2023-2024学年九年级数学中考数学复习：基本图形

基本图形在中考几何中的应用

我们知道，教材中所选的题目和图形都是经过专家深思熟虑、精心筛选的，不少图形具

有典型性和代表性，其性质的应用具有一般性，我们常把这些图形称为基本图形.如果我们

在解题中能联想到这些基本图形及其性质，就能开启我们的解题思路，使问题得到快速、正

确的解答.下面以中考真题试卷为例说明.

例1如图1,AC是△AB。的高，8。=15,/84。=30°,/04。=45°,求4).

图1

解AC是AA8C的高，

:.ZACB=ZACD=90°

在用AABC中，

3C=15,ZBAC=30。，

:.AC=&C=\56

在用AACD中，

ZZMC=45°,

AD=6AC=15屈.

例2如图2,在AABC中，AC=8,NB=45°,NA=30°,求A3.

解过点C作垂足为。，

则ZADC=ZBDC=90°.

在放AADC中，

ZA=30o,AC=8,

:.CD=-AC=4,AD=—AC=4V3

22

在RfABCD中,

ZB=45°,：.BD=CD=4,

AB=AD+BD=4>/3+4.

C

图2

例3如图3,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m,在建筑物的顶部测得铁塔

底部的俯角为30。,测得铁塔顶部的仰角为45°,求铁塔的高度（精确到1m）.

图3

解过A点作AEJ_CD于E点，如图3,则四边形ABDE为矩形,

AE=BD=60.

在放AADE中，

DE^AE-tan30°=60x—=20^.

3

在RfAACE中，

•/ZC4E=45°,

AE—EC=60,

：.CD=CE+ED=60+20百=60+20x1.732®95.

答:铁塔的高度约为95米.

上述图1中的AAB。、图2中的ZVIBC、图3中的AAC。都是非直角三角形，但在解

题中可通过添加辅助线（作高），将其转化为直角三角形求解.教材在这一章编排时出现了3次

类似的图形和问题，从易到难、逐步加深，目的就是说明这个图形的重要性，我们要深刻掌

握其中“化斜为直”的解题方法.下面请看近几年各地中考题中利用基本图形解决问题的例

子.

题1如图4,港口A在观测站。的正东方向，OA^Akm,某船从港口A出发，沿北

偏东15。方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站。处测得该船位于北偏东60。的方

向，则该船航行的距离（即A5的长）为（）

（A）4km（B）2百km（C）2-72km（党）（6+1）km

北

B

°AC

图4

解过点A作于点。，如图7.

在Rt^AOD中，

ZAOD=30°,OA=4,

.\AD=-OA=2.

2

在Rt\ABD中，

48=NC4B—NAOB=75°—30°=45。，

：.BD=AD=2,

：.AB=OAD=2&

即该船航行的距离（即AB的长）为2垃km,故选C.

题2如图5,已知AABC是面积为由的等边三角形，AABC-AADE,

AB=2AD/BAD=45。,AC与OE相交于点F，则AAEF的面积等于（结果保留

根号）.

图5

解A48c是面积为由的等边三角形，作GW_LA6交AB于点M（如图5）,则

ZBCM=30°.

设A8=2KBM=《,CM=百左，由』xA8xCM=W，

2

解得左=1,；.AB=2.

AB=2AD,：,AD^-AB^\.

2

过点/作FHJ_AE交AE于点”，如图5.

MBCsMDE,

：.ZEAF=NBAD=45°,ZAEF=60°,AE=AD=\,

：.ZAFH=45°,NEFH=30°,

:.AH=HF.

设="/=x,

贝UEH=xtan300=3x.

3

.»+且x=l,

3

3-V3

解得x

2

M£F224

题3如图6,在一笔直的海岸线/上有A3两个观测站，A在B的正东方向，

AB=2（单位:km）.有-一艘小船在点尸处，从A测得小船在北偏西60。的方向，从8测得小

船在北偏东45。的方向.

（1）求点P到海岸线/的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点。处，此时，从B测得小船

在北偏西15°的方向，求点。与点3之间的距离.（上述两小题的结果都保留根号）

解（1）过点P作于点£>,如图6.设尸O=xkm,由题意，可知

NPBD=45°,ZPAD=30°,

在RtAPBD中，BD-PD—x.

在MA24D中，AD=6PD=£x.

AB=2,x+yfix=2,x=6-1.

答:点P到海岸线I的距离为(73-l)km.

(2)如图6,过点8作97J_A。于点尸.

在RfAABR中，

2

在AABC中，NC=180°—NB4C—NABC=45°.

在RfABCF中,BC=6BF=®

答:点C与点B之间的距离为V2km.

题4如图7,已知AABC.按如下步骤作图:①以A为圆心，AB长为半径

画弧;②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点O;③连结3D,与AC交于点E,

连结AD,CD.若ABAC=30°,ZBCA=45°,AC=4,求3E的长.

解AB=AD,BC=CD,AC=AC,

：.AA3C咨AADC,ABAC=ADAC.

AB=AD,

：.AELBD,即ACLBD

在MAASES,

ABAC=30°,AE=&BE.

在RfABEC中,

图7

NBCE=45。,：.EC=BE.

AE+EC^AC=4,

6BE+BE=4,

解得BE=2j5—2.

题5如图8,四边形ABC。与四边形AEEG都是菱形，其中点C在AF'上，点及G

AB

分别在BC,CO上，若NB4Z)=135°,NE4G=75°,则nl一=

AE

图8

解­.ABAD=135°,ZEAG=75°,四边形ABC。与四边形A£FG都是菱形,

r.ZB=180。—ZBAD=45°,

ZBAE=ZBAC—ZEAC=30。.

过点石作用/_1_48于点M,如图8,设£M=x,在用AAEM中，

NM4£=30。，

AE=2EM=2x,AM=氐.

在RtABEM中，

ZB=45°,：.BM=EM=x.

.ABy/3x+x6>+1

则n一=-------=------

AE2x2

题6已知:如图9,在AA6c中，。是43边上一点，圆。过。,B,C三点,

N£>OC=2NACD=90°.⑴求证:直线AC是圆。的切线;(2)如果ZACB=75°，圆。的半

径为2,求8。的长.

图9

解(1)■OD=OC,NDOC=90。,

:.ZODC=ZOCD=45°.

•：ZDOC=2