版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第14讲圆锥曲线垂径定理
-.问题综述
i.圆中的垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.(在这里我仅研究垂直平分
弦)
如图0-1,在圆。中,已知点M是弦45的中点,则。0,他.
2.椭圆与圆的联系
(教材《选修2-1》第41页例2)
如图0-2,在圆d+丁=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,。为垂足.当点尸在圆上运动
时,线段包)的中点用的轨迹是什么?为什么?(所求得的轨迹方程是々+y2=l.)
4'
(教材《选修2-1》第50页B组第1题)
如图0-3,,点M在b的延长线上,且已4=3.当点P在圆x:+y2=4上运动时,求点M
10Pl2
的轨迹方程,并说明它时什么曲线.(所求得的轨迹方程是仁=1.)
49
由上述两道习题推广到一般情形:
="(a>0)上任取一点P,过点P作x轴的垂线段P£),点M在QP上,若瑞^=履
在圆x2+y2
(2>0,且兀片1),则当点P在圆Y+y2="上运动时,点乱的轨迹方程是
22
(0+-^~7=1(%>0,且;Lwl),当。<4<1时,表示焦点在x轴上的椭圆;当几>1时,表示焦点在y
a~矛
轴上的椭圆.)
22
特别地,当;1=1时,椭圆f+仁=1即为圆/+丁=/.
a~A~a~
由此,我们可以将椭圆看成是由圆升缩而成的,圆中某些性质也可以类比拓展到椭圆,本专题就圆的垂径
定理在椭圆.双曲线中的拓展.应用加以总结.
二,典例分析
类型1:椭圆中的垂径定理
【例1-1】已知椭圆夕+今=1(〃>6>0),不垂直坐标轴直线交椭圆于A,3两点,M为线段43的中点,直
线他和的斜率分别为%,MM,求证:kk=~.
ABOMa
图1-1
证法1:如图1-1,设?1(%,凶),3(9,%),用(%),%)・则断=之一■",k°M='.
X2―王玉)
^_+2i=i
因为k:b:,两式作差得立J.+2£?1=O,即江&=一4,
X,ab~%]-xx+xa
bv=12]2
于是2i二&•&=£.所以%%=一上.
x{-x2x0aa
证法2:设直线4?的方程为丁=代+机,设A(x,yJ,B(A^,y2),M(x0,y0).
y=kx+m
由<丁y,消y得W+dk1+2kma2x+cTr^-//=(),
hU
所以N+x2"/氏2,于是%+必+占)+2"=/勺1•
所以52吗1;2、J2咚22,],于是弓OM“=&=-丝2.
(b+akb+ak)x0ka
因此“AB-&OM=〃(一今")=一「".
证法3:令卜喝=y,则x'2+y,2=i.原题设中的点A(X"J,见“2),M1,%)分别对应单位圆中的
点4卜:,乂'),8卜2',(),"■',为'),且M'是线段48'的中点.由圆的垂径定理由砥7r&*=T.
又因为心=辽="3上3总兽=吗上.*,
Xxaa
i~2axx-ax2/axQ
所以砥8Mow=砥W---&=—'&W,koM=一一~•
aaaa~
【方法小结】三种解法分别从三个不同角度给出解析,解法2是解决直线与椭圆问题的通法,解法3利用的是
仿射变换转化为直线与圆的问题求解.该问题是与弦中点有关的问题,故解法1利用点差法大大简化了运算.
★椭圆中垂径定理的拓展
拓展一:割线转切线
【例1-2】已知椭圆方+我=l(a>b>0),设直线/与椭圆相切于点M,求证:k,-kOM=-^.
证明:如图1-2,设“(X。,%),则切线/的方程为竽+笔=1,$
所以切线/的斜率为《=-空于是《/=-a4.(
ay。'_rop-rv
【方法小结】该问题也可以看成是例1-1中割线的极限位置为切线.、一一/
图12
拓展二:平移中线(中线转变中位线)
V-2V2
【例1-3】已知椭圆一^十斤=1(〃>Z?>0),点A,3是椭圆上关于原点对称的两点,点M是椭圆上异于A,3的任
、、b~
意一点,求证:•38=一/・
证法1:设点A(x,x),5(f,-M0。,%),
22
则…北%+x%-y
x-2o
o+X入0—X
2
KX
+
至
2两式作差,得启=一/,于是4
laK
2
2%
+
4溟
证法2:如图1-3,取MB的中点尸,连接OP,则OP〃M4.
所以
【方法小结】找到该问题中各线段的几何关系易知,该问题又可以回到例17中的垂径定理.
【例1-4】(教材《选修2-1》第41页例3)如图1-4,设点A,8的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线M4,
MB的斜率之积是-3,求点M的轨迹方程.
9
解析:设点M(x,y),则{1M='(xx5),5=-^-(XH—5),
x-5x+5
由条件有
22
化简,得点M的轨迹方程是争高=1(xw±5).
V
b24
【方法小结】该问题实际是与例1-3题型对应的逆命题,如取的中点P,则k”,、・嗫-------二——
a29
类型2:双曲线中的垂径定理
【例2-1】已知双曲线「-亲■=l(a>0*>0),不垂直坐标轴直线交双曲线于A,B两点,M为线段4?的中
,2
点,直线他和OM的斜率分别为勉,*,求证:kABkOM=^.
(T
证明:略(同例1-1方法1和方法2),如图2-1.
【方法小结】事实上,垂径定理之斜率之积为常数的这一性质,对于有心圆锥曲线均成立.我们知道,双曲线
方程与圆方程.椭圆方程一样时关于x,y的二元齐次方程,我们可以对垂径定理作一个归纳,如下:
★圆.椭圆.双曲线中垂径定理的统一
2
【定理】设点〃是有心圆锥曲线匕+±v=1(,〃>0,〃>0,或〃?”<o)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦
mn
Vj
的中点,则k-k=.
AH0Mtn
证明:设4(片,乂),8(%,%),则尤皿=1,k0M=—.
X2一九I”0
两式作差得五二三+上£=0,所以2_»-)±匹=一",
mnx—x2芭+x2m
即上也.&=_2.所以后“心“=_K
x^-x2xQmm
特别地,当机=">0时,该定理即为圆的垂径定理.
r2A2
【例2-2]如图2-2,已知双曲线0-4=1(。>0/>0),设直线/与双曲线相切于点M,求证:《•自
ab~a
证明:略(同椭圆中的例1-2)
【例2-3】如图23已知双曲线---=1(〃>0,/?>0),点A,8是双曲线上关于原点对称的两点,点M是椭圆
上异于A,8的任意一点,求证:k-k=--.
MAMfia"7
证明:略(同椭圆中的例1-3)
【例2-4】(教材《选修2-1》第55页探究)如图2-4,点4,8的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线M4,MB
相交于点M,且它们的斜率之积为3,试求点"的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.
9
解析:略(同例1-4).
【方法小结】综合例1-4和例2-2,可以对此类斜率之积为定值的轨迹作一个归纳,如下:
★动点与两定点所连直线斜率之积为常数的轨迹
【例2-5】(教材《选修2-1》第80页复习参考题A组第10题)已知人钻。的两个顶点A,3的坐标分别是
(-5,0),(5,0),且AC,3C所在直线的斜率之积等于〃7(,“二0),试探求顶点C的轨迹方程.
解析:设点C(x,y),则Me=一~—(xW-5),k=—―(x#5)»由己知得
x+5BCX—5
------------=m(x^±5,in*0)
x+5x-5'7
整理成
—-------=1(X7i±5)
2525m'7
当机<(),且加工一1时,点C的轨迹值椭圆(除去(-5,0),(5,0)两点),且当初<-1时,椭圆焦点在y轴上,
当一1</<0时,焦点在x轴上;
当〃7>0时,点C的轨迹是双曲线(除去(-5,0),(5,0)两点),且焦点在x轴上.
当机=-1时、点C的轨迹是圆(除去(-5,0),(5,0)两点).(其中NABC即为圆的直径所对的圆周角,为直
角)
【方法小结】该问题中启示我们,动点与两个定点连线的斜率之积为非零常数时,动点的轨迹可能是圆、椭
圆、双曲线.
22
【例2-6】如图2-5,直线A5与双曲线*■-亲■=1(a>0力>0)的两条渐近线交于点4,B,且点M是线段
AB的中点,求证:kA[i,kOM——.
2222
证明:由题意有,双曲线十点=1(“>0/>0)的渐近线为5-1=0.
设A(X1,yJ,8(占,%),M5,%).则心尸出”,府”=&.
々一芭与
-o,,,,
因为I:='两式作差得二一厘"即—…=4
X)Xj
-x2+x2a~
于是江&.%=3所以勤.%=£.
Xj-x,x0aa
【方法小结】此问题中的点A.8虽然是分别在两条渐近线上的点,从上述解答所用的渐近线方程易知,笔
者在此依然将A,8两点视作时关于x,y的二元二次齐次方程所表示曲线上的两点,其解答过程类似于椭圆与
双曲线相关例题的解答.
★类型1,类型2思想方法归纳:
1.圆.椭圆.双曲线中的垂径定理
如图2-6,点〃是曲线的弦的中点,若将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆,则有:
(因为在椭圆中,有一t=_dW=e2-l,在双曲线中,有与=匚且=e2_1.)
acTaa
2.圆.椭圆.双曲线中切线与中心和切点连线斜率之积
如图2-7,已知直线/是在各曲线上点M处的切线,若将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆,则有
kjkoM=/-1
图2-7
3.过圆.椭圆.双曲线中心的弦有关的斜率之积
如图2-8,AB是过曲线中心的一条弦,点M是曲线上不同于A3的任意一点,若将圆看作是离心率e=()
的特殊的椭圆,则有
kMA.&M8=/-1
()1(2)(3)
图2-8
以上各结论都可以回归到第一种类型.
类型3:垂径定理的应用
题型一:与角度有关的问题
22A
【例3-1]已知椭圆C:*•+方=1(“">0)的离心率6=券,4、3是椭圆的左右顶点,P为椭圆与双曲线
二-21=1的一个交点,令乙PAB=a,ZAPB=P,则一厚一=
78cos(2a+/7)
八y
图3-1
【解析】令NPBx=y,由椭圆的垂径定理可知:tana-tany-e---
cos夕_cos(7-a)_cos/cosa+sin/sincr_1+tana•tan/_3
cos(2a+/)cos(7+a)cos/cosa+sin/sina1-tana•tany5
【方法小结】其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法,并不影响题目的解答.两顶点一动点的模型要很快的联想
到第三定义,那么剩下的任务就是把题目中的南转化为两直线的倾斜角,把正余弦转化为正切.题目中的正余弦
化正切是三角函数的常见考点.
【变式3-1]已知双曲线C:x2-y2=2019的左右顶点分别为A8,尸为双曲线右支一点,且NEABEN4P3,
求ZPAB=.
【解析】令0.1,NPBA=0e0仁,则夕=5a,如图3-2.由双曲线的垂径定理可知:
图3-2
tana-tan/}—tana-tan5a=/-1=1.
则
(TV_y7V_7T
tana=-=--t--a--n-----5a\=>a=-----5a=>a=—.
tan5a(2J212
题型二:与均值定理有关的问题
X2V2、
【例3-2】已知A、3是椭圆系+齐=1(。>匕>0)长轴的两个端点,M、N是椭圆上关于x轴对称的两点,直
线AM、8N的斜率分别为给k2,且空”0.若闷+网的最小值为1,则椭圆的离心率为.
【解析】由题意可作图3-3,如下:
图3-3
2
连接MB,由椭圆的第三定义可知:kAM-kBM=e-1=—而%/=-4咖=•'•&化
a
同+同N2振丽-=1=>-=
【方法小结】合理利用M,N的对称关系是解题的关键,这样可以利用椭圆的垂径定理将两者斜率的关系联系起
来,结合“一正”“二定”“三相等”利用均值定理即可用。为表示出最值1,进而求出离心率.
22
【变式3-2]已知A、3是椭圆*■+方=1(“>匕>0)长轴的两个端点,若椭圆上存在。,使NAQ3=与,则椭
圆的离心率的取值范围为.
【解析】(正切+均值)
令。在x轴上方,则直线04的倾斜角为ae0,1,直线Q8的倾斜角为/egn。
八八n「乃1/.cn(c\tan/?-tana
NAQBe——、4,tanZAQB=tan(S-a)=------------
|_2」')l+tan/?tana
由椭圆的第三定义:tancrtan,则tan/7=——2---
,,/a八"2ftoarn*axv
+tana
2-一tana
带入可得:tan\-tana=crtana
1+tan/?tana
•tana
(取等条件:tana=2,即Q为上顶点)
而tanx在单增,则Q为上顶点时(乙4。限「所以此时ZAQ8亭,故ee[争J
题型三:与弦的中垂线有关的问题
【例3-3】已知椭圆C:?+[=l,试确定机的取值范围,使得对于直线/:y=4x+,〃,椭圆C上有不同两点关
于直线/对称.
解析:设A,8是椭圆C上关于直线/对称的不同两点,弦43的中点为则由垂径定理有
又怎8=一“所以心用=3,即%=3X0.
又因为点M在直线/上,且在椭圆C内,所以
3x=4x()+m
02
11Vc2.
=---\-3m"<1.
4
解得,-3<〃?<3,故所求实数机的取值范围是-独1<胆〈独1.
7137131313
【方法小结】例3-3椭圆中弦的垂直平分线的横截距与纵截距的范围求解,利用垂径定理大大减少了运算量.(注:
如果是解答题,垂径定理的结论需要利用点差法给出.)
22
【变式3-3]已知A,B是椭圆二+4=1(。>人>0)上两点,弦他的垂直平分线交x轴于P(x0,O),求证:
b~
a2-b2a2-b2
<』<-
a-------a
证明:若回平行于x轴,则%=0,显然不等式成立.
若至不平行于x轴,设弦他的中点为弦AB的垂直平分弦为/,由垂径定理有
,,b2
又怎8,々=一1,且%/=)■,%=———,所以
%X]-X。
即玉,=J幺玉,因为-4<玉<。,B.a>b>0,所以一^^-<毛<匕’-.
a~aa
题型四:与长轴有关的问题
【例3-4】已知椭圆C:]+y2=i的左.右顶点分别是A,B,设点P是直线x=2上任意一点(除与x轴的交
点),连接E4交椭圆于点C,连接3c.过点P作3c的垂线,垂足为“,求证:直线尸”过定点.
证明:设点P(2/)(rw0),如图3-4,
于是直线P"的方程为yT=£壬(x-2),
故直线尸”过定点(1-巫,0.
I2J
【变式3-4】已知椭圆E:]+y2=i的左.右顶点分别是A,B,设尸(0,“F0),连接承交椭圆于点
C,连接BC,OP,求证:OP1BC.
图3-5
t
证明:因为右,=)1%所以k=2k.
2720PCA
又因为%-w
fii
所以自尸,々CB=2%CA♦—=—I,于是有OP~LBC.
I2ka)
【方法小结】例3-4和例3-4中条件“P”_LC8”与"直线P”过定点”可以互逆,而且直线x=2可以换成任意与
x轴垂直的直线,结论依然成立.
题型五:与双曲线的渐近线有关的问题
22
【例3-5](2014年浙江理)设直线x-3y+m=0(,〃H0)与双曲线?■-方=1(〃>0力>0)两条渐近线分别交于
点AB,若尸(〃?,0),|R41=|P3|,求双曲线的离心率.
解法1(联立方程+垂直平分):设线段的中点为M(%,%),如图3-6.
图3-6
x-3y+tn=0
由,fy2,消工得,(96一々2)丁一&?2祖y+人2利2=0,
万卞二°
所以%+%=单=,于是%=学々,所以%=3%-%
1-9b2-a2°9b2-a2009b2-a2
于是,*==-3,化简得"2=4〃.
'2a,2-9b,2
所以,e=M
2
解法2(垂直平分+垂径定理):设线段钻的中点为例,如图3-7,因为所以PMJLAfi,
图3-7
于是*=———=-3,所以直线PM的方程为y=-3(x-n?)
kAB
x-3y+m=03m3
解得M,所以_5_
y=-3(x-m)4
又由垂径定理,有鲍・%=-4=e2-l,即—1,
a~34
所以e=好.
2
解法3(倾斜角+垂径定理)直线与x轴的交点为。(-狐0),。为PQ的中点,
设A,8的中点为",则PM_L4?,设NMQO=e,
t
则tan,kOM=tan20-2=-
30”1-tan2^4
2
由双曲线垂径定理有:kOMkAB=tan0tan20=e,即gx[=/-],得e=与.
【方法小结】例3-5是直线截双曲线的渐近线所得弦中点有关的直线斜率关系,常规设线或利用垂径定理都可
以得解,显然,知道垂径定理的结论能使运算量大大降低.
三.巩固练习
1.已知直线x-3y+l=0与椭圆9+孑=1相交于A8两点,求弦的中点坐标.
v-21
2.A8是椭圆]+丁=1上两点,线段他的中点在直线1=一]上,则直线AB与>轴交点的纵坐标的取值范
围是.
3.设A,3是双曲线V-£=1上的两点,
2
(1)若点P(1,2)是线段的中点,求直线他的方程;
(2)若直线钻过定点Q(2/),求线段AS的中点轨迹方程.
4.(2013高考大纲卷8)椭圆C:3+弓=1的左.右顶点分别为A,4,点P在椭圆。上,直线尸&的斜率的
取值范围是[-2,-1],那么直线班的斜率的取值范围是()
A.U333
B.C.-.1D.-,1
248^24
5.已知椭圆[+方=l(a>b>0),点A为椭圆上异于顶点的任意一点,过点A作长轴的垂线,垂足为连
结AO并延长交椭圆于另一点8,连结物0并延长交椭圆于点C,若84_LC4,则椭圆的离心率为.
6.(2011江苏卷)如图4-1,在平面直角坐标系X。),中,点A/,N分别是椭圆?+]=1的顶点,过坐标原点
的直线交椭圆于尸,4两点,其中P在第一象限,过尸作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点
B,设直线P4的斜率为
(1)当直线R4平分线段时,求k的值;
(2)当%=2时,求点P到直线的距离d;
(3)对任意我>0,求证:PA1PB.
7.(2003江苏高考10)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为尸(夜,0),直线y=x-l与其相交于M,N两
2
点,MN中点的横坐标为-则此双曲线方程为()
3
一九1
A-=I£>.------=1D
4T4352
22
8.已知双曲线,-斗•=l(a>0,6>0),过x轴上点E的直线/与双曲线的右支交于A,8两点(A在第一象
限),直线AO交双曲线左支于点C,连接CB.若/4EO=6()。,Z4BC=30°,则该双曲线的离心率为
()
A.A/2B.y/3C.2D.4
22
9.(2012年浙江高考)双曲线C:=-4=l(a>0力>0)的左右焦点分别为月,E,8为虚轴的端点,直线耳3
a"b~
与双曲线C的两条渐近线交于P,。两点,线段尸。的中垂线与x轴交于点M,若行|=|片鸟则双曲线的离心
率为•
=.巩固练习参考答案
41
1、解析:设的中点为M,则&八B・e河=--,又心8=-,
93
4—4
所以k°M—,故直线OM的方程为y-——x.
由广丁,解得5.所以弦回的中点坐标为「
2、解析:如图4-2,设直线AB的方程为y="+b.
图4-2
由条件有即2=4,所以24
2kb
y=kx+bx
M2F+1
由1,解得,
1
I2ky
M获
又因为点M在椭圆内,所以—巫<」-<巫,故k>叵或k-叵
44%41414
依题意有/=-孚~=-',化简得,b=
2k+1222k
所以J或J.
22
,2
3、解析:(1)由条件有无A8,4OP=r=2,又Z0p=2,所以原5=1,
a~
于是直线AB的方程为y-2=x-\,即y=x+l.
(2)设线段AB的中点为M(x,),),当XH2时,由垂径定理有义」上=2,整理得,
x-2x
2x2_y2-4x+y=0(*)
当x=2时,显然中点为(2,0)也适合方程(*).
故方程2d一/一+》=o即为所求的中点轨迹方程.
4、解析:由垂径定理有,kPA-kPA=-4=--,又e[-2,-l],所以A故选B.
126r4-84
5、解析:如图4-3,设B(-xp-y,),M(xP0),
由椭圆的垂径定理有原c・%)=-4,所以&s=-」-=-土.
«■k,\Byx
图4-3
b2
乂kcB=即M=白,于是=————=——,B[Ja2=2b2.
2内乂2天2
所以离心率为e=^
2
6、解析:(1)点M(-2,0),N(0,-夜卜A7N的中点坐标为-1,-,
所以%=农
2
y=2x4
(2)由《,哈。),
x2+2y23
2
所以,直线AC的方程为七=-y■与即y=x——
3
333
242
3-3-3272
所以点P到直线45的距离为〃=
V23
y=kx
(3)证法一(设线联立求点硬算):由,消y得,(1+2公)x?=4.
%2+2y2=4
22k2
所以A,P,C,0,
、Jl+2&2'J1+2A:?11+2k2
kk2
于是心c=2,所以直线AC:y='x—.—,代入椭圆方程得
AC221VI+2k2J
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 第三者责任险保额增加申请书合集
- 单位职工内部退养协议合集
- 装修施工安全合约合集
- 营业门面租赁的合同合集
- 自建房地产转让合同书合集
- 证券从业之证券市场基本法律法规每日一练试卷B卷含答案
- 注册工程师之专业基础自测提分题库加答案
- 施工员之市政施工专业管理实务每日一练试卷B卷含答案
- 在线网课《管理学(南华)》单元测试考核答案
- 小升初六年级期末测试卷附完整答案【夺冠系列】
- 上海科技大学自主招生面试全解:综合素质答案与技巧
- 智慧课堂培训课件
- 钻353 18 陕旅版六上英语 unit3care for the Earth 单元综合作业设计 3000字 版面设计
- 【高中语文】《蜀相》说课+课件20张+统编版++选择性必修下册
- 健康体检重要异常结果处理流程与质量控制
- 2024年河南省安阳钢铁集团招聘笔试参考题库含答案解析
- 安徽省蚌埠市禹会区2023年部编版小升初考试语文试卷
- 高教社新国规中职英语教材《英语2基础模块》HEP B2U2 单元测试题
- 2023北京市公园管理中心事业单位考题解析笔试参考题库(共500题)答案详解版
- BQ40Z50 软件界面翻译
- 初二声音的产生与传播
评论
0/150
提交评论