高考数学一轮复习 高考达标检测 圆锥曲线的综合问题-直线与圆锥曲线的位置关系 文试题

高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题一一直线与圆锥曲线

的位置关系

一、选择题

1.已知过抛物线/=4x的焦点厂的直线/交抛物线于46两点，且点4在第一象限,

若14内=3,则直线/的斜率为（）

A.1B.y/2

C.小D.272

解析：选D由题意可知焦点尸（1,0）,设力（心，力），

由|/尸|=3=%+1,得升=2,又点/在第一象限，

故/（2,2啦），故直线/的斜率为

2.若直线y=4x+2与抛物线/=矛有一个公共点，则实数在的值为（）

1

-O

8B.

C.4或0D.8或0

o

y=kx~\~2,

解析：选C由«2得4y+2=0,

y=x,

若k=0,直线与抛物线有一个交点，则尸2,

若上产0,则4=1—84=0,.•.4=4，

O

综上可知4=0或

O

22

3.已知双曲线G5一方=130,力0）,过点〃⑶6）的直线/与。相交于儿8两点,

且的中点为M12,15）,则双曲线C的离心率为（）

3

A.2B.-

cRlD更

「52

解析：选B设/（小，/J,夕（矛2,现），

由48的中点为M12,15）,得汨+用=24,y+角=30,

(xxy{

——N=1,

由ut两式相减得：=…JC

/父ab

[-a2-7b2=1，

rJ1一加b为+及4b2

人xI一生/yi+j25c72'

16—6

由直线小的斜率A=—=l，

4〃F5

..必=1,则n]=『

c/7}3

・,•双曲线的离心率8=-=\/1+-?=不

a\]a2

4.已知抛物线C：/=8不与点加一2,2）,过。的焦点且斜率为4的直线与。交于4B

两点.若MA♦MB=O,则k=()

1J2

A.-B.--

C.^/2D.2

解析：选D如图所示，设厂为焦点，取的中点只过46G1已私

分别作准线/的垂线，垂足分别为C,H,连接MF,MP,K//

由正•砺=0,知例L监，贝1」|朋=仙8|=3（|46|+的），

所以屈0为直角梯形倒函的中位线，V\

所以MP//AG//BH,所以NGAM=NAMP=AMAP,

又|/G|=|朋，AM为公共边,所以的0△儿（/',

所以/加部=/"/仁90°,则物」四，所以4=一；=2.

KMF

5.已知Q是双曲线r—£=l（a>0,6>0）的右焦点，A,8分别为其左、右顶点.0为

ab

坐标原点，〃为其上一点，加Ux轴.过点力的直线/与线段站交于点反与y轴交于点机

直线应与y轴交于点M若31aM=2|〃M，则双曲线的离心率为（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：选C如图,设/(一a,0),6(a,0),"(0,24，MO,一34.

则直线4"的方程为y=—x+2m,直线m的方程为y=-x—3加

d.3.

・・,直线•曲」的交点〃（C,为），

.2me,3

+2/=-3m,则(=5,

a-------a

双曲线的离心率为5.

6.斜率为1的直线/与椭圆1+/=1相交于46两点，则1/引的最大值为（）

A.2B.芈

5

C迺D.辿

O0

解析：选C设48两点的坐标分别为（乂，必），（%,%）,直线，的方程为尸x+3

[x+4y=4,、

由《消去力得5x+8Zx+4（f—1）=0.

[y=x+t

.84J

则ml汨+至=一三£,X\X2=---------.

2

/.|力用=[1+，\x\—x2\=yji+Jc•yj_X]+x2一"—

=哈广

故当t=o时，I侬=斗近.

二、填空题

9

7.焦点是尸（0,5蛆），并截直线y=2x—1所得弦的中点的横坐标是,的椭圆的标准方程

为.

22

解析：设所求的椭圆方程为4+备=13力0）,直线被椭圆所截弦的端点为4（小，力）,

3.u

B〈xz,y2）.

由题意，可得弦16的中点坐标为（笠上空2

+2+3

小

B-2-yl27-

7,

22

将出8两点坐标代入椭圆方程中，得，

A

_6

两式相减并化简，得得=一匕二更•上誓=-2X一=3,

bX\—x2X\~vXz

7

所以才=3反又（?=才一Z?2=50,所以#=75,I）=25.

22

故所求椭圆的标准方程为长+费=1.

（0Zb

答案：7i+25=1

22

8.经过双曲线当一£=l（a>0,6>0）的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只

ab

有一个交点，则该双曲线的离心率为.

22

解析：：经过双曲线当一£=l（a>0,6>0）的右焦点，

倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，

・•・根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，

a

/.■^=tan60°=小,即

/.c=y]a+l}=2a,故e=^=2.

答案：2

9.抛物线f=4y与直线x—2y+2=0交于儿8两点，且48关于直线y=—2X+R

对称，则/的值为.

解析：设力（小，%）,B（X2,鹿），

f/=4y,

联立，c-八消去必得x—2x—4=0.

[x~2y+2=0

„,,Xi+及

则X1+怒=2,---=1.

1V\~\~y-i3

「・力+度=5（X1+至）+2=3,.2=]•

VJ,8关于直线p=-2x+%对称,

・・・AB的中点在直线y=—21+加上,

37

即引=—2义1+/〃，解得〃=].

7

答案：]

三、解答题

10.椭圆G5+/=l(a>6>0)的离心率为平，过右焦点K(c,0)垂直于x轴的直线

与椭圆交于A。两点且1。0=乎，又过左焦点月(一c,0)作直线/交椭圆于两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若椭圆C上两点46关于直线/对称，求△?)仍面积的最大值.

9A2AR

解：(1)由题意可知I户。|=2=子y.①

3o

又椭圆的离心率e=*="1-&=哗,则与②

3\lQo3o

由①②解得a?=3,4=2,

22

椭圆的方程为*+5=1.

OLi

(2)由(1)可知左焦点£(—1,0),

依题意，直线/不垂直x轴，当直线/的斜率在W0时，可设直线/的方程为y=〃(x+

l)(AW0),则直线46的方程可设为y=—%+R，力(小，力)，6(如先)，

整理得(2尸+3)e一6kmx+3出帘一6六=3

4—(一Gk/n)'—4X(22+3)—6片)>0,

则m/(-2/(-3<0,③

6km3—苏一6六

为+也=丁不?小热=2如+3•

设四的中点为C(xc,3，

.X]+x23kni2片m

则n超=5?不？7f=27+3-

2^3+1}

•.•点。在直线1上，

乙KIJ

3

则/z?=-2A—1（4）

此时m—2—j2=M{+^+10>0与③矛盾，故4W0时不成立.

当直线/的斜率4=0时，力（照，㈤，6（照，一㈤（照>0,外>0）,

仍的面积S=；•2yo•Ab=AbJb.

..xo1^?b_^6.v近

.勺十万一132■•万一亍岗加・・施乂）£亍.

当且仅当守苦=3时取等号.

.../XAOB的面积的最大值为竽.

11.已知抛物线区/=2px（p>0）的焦点T7,6上一点（3,而）到焦点的距离为4.

（1）求抛物线夕的方程；

（2）过尸作直线],交抛物线£于46两点，若直线中点的纵坐标为一1,求直线/

的方程.

解：（1）抛物线£：/=2叱3>0）的准线方程为x=一枭

由抛物线的定义可知3—1一啰=4,

解得0=2,.•.抛物线£的方程为/=4x.

⑵法一:由（1）得抛物线6的方程为/=4x,焦点/（1,0由

设/,，两点的坐标分别为4（汨，力），〃（入2,现），

悌=4汨，

%=4如

两式相减，整理得匚匕=~^（小/也）.

X2-X\72+yi

・・•线段4?中点的纵坐标为一1,

44

・・・直线1的斜率3—r-=——:-^^=一2,

现十刃—1X2

・,•直线/的方程为p-0=-2(x-l),即2x+y-2=0.

法"由(1)得抛物线后的方程为y=4x,焦点厂(1,0),

设直线/的方程为x=〃少+1,

由彳,消去x,得/—4〃》一4=0.

[x=my+l

设48两点的坐标分别为力(汨，y),B(xz,先)，

•・•线段47中点的纵坐标为一1,

.必+%4r_1

••2一2一—L解痔m一—之，

J直线/的方程为x=一•+L即2x+y—2=0.

22

12.(2018•海口调研)已知椭圆C：鼻+£=l(a>6>0)的左，右顶点分别为4B,其离

ab

心率e=；，点M为椭圆上的一个动点，△始占面积的最大值是2m.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过椭圆C右顶点6的直线/与椭圆的另一个交点为。，线段故的垂直平分线与y

轴交于点P,当下•商=0时，求点。的坐标.

1

解：(D由题意可知<X2他2

2一=

==炉+乙

解得a=2,b=小,所以椭圆方程为!+m=1.

AO

(2)由⑴知8(2,0),设直线划的方程为尸以十-2),D(x\,%),

把尸内x—2)代入椭圆方程1+4=1,

TLO

整理得（3+4始）x2-16炉x+16a2—12=0,

1648〃一6“一6一126

所以2+用=3+41^^=3+4垢,则3+4户3+4A2

(8妙一6左、

所以劭中点的坐标为13+4,3+4/J'

则直线物的垂直平分线方程为

一6A

L3+44

又r一如•―PD=O,即/（2,一巾2k7、上<（讦8^-稻6正—1司4公=°，

644+28炉一36

化简得-3+4如*=0=>64A'+28/-36=0,

解得4=±*故（o,才或（o,—

［能力自选题|

22历

1.已知椭圆C：刍+S=l（a>6>0）的短轴长为2,离心率为手，设过右焦点的直线/与

3.DZ

椭圆C交于不同的两点4B,过力，6作直线x=2的垂线力只BQ,垂足分别为巴。记乂

=」“'f、若直线/的斜率则A的取值范围为

22历

解析：...椭圆G了+方=15力。）的短轴长为2,离心率哈,

2=2,

.・.<£=*,解得名=也，Z?=c=l,

azv

、才=F+cf

2

.•.椭圆c的方程为/+/=i.

♦.•过右焦点的直线/与椭圆,交于不同的两点4B,

二设直线/的方程为尸内x—l),

(2

；+/=1,

联立<2得(22+1)丁―442才+242—2=0,

、y=kx—\

设4(xi,a),8(x2,72),y1>%,

nil4*2左一2

川小+生=2^+1'汨型=21+1'

.」一■+502—小+2一及

-=~[PQ\~~y-yi-

___________4—小+题___________4—小+用______

kM—1-kx2—\/c\]~汨+题一'~2-4XIX2

4-

=―,4一两屋

\(4A2\声与k\l^k-

A\l27+Tj-4X^+T

,:k%B

.•.当衣=/时，儿皿=2+三当*f+8时，/lnin-^2,

二A的取值范围是卜作，平].

答案：(隹乎]

2.已知动点材到定点尸(1,0)的距离比材到定直线才=-2的距离小1.

(1)求点M的轨迹。的方程；

(2)过点/任意作互相垂直的