1.4 全等三角形（解析版）

1.4全等三角形了解全等形的概念,会判断两个图形是不是全等形理解全等三角形的概念,学会判断对应元素的方法掌握全等三角形的性质,能利用全等三角形的性质解决相关的证明和计算问题.知识点一全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等形的形状、大小相同.注意：(1)两个图形是否全等,只与这两个图形的形状和大小有关,而与图形的位置无关(2)只有形状和大小都相同的图形才是全等形(3)全等形的周长、面积分别相等,但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形即学即练（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④【答案】A【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．知识点二全等三角形的概念和表示方法1.全等三角形的相关概念(1)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(2)全等三角形的对应元素:①对应顶点:全等三角形中,能够重合的顶点②对应边:全等三角形中,能够重合的边③对应角:全等三角形中,能够重合的角2全等三角形的表示方法全等用符号“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，图中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF,读作“△ABC全等于△DEF”其中点A和点D,点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.3全等三角形中对应元素的确定方法(1)图形特征法:①最长边对最长边，最短边对最短边②最大角对最大角，最小角对最小角位置关系法:①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边②对应角的对边为对应边,两个对应角所夹的边是对应边③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)字母顺序法:根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角归纳对应边、对应角与对边、对角的区别：对应边、对应角是两个三角形的两条边之间或两个角之间的关系而对边、对角是一个三角形中的边和角之间的关系，“对边”指与某个角相对的边，“对角”指与某条边相对的角.即学即练1（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）下列说法中正确的是（

）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【答案】C【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误；C、两个全等图形的面积一定相等，正确；D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断．即学即练2如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边．写出其他对应边及对应角．【答案】其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．【详解】解：∵△ABC≌△CDA，∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．知识点三全等三角形的性质1.性质全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等2.书写格式∵∴,,;,,提示全等三角形的周长相等,面积相等,对应边上的中线相等,对应角的平分线相等,对应边上的高相等.全等三角形的性质可用来证明线段相等,角相等.即学即练（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，

(1)若∠BED=140°，∠D=75°，求∠ACB的度数；(2)若BE=2，EC=3，求BF的长．【答案】(1)65(2)7【分析】（1）由三角形外角性质，得∠F=∠BED（2）由条件可推出BC=BE+EC=5，由三角形全等知BC=EF=5，故BF=BE+EF=7．【详解】（1）解：∵∠BED=140°，∴∠F=∵△ABC∴∠ACB=（2）解：∵BE=2，EC=3，∴BC=BE+EC=5∵△ABC∴BC=EF=5，∴BF=BE+EF=2+5=7．故答案为：7．【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关系是解题的关键．题型一全等图形识别例1（2022秋·浙江嘉兴·八年级校联考期中）观察下列图案，其中与如图全等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全等图形的定义：形状，大小完全相同，进行判断即可．【详解】解：图形与为全等图形．故选B．【点睛】本题考查全等图形的定义．熟练掌握形状，大小完全相同的两个图形，是全等图形，是解题的关键．举一反三1（2020·浙江金华·八年级期末）下列图形中是全等图形的是．（填序号）【答案】⑤和⑦【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形，故答案为：⑤和⑦．【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．举一反三2（2021秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市第四中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【答案】C【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．题型二利用全等图形求正方形网格中角度之和例2（2022秋·浙江·八年级校联考期中）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.【答案】45°【分析】观察图形可知∠3与∠1所在的直角三角形全等，则∠1=【详解】观察图形可知∠3与∠∴∠1=∵∠4=45∴∠1+故答案为：45°【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出∠1=举一反三1（2022秋·重庆荣昌·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=度．【答案】135【分析】作辅助线，使△ADB为等腰直角三角形，根据全等三角形△DFB≌△【详解】解：如图，连接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，由图可知，在△DFB和△DF=BE∠∴△DFB∴∠DBF=∵∠DBA=45∴∠1+故答案为：135．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．举一反三2（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1-∠2-∠3的度数为（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根据网格特点，可得出∠1=90∘，∠【详解】解：如图，则∠1=90∘，∠∴∠1-∠2故选：B．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．题型三将已知图形分割成几个全等图形例3（2021秋·北京西城·八年级校考期中）作图题将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．【答案】见解析【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．【详解】解：如图所示，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．举一反三1（2021秋·江西赣州·八年级统考期中）沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．【答案】见解析【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．【详解】解：如图所示即为所求．【点睛】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键．举一反三2（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B．【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.题型四全等三角形的概念例4（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）下列命题是真命题的是（

）A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等【答案】C【分析】根据全等图形的概念和性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形是3，3，3，故选项A中的命题是假命题；B、形状相同的两个三角形相似，但不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项B中的命题是假命题；C、全等三角形大小形状完全相同，所以面积一定相等，故选项C中的命题是真命题；D、面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高的两个三角形，故选项D中的命题是假命题；故选：C．【点睛】本题考查命题与定理和全等图形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个选项中的命题的真假．举一反三1（2019秋·浙江杭州·八年级期末）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】A【详解】解：根据全等三角形的定义，能够完全重合的三角形是全等三角形，故选：A.举一反三2（2020秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等腰三角形都全等【答案】C【分析】利用三角形全等的定义及性质解题即可．【详解】解：A．形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；C．完全重合的两个三角形全等，正确；D．两个腰不相等的等腰三角形不全等，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的性质及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键．题型五全等三角形的性质例5（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，

A．90° B．95° C．100° D．110°【答案】A【分析】根据△ABC≌△ADE，得出∠DAE=∠CAB，根据∠CAD=10°，【详解】解：∵△ABC∴∠DAE=∵∠CAD=10°，∴∠DAE+∴∠CAB=∴∠FAB=∵∠B=25∴∠AFB=180故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，求出∠CAB=55举一反三1（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，已知△ABC≌△DBE，AB=4，BE=10，则CD的长是．【答案】6【分析】根据全等的性质可得AB=BD=4，BC=BE=10，观察图形得CD=BC-【详解】解：∵△ABC≌△DBE，AB=4∴AB=BD=4，BC=BE=10，∴CD=BC故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的对应边相等是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）下列命题是假命题的是（

）A．同旁内角互补 B．全等三角形的对应角相等C．内错角相等，两直线平行 D．三角形的两边之和大于第三边【答案】A【分析】根据命题的定义一一进行判断真假即可解答．【详解】A、只有两条平行线形成的同旁内角才互补，所以这个命题是假命题，故选A；B、两个三角形全等，所以对应角相等，是真命题，故B选项与题意不符；C、根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行是真命题，故选项C与题意不符；D、由三角形的三边关系可判断，三角形的两边之和大于第三边是真命题，故选项D与题意不符；故选：A．【点睛】本题考查了命题的定义，熟悉掌握命题、定理、真理、推论的定义是解决本题的关键．单选题1.（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（

）A．FC=BD B．EF平行且等于ABC．∠B=∠ACB D．AC平行且等于DE【答案】C【分析】根据全等三角形的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：∵△ABC∴DF=BC，AC=DE，EF=AB，∠F=∠∴FC=DF-EF∥AB，AC∥DE，根据已知，得不出∠B=故选：C【点睛】此题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等．2．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）如图，△OCA≌△OBD，∠A=30°，∠AOC=80°，则∠B的度数为（

）A．30° B．70° C．80° D．90°【答案】B【分析】在△AOC中由三角形内角和180°可求出∠C，由全等三角形对应角相等可得【详解】解∶在△AOC中，∠∴∠C=又∵△OCA∴∠C=故选B．【点睛】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．3．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形，熟记定义是解题关键．4．（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）下列命题中是假命题的是（

）A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等C．全等三角形对应角相等 D．同旁内角互补【答案】D【分析】根据对顶角的性质可以判断A，根据平行线的性质可以判断B、D，根据全等三角形的性质可以判断C，即可得到答案．【详解】解：A.对顶角相等，是真命题，故A选项不符合题意；B.两直线平行，同位角相等，是真命题，故B选项不符合题意；C.全等三角形对应角相等，是真命题，故C选项不符合题意；D.两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质、平行线的性质、全等三角形的性质．5．（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）图中△ABC≌△ADE,∠DAC=100°,∠BAE=140°，则

A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D,∠BAC=∠DAE，所以∠【详解】解：∵△ABC∴∠B=∵∠BAD=∠BAC∴∠BAD=∵∠DAC=100∴∠BAD=在△ABG和△∠B=∴∠DFB=∴∠CFE=故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．二、填空题1．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEF，且∠A=55°，∠B=75°，则∠F=°．【答案】50【分析】根据三角形的内角和定理计算出∠C【详解】解：在△ABC中，∠∵△ABC∴∠F=故答案为：50．【点睛】本题主要考查三角形的内角和，全等三角形的性质的综合，理解并掌握三角形的内角和等于180°2．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，若△ABD≌△ACE，且∠1=45°，∠ADB=95°，则∠B=°．【答案】50【分析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．【详解】解：∵△ABD≌△ACE∴∠AEC=∵∠AEC=∠1+∴∠B=50故答案为：50．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．3．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2y-1，若这两个三角形全等，则x+y=．【答案】6或19【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．【详解】解：∵△ABC和△∴当3x-2=52y∴x+y=7当3x-2=72y∴x+y=3+3=6；∴综上所述，x+y=19故答案为：6或193【点睛】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．4．（2023秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，△ACE≌△DBF，若∠A=68°,∠E=78°,则∠FBD的度数是

【答案】34°/34【分析】根据三角形内角和定理求出∠ECA【详解】解：∵在△AEC中，∠A=68°∴∠ECA=180∵△ACE∴∠FBD=故答案为：34°【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解本题的关键．5．（2023秋·山西阳泉·八年级统考期末）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为22，DE=10，AC=4，则BC=．【答案】8【分析】利用全等三角形的性质得出AB=DE=10，AC=DF=4，BC=EF，再结合△DEF【详解】解：∵△ABC∴AB=DE=10，AC=DF=4，BC=EF，∵△DEF∴DE+EF+DF=10+EF+4=22，∴BC=EF=22-故答案为：8．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边相等是解题关键．三、解答题1．（2023秋·河北承德·八年级统考期末）如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△

(1)直接写出△ABC的面积为；(2)请在如图所示的网格中作出对称轴m；(3)请在线段AC的右侧找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB．【答案】(1)5(2)见解析(3)见解析【分析】（