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文档简介
16四月2024边际分析弹性分析与经济问题的最优化复习:1.边际:表示自变量增加1单位时,函数的增量的导数
称为边际
常用的边际函数:边际成本:边际需求:边际收益:边际利润:2.弹性:函数
在点x处的弹性,记作
表示:当自变量变化1%时,函数变化的百
分数为常用的弹性:成本弹性;需求弹性;收益弹性2第七章第八节一、边际分析二、弹性分析三、经济问题的最优化边际分析、弹性分析与经济问题的最优化3一元函数的导数在经济学中称为边际;的偏导数二元函数一、边际分析和分别称为关于和的边际。边际的概念也可推广到多元函数的情形。
例如,某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除了关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略。41.边际函数定义:的偏导数都存在,设二元函数称为关于的边际。表示:当y保持不变而x改变一个单位时,函数z=f(x,y)的变化量
称为关于的边际。表示:当x保持不变而y改变一个单位时,函数z=f(x,y)的变化量
5例1设Cobb-Douglas生产函数为P(K,L)=20K0.3L0.7。其中P表示产量、K表示资本、L表示劳动。求解:P’K(1,1)及P’L(1,1),并解释其含义。P’K(1,1)=6(1)-0.7(1)0.7
=6P’K
=6K-0.7L0.7含义:
P’K=6表示当资本在1个单位时,每增加一单位,产量约增加6单位。称为资本的边际生产量。P’L=14K0.3L-0.3P’L(1,1)=14(1)0.3(1)-0.3=14含义:
P’L
=14表示当劳动在1个单位时,每增加一单位,产量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。6例2已知某企业雇佣熟练工x人,非熟练工y人,日产量由二元函数决定。已知该企业雇佣熟练工20人,非熟练工50人,若增加熟练工1人,试估计对产量的影响。解:根据题意,必须求得因为,所以,日产大约会增加1800单位。实际上,日产量增加的真实值为用來逼近是恰当的。72.边际需求设两种相关商品甲和乙的需求函数为:其中
为甲,乙商品需求量,分别表示甲和乙
表示乙商品的价格
保持不变的情况下,
甲商品的价格变化时,甲商品需求量的变化率,的价格.需求量
的偏导数为边际需求函数:称其为甲商品关于自身价格的边际需求;8表示乙商品的价格
保持不变的情况下,
称其为甲商品关于自身价格的边际需求;乙商品的价格变化时,甲商品需求量的变化率,的边际解释可与的边际解释类似.9
两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。
替代型:一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪肉和鸡蛋等。
互补型:一种商品的需求增加时,另一种商品的需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、CD机和光盘等。假设有两种商品A与B。p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格。函数Q1(p1,p2)表示商品A的需求函数,函数Q2(p1,p2)表示商品B的需求函数。则函数恒有下列关系:即:商品A的价格p1上升,则商品A的需求量会下降。商品B的价格p2上升,则商品B的需求量会下降。3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释10两商品在价格(x0,y0)处为互补型
表示当商品B的价格上升时,商品A的需求量减少;当A的价格上升时,商品B的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少。两商品在价格(p1,p2)处为替代型
表示当商品B的价格上升时,商品A的需求量增加;当A的价格上升时,商品B的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加。11例3两种商品A与B,当其价格分别为x与y时的需求函数为
f(x,y)=300-6x2+10y2(A的需求函数)
g(x,y)=600+6x-2y2(B的需求函数)试问这两种商品为替代型还是互补型?解:所以,两种商品为替代型关系。12二、弹性分析在一元函数处的弹性为它表示y在x处的相对变化率。弹性的概念也可推广到多元函数的情形。
例如:某品牌电视机的销售量是它的价格及其他品牌电视机价格的函数13通过分析其边际及可知道,随着及变化而变化的规律。进一步分析其弹性
可知这种变化的灵敏度。
前者称为对的弹性
;后者称为对的弹性,亦称为对的交叉弹性。这里,我们将主要研究交叉弹性及其经济意义。141.偏弹性函数
定义设函数
z=f
(
x
,y
)
在
(
x
,y
)
处偏导数存在,函数对
x
的相对改变量与自变量
x
的相对改变量之比
称为函数
z=f
(
x
,y
)
对
x
从
x
到
x+
x
两点间的弹性.
15当
x
0
时,
的极限称为f
(
x
,y
)
在
(
x
,y
)
处对
x
的弹性,记作或
即类似可定义f
(
x
,y
)
在
(
x
,y
)
对
y
的弹性
16假设有两种商品A与B。p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格。函数Q1(p1,p2)表示商品A的需求函数,函数Q2(p1,p2)表示商品B的需求函数。称:为需求量对自身价格的直接价格偏弹性。称2、需求价格偏弹性为需求量对相关价格的交叉价格偏弹性。17例4设某市场牛肉的需求函数为
Q1=4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1=10,相关商品猪肉的价格P2=8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:(1)牛肉需求的价格偏弹性为18例4设某市场牛肉的需求函数为
Q1=4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1=10,相关商品猪肉的价格P2=8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性为19例4设某市场牛肉的需求函数为
Q1=4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1=10,相关商品猪肉的价格P2=8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:3)由需求的交叉价格偏弹性,得即当相关商品猪肉的价格增加10%,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求量将增加0.02%.20例5随着养鸡工业化程度的提高,肉鸡价格(用表示)会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降5%,且猪肉需求量(用表示)对肉鸡价格的交叉弹性为
0.85,问明年猪肉的需求量将如何变化?将导致猪肉需求量的下降。
解由于鸡肉与猪肉互为替代品,故肉鸡价格的下降依题意,猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为
而肉鸡价格将下降
于是猪肉的需求量将下降
21也可用偏弹性函数来描述两种商品彼此为替代型还是互补型。假设有两种商品A与B。p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格。函数Q1(p1,p2)表示商品A的需求函数,函数Q2(p1,p2)表示商品B的需求函数。因为函数恒有下列关系:所以恒有:2、需求价格偏弹性22若两商品在价格(p1,p2)处为替代型
因为:则有:表示当商品A的价格不变,而商品B的价格上升时,商品A的需求量增加;当商品B的价格不变,而A的价格上升时,商品A的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加,两种产品是替代关系。23若两商品在价格(p1,p2)处为互补型
因为:则有:表示当商品A的价格不变,而商品B的价格上升时,商品A的需求量减少;当商品B的价格不变,而A的价格上升时,商品A的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少,两种产品是互补关系。24
小结:不同交叉弹性的值,能反映两种商品间的相关性,具体就是:当交叉弹性大于零时,两商品互为替代品;当交叉弹性小于零时,两商品为互补品;当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立的商品。25例6某种数码相机的销售量,除与它自身的价格有关外,还与彩色喷墨打印机的价格有关,具体为
求时
,(1)对的弹性
;(2)对的交叉弹性。
解(1)对的弹性为26当时,
(2)对的弹性为当时,
27三、经济问题的最优化例7:某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为:L=64-2x2+4xy-4y2+32y-14,求最大利润。解:由极值的必要条件解得唯一驻点(40,24).由可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。最大值为:L(40,24)=165028例8:某厂生产A、B两产品,产量分别为x和y(单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2(单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大?解:条件极值问题拉格朗日函数令解得唯一驻点:由实际意义可知,最大值为答:当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大利润为36.72万元。29
例9某工厂预估其生产函数为P(K,L)=100K1/4
L3/4,其中K与L分别代表资本和劳动力的单位数量。每单位的资本成本为200元,每单位的劳动力成本为100元。若每日所能使用的资本及劳动力成本限制为8000元,求日产量达到最大时资本与劳动力的配置数量。
解:问题转化成令其偏导数为0:30例10假设刘先生拥有一口矿泉,使用自有的泉源生产矿泉水且为小镇的唯一供货商,因为生产成本极低,此处不予计算。如果他的价格函数为p=60-0.01x,x≦6000,其中p表示每日可以卖出x公升的价格。求其最大收入。解:刘先生的收入函数为R(x)=(60-0.01x)x
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