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：

选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照

组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正

常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结

果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排列为15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排列为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（1）

求40只小白鼠体重的增加量的中位数

m

，再分别统计两组样本中

小于

m

与不小于

m

的数据的个数，完成下面的2×2列联表：分组与m比较合计小于m不小于m对照组61420实验组14620合计202040

6142014620202040单位：只（2）

根据（1）中的列联表，能否有95％的把握认为小白鼠在高浓度

臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？参考数据：α0.100.050.001xα2.7063.8416.635

2.列联表与独立性检验（1）

关于分类变量

X

和

Y

的抽样数据的2×2列联表如下：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d（2）

独立性检验基于小概率值α的检验规则：当χ2≥

x

α时，推断

H

0不成立，即认为

X

和

Y

不独立，该推断犯错误的概

率不超过α；当χ2＜

x

α时，没有充分证据推断

H

0不成立，可以认为

X

和

Y

独立.利用χ2的取值推断分类变量

X

和

Y

是否独立的方法称为χ2独立性检验，

简称独立性检验.（3）

独立性检验中概率的含义独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是

否有关系的判断，χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握越大.

热点1

独立性检验[典例设计]例1

（2023·锦州模拟）某景区的调查组对400名不同年龄段的游客进

行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段

所占百分比如图所示：

（1）

请将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过

0.001的前提下，认为预订旅游与是否为青年有关；单位：人年龄段旅游合计预定旅游不预定旅游青年12075195非青年80125205合计200200400（2）

按照分层抽样的方法，从预订旅游的游客中选取5人，再从这5人

中任意选取3人，求这3人中至少有2人是青年的概率.

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[思维导图]解：（1）

零假设为

H

0：预订旅游与是否为青年无关.根据列联表中的

数据，经计算得到χ2≈20.263＞10.828＝

x

0.001.根据小概率值α＝0.001的

独立性检验，推断

H

0不成立，即能在犯错误的概率不超过0.001的前提

下，认为预订旅游与是否为青年有关.

总结提炼

利用独立性检验解决实际问题的主要环节与注意点：（1）

提出零假设为

H

0：

X

和

Y

相互独立，并给出在问题中的解

释.（2）

根据抽样数据，整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界

值比较.（3）

根据检验规则得出推断结论.（4）

解题时应注意准确计算，不可错用公式，准确进行比较与判

断.[对点训练]1.某中学高三（3）班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼

时间的情况，得到如下频率分布直方图，其中数据的分组区间为：[0，

2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].

（1）

从每周平均体育锻炼时间（单位：小时）在[0，4]的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率.（2）

已知全班学生中有40％是女生，其中恰有3名女生的每周平均体

育锻炼时间不超过4小时.若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常

锻炼，则能否有90％的把握认为经常锻炼与性别有关？

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解：（2）

由题意，易得2×2列联表如下：

单位：人锻炼性别合计男生女生经常锻炼281745不经常锻炼235合计302050零假设为

H

0：经常锻炼与性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到

χ2≈0.926＜2.706＝

x

0.100.根据小概率值α＝0.100的独立性检验，没有充

分证据推断

H

0不成立，即没有90％的把握认为经常锻炼与性别有关.

（2）

实际投产时，技术人员微调了该种零件的生产工艺.微调后，当生

产了1020个零件时，恰好完成订单.请结合（1）的结果，判断能否有95

％的把握认为微调生产工艺与零件的尺寸误差有关.

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635[思维导图]

总结提炼

理解

X

～

N

（30，σ2）（σ＞0）中参数的实际意义，利用正态分布

的性质解决实际应用问题.本题第（2）问着重于独立性检验的实际应

用，即建立解决问题的统计模型，不局限于简单的套用公式.

α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828

解：根据题意，可得2×2列联表如下：单位：人Ⅰ型病Ⅱ型病合计男性m女性2m合计3m

热点2

回归分析[典例设计]例3噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为

了了解声音强度

D

（单位：dB）与声音能量

I

（单位：W/cm2）之间的

关系，将测得的声音强度

Di

和声音能量

Ii

（

i

＝1，2，…，10）的数据

作了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值.1.04×10－1145.7－11.51.56×10－210.516.88×10－115.1表中

Wi

＝lg

Ii

.

（2）

根据表中数据，求声音强度

D

关于声音能量

I

的经验回归方程.

[思维导图]

总结提炼

非线性回归分析问题求解策略有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出

已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对

数函数等）的图象进行比较，挑选一种拟合得最好的函数，进行适当

变换，把问题化为线性回归进行分析，使之得到解决.[对点训练]3.为了了解某企业生产的某种产品的年利润与年广告投入的关系，该企

业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据如下表：年广告投入x/万元23456年利润y/十万元346811

年广告投入x/万元23456年利润y/十万元346811模型甲3.084.075.728.0311－0.08－0.070.28－0.030模型乙2.44.46.48.410.40.6－0.4－0.4－0.40.63.084.075.728.0311－0.08－0.070.28－0.0302.44.46.48.410.40.6－0.4－0.4－0.40.6（2）

为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.

②

分别计算模型甲与模型乙的残差平方和

Q

1及

Q

2，并通过比较

Q

1，

Q

2的大小，判断哪个模型的拟