专题02 五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（教师解析版）

专题02五大类数列题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1错位相减求和无需错位直接出答案】【题型2裂项相消巧妙变形问题】【题型3分组求和必记常见结论】【题型4含类求和问题】【题型5含绝对值求和问题】数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：当高考数列大题出现《与》或《与》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一步：作差第二步：列举第三步：求和→简称《知差求和》注意：列举时最后一项必须是已知{}的首项，，（）求通项公式。解：第一步：作差第二步：列举。。。。。。。。。。。 左侧 右侧第三步：求和口诀：左左加右右加，相互抵消用等差∴当高考数列大题出现《与》或《与》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解→简称《构造法》结论:已知数列中,,,求的通项公式.解:第一步：秒求所配系数==1第二步：寻找新的等比数列,是首项为,公比为2的等比数列,第三步：求新数列的通项即第四步反解验证：当也成立故答案为：当高考数列大题出现《与》或《与》递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解→简称《构造法》结论:已知：，时，，求的通项公式。解：第一步：秒求所配系数设∴秒求解得：∴第二步：寻找新的等比数列∴是以3为首项，为公比的等比数列第三步：求新数列的通项∴第四步反解∴验证：当时通项也成立故答案为：当高考数列大题出现《与》或《与》递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤第一步：等式两边直接同除以第二步：寻找新的数列第三步：秒求所配系数第四步：寻找新的等比数列第五步：求新数列的通项第六步反解→简称《直接除+构造法》结论：已知中，，（）求。第一步：等式两边直接同除以由得第二步：寻找新的数列∴成等差数列，验证：当也成立故答案为∴型，可化为的形式。待定系数法，其中在数列{}中，，当，①求通项公式.解：①第一步：秒出系数①式可化为：比较系数得，不妨取.①式可化为：第二步：出现新的等比数列则是一个等比数列，首项，公比为3.第三步：求新等比数列通项∴.利用上题结果有：第四步：反解.题型1错位相减求和无需错位直接出答案错位相减；形式必须是则求和：秒杀1卷子上书写第一步：寻找标准形式可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积第二步：列举①………………②①－②得？第三步：利用结论秒求草稿纸上书写第四步：化解结论求卷子上书写秒杀2卷子上书写第一步：寻找标准形式可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积第二步：列举①………………②①－②得？第三步：利用结论秒求草稿纸上书写则其中或第四步：化解结论求卷子上书写已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：秒杀1卷子上书写（1）快速求解通项当时，；当时，.不适合.综上所述，；⑵第一步：寻找标准形式由（1）可得.第二步：列举当时，；当时，①，得②，①－②得？第三步：利用结论秒求草稿纸上书写第四步：化解结论求卷子上书写，满足，因此，.1．已知各项均为正数的数列满足，且.(1)写出，，并求的通项公式；(2)记求.【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，，所以，当时，，，所以.当时，，，所以.当时，，所以当时，也符合上式.综上，解法二：因为，，，所以，当时，，，所以.当时，，，所以.因为，所以，即.所以，即.又，所以（2）解法一：由（1）得，即记则①，②①-②，得，所以，故.解法二：由（1）得，即.记，则.故.2．记.(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；(2)记是的导函数，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，.当时，.又当时，不满足上式，所以（2）①②①-②得，3．设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．(1)求数列与的通项公式；(2)数列的前项和分别为；（ⅰ）证明；（ⅱ）求．【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【详解】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，因为，可得，解得，又因为，可得，又由且，可得，解得（负值舍去），所以.（2）（ⅰ）证明：由，可得，所以，则.（ⅰⅰ）解：由，可得，则，可得，则，两式相减得，，所以，即4．已知数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)令，记为的前项和，证明：时，.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，作差可得，变形为，即，即，化简为，因为，所以，因为，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以，，作差可得，所以，，设，则在给定区间上递减，又故在是减函数，，所以当时，.5．设等比数列的前n项和为，，．(1)求；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，则，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，则，则，于是，两式相减得，即.6．已知数列的前项和为.(1)求；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，当时，，从而，当时，也满足，故.（2）由（1）可知，所以，从而，所以，所以数列的前项和.7．设数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知数列满足：，，则，，故为首项是6，公比为2的等比数列，故，即，适合上述结果，故；（2）设，则，设，故；，，作差得到，故，，故.8．已知是各项均为正数的数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，当时，，解得或（舍去），当时，，∴，∵，∴∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴.（2）由（1）知，，∴，∴，两式相减得，∴裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩在数列中，，又，求数列的前项的和.解：第一步：裂项∵∴第二步：裂项求和∴数列的前项和＝＝求证：证明：第一步：裂项设∵第二步：裂项求和∴＝＝＝∴原等式成立已知，若数列的前项和，则________．解：第一步：裂项因为，第二步：裂项求和所以，因此，即.1．已知是等差数列，，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，且，求的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为成等比数列，所以，解得．又是等差数列，，所以公差，故.（2）由，得，所以,又,当时，,又也适合上式，所以,则,所以.2．在正项等比数列中，.(1)求的通项公式：(2)已知函数，数列满足：.（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式（ii）设，证明：，【答案】(1)(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析【详解】（1）因为正项等比数列中，，所以.又因为，所以，进而公比，所以.（2）（i）因为，所以，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列.所以，即.（ii）.当时，左式，右式，左式＝右式.当时，下面先证明，，令，，，，，又，，即，又，所以..所以.即.综上：当时，.3．已知各项均为正数的等比数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为．求证：．【答案】(1)；(2)证明见详解.【详解】（1）记数列的公比为，则，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即.4．已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．(1)求的值；(2)若，求证：．【答案】(1)2(2)证明见解析【详解】（1）解法一：设的公差为，由①，得②，则②-①得，即，又，则；解法二：设的公差为，因为，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，则；（2）由得，即，所以，又即，则，因此则．5．已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）数列的前项和为，当时，当时，所以，又当时，也成立，数列的通项公式为.（2）由（1）可得，设数列的前项和为，则.6．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，当时，，经检验，满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）知：，所以.7．已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由①，当时，解得，当时，②，①-②，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，．经验证符合上式，所以．（2）由（1）知，，．则，故，所以，，，故.8．设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即．当时，，又适合上式，所以．（2），故．分组求和必记常见结论①等差数列求和公式：②等比数列求和公式：③④⑤求数列的前项和：，解：第一步：分组设将其每一项拆开再重新组合得第二步：分组求和当时，＝当时，＝求数列的前项和.解：第一步：分组设∴＝将其每一项拆开再重新组合得＝第二步：分组求和＝记正项等比数列满足，.等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）快速求解通项设的公比为，的公差为，，即，，，，解得或（舍去），，，，，，；第一步：分组依题意，，第二步：分组求和数列的前项和为，数列的前项和为，故.1．已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）选①，当时，，即，当时，（I），（II），（I）（II）得：，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.选②，当时，，即,当时，，即,当时，符合上式.所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以（2）因为，所以，所以.2．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.【答案】(1)(2)11【详解】（1）依题意，①当时，，②.①②两式相减得，即，因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，又，故数列的通项公式为.（2）依题意，即，因为，所以满足不等式的正整数个数为，即，.，因为，所以单调递增，当时，，当时，，所以的最小值为11.3．已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）得，则，故，，而随的增大而减小，所以，随的增大而增大，所以，因为对任意的，都有，所以.4．已知数列满足，，且．(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【详解】（1）因为，，所以，，.易知，所以，因为．所以是等比数列，首项，公比，所以．（2）由（1）可得，先证明左边：即证明，当时，，所以，所以，再证明右边：，因为，所以，即，下面证明，即证，即证，设，，则，设，，因为，所以函数在上单调递增，则，即，，所以，所以．综上，．5．已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可知，当时，；当时，由得，，两式作差可得，，也适合该式，故；（2）证明：由题意知，故，由于，则，故，即.6．已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，又，则，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.7．在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）等差数列中，由，得，而，解得，因此数列的公差，，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，由，得，整理得，因此正整数满足，从而得，所以的前k项和为.8．已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公比为，则，因为，所以，依题意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故显然，随着的增大而增大，，，所以满足的最大整数.含类进行求和问题我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出；第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示已知数列的通项公式，求数列的前项和.解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式不难发现，数列的项依次为间隔出现，所以,第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出①当为偶数时,第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.②当为奇数且时，第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示③当时,综上，已知数列的通项公式，求数列的前项和.解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式； 因为当为奇数时，第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出； ①当为偶数时, 第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.②当为奇数且时，第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示③当时, 又因为适合当为奇数且时.综上，1．已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以；（2）由（1）得，则，故，，而随的增大而减小，所以，随的增大而增大，所以，因为对任意的，都有，所以.2．已知数列是递增数列，前项和为，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为当时，，则，所以，两式相减可得，整理得，即.因为是递增数列，且，所以，则，即，所以数列是公差为的等差数列，即，经检验时成立，则.（2）由（1）知.当为偶数时，；当为奇数时，，综上所述，.3．在数列中，，且数列是等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.【答案】(1)；(2)220.【详解】（1）因为，所以.所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以.当时，，当时，也满足上式，所以.（2）由（1）知，.当时，.4．已知数列满足：，.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）显然，由得，又，则数列是首项为1，公差为的等差数列.由，得.（2）由（1）可知，所以.5．设是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，解得.当时，，两式相减得，即，又，数列是首项为1，公比为3的等比数列.数列的通项公式为.（2）由（1）知，，，当为偶数时，；当为奇数时，，.6．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和：(3)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）设数列的公比为，则由条件得，又，可得，则，因为，解得，故．对于，当时，，当时，由得，所以可得，可得，且也适合，故，所以，，即和的通项公式分别为，.（2）因为，所以．（3）由（1）可得，所以①，所以②，①②得，所以.7．在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，则解得所以.（2）（方法一）.（方法二）当为偶数时，当为奇数时，.综上，8．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，，又，则，即，而，解得，因此；数列中，当时，，由，得当时，，两式相减得，即，显然满足上式，因此，所以数列和的通项公式分别为.（2）由（1）知，，，因此当为偶数时，，当为奇数时，，所以数列的前n项和.含绝对值求和问题给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时如果数列为等差数列，为其前项和，那么有：①若则有②若则有如果数列为等比数列，为其前项和，那么有：已知各项都为正数的等比数列，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，，求.解：(1)快速求解通项设各项都为正数的等比数列的公比为，则，因为，，所以，解得，，所以，(2)第一步：秒求临界由(1)知，，故，第二步：利用结论当时，；当时，，故.已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求的值.解：(1)快速求解通项公差为成等比数列，解得或当时，；当时，，故或.(2)第一步：秒求临界∵0，∴=-1，此时．第二步：利用结论当时，当时，在公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：(1)快速求解通项设公差为，由、、成等比数列，得.解得.所以.(2)第一步：秒求临界因为所以.第二步：利用结论当时，，所以.当时，，所以.∴.1．已知数列的前n项和，且的最大值为．(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：由数列的前n项和，根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，即，解得，所以，

当时，，当时，（符合上式），所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，且当且时，可得；当且时，可得，所以数列的前15项和：．2．设等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，，，，解得，，故.（2）由（1）知，，，，，．3．已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求．【详解】（1）设等差数列的公差为，且．选择①：（1）因为，所以，解得．所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.选择②：因为，可得，因为，所以，此时，所