平面问题的基本理论

§2-1平面应力问题与平面应变问题

在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，如果经过适当的简化和抽象处理，可以简化为弹性力学平面问题，将使计算工作量大为减少。一、平面应力问题图2－1等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。应力特征

如图选取坐标系，以板的中面为xy

平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：图2－1结论：平面应力问题只剩下三个应力分量：应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。xy共六个应力分量平面问题的基本理论xy

特征：1)长、宽尺寸远大于厚度。2)沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。注意：平面应力问题

z=0，但二、平面应变问题x

图2－2平面问题的基本理论如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。

设有很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。厚壁圆筒(1)几何特征水坝

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——

近似认为无限长(2)外力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征建立如图坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵向线为z轴。

设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x、y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝所有各点的位移分量都平行于xy

平面。——也叫平面位移问题水坝——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为x、y

的函数。如图所示三种情形，是否属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题平面问题的基本理论----空间问题三.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为x、y的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；——平衡微分方程——几何方程平面问题的基本理论（3）物理学关系：应变与应力间的关系。建立边界条件：——

物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；平面问题的基本理论（3）混合边界条件；§2-2平衡微分方程

无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。

下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡微分方程。从图2－1所示的薄板取出一个微小的长方形PACB

(图2－3），它在z方向的尺寸取为一个单位长度，在x方向和y方向上的长度分别为dx和dy。图2－3平面问题的基本理论

设作用在单元体左侧面上的正应力是。平面问题的基本理论图2－3右侧面上坐标x得到增量dx，该面上的正应力为，将上式展开为泰勒级数：略去二阶及二阶以上的微量后便得同样、、都一样处理，得到图示应力状态。平面问题的基本理论

对平面应力状态考虑体力时，仍可证明切应力互等定理。以通过中心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程：将上式的两边除以得到：令

，即略去微量不计，得：平面问题的基本理论下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：平面问题的基本理论平面问题的基本理论即有平衡微分方程：

这两个微分方程中包含着三个未知函数。因此决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。平面问题的基本理论

对于平面应变问题,虽然前后面上还有,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。解：选择坐标系如图。因表面无任何面力， 、、=0,故表面上在近表面很薄一层∴接近平面应力问题。例题1（习题2-3）试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中,其应力状态接近于平面应力状态。解：根据题意，本题