四川省资阳市2023年数学九年级上册期末经典试题含解析

四川省资阳市2023年数学九上期末经典试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的

地面上不可能出现的投影是（）

A.线段B.三角形C.平行四边形D.正方形

2.一个布袋里装有2个红球，3个黑球,4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生

的可能性最大的是（）

A.摸出的是白球B.摸出的是黑球

C.摸出的是红球D.摸出的是绿球

3.把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是（）

5.已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m,并测得BC=2.2m,C4=0.8m,

那么树DB的高度是（）

A.6mB.5.6mC.5.4mD.4.4m

6.如图，。。的直径3A的延长线与弦OC的延长线交于点E,且CE=08,已知NOOB=72。，则NE等于（）

C.30°D.26°

7.如图，点尸的坐标为（2,2）,点A,3分别在x轴，轴的正半轴上运动，且NAPB=90，下列结论:

®PA=PB

②当。4=06时四边形OAPB是正方形

③四边形OAPB的面积和周长都是定值

④连接OP,AB，则其中正确的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

8.如图，在A4BC中，ZC4B=65°,将AABC在平面内绕点A旋转到AAB'C'的位置，使CC〃AB,则旋转角

C.65°D.50°

9.如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°,得到线段AB,则点B的

对应点B，的坐标是（）

A.(-4,1)B.(-1,2)C.(4,-1)D.(1,-2)

10.已知一组数据：-1,0,1,2,3是它的一个样本，则这组数据的平均值大约是（）

A.5B.1C.-1D.0

11.在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=2ZA,则cosB等于()

AB.-C.6D.—

223

12.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数”=履+。伏、b是常数，且后0）与反比例函数以=£（，是常数，且存0）

x

C.-3VxV0或x>2D.0<x<2

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知二次函数的顶点坐标为（1,-2）,且与x轴一个交点的横坐标为3,则这个二次函数的表达式为.

14.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为X”

第二个三角形数记为X2,…第n个三角形数记为X”则Xn+Xn+k.

k

15.如图，直线AB与双曲线y='（Z<0）交于点A6,点尸是直线A8上一动点，且点P在第二象限.连接户。并

延长交双曲线与点C.过点P作。。_Ly轴，垂足为点。.过点C作CE_Lx轴，垂足为E,若点A的坐标为（-1,3）,

点8的坐标为（根,1）,设APO。的面积为HQCOE的面积为邑，当5>S2时，点P的横坐标x的取值范围为

16.如图，在四边形A3CD中，NB=90°,AB=2,CD=S,4。_1。。.若5抽/4。6=l，则tan£>=.

3

17.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了度.

代数式方二有意义时，x应满足的条件是.

18.

Vx-8

三、解答题（共78分）

19.（8分）一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同.请用列表法或画树

形图法求下列事件的概率：

⑴搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球.

⑵搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球.

（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球?

20.（8分）如图，在AABC中，点E在边AB上，点G是AABC的重心，联结AG并延长交BC于点D.

（1）若A8=A,AC=b,用向量力、〃表示向量AG；

(2)若NB=NACE,AB=6,AC=26,BC=9,求EG的长.

A

G

21.（8分）解方程：x2-6x+8=l.

22.（10分）在2020新年贺词中讲到“垃圾分类引领新时尚”为积极响应号召，普及垃圾分类知识，某社区工作人员在

一个小区随机抽取了若干名居民，开展垃圾分类知识有奖问答，并用得到的数据绘制了如图所示条形统计图.

（1）本次调查一共抽取了名居民

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数：中位数；

（3）杜区决定对该小区2000名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为一等奖.根据调查结果，估计社区工作人

员需准备多少份一等奖奖品？

23.（10分）一名大学毕业生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为80元/件，经市场调查

发现，该产品的日销售量Y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间满足一次函数关系，如图所示.

（D求）'与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（单位：元）与销售单价x之间的函数关系式，并求出每件销售单价为多少元时，每天的销售

利润最大？最大利润是多少？

（3）这名大学生计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）

中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

24.（10分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与

CD的长分别为45cm,60cm,且它们互相垂直，座杆CE的长为10cm,点A,C,E在同一条直线上，且NCAB=75。,

如图1.

（1）求车架档AD的长；

（1）求车座点E到车架档AB的距离.

（结果精确到1cm.参考数据：sin75°="0.966,"cos75°=0.159,

25.（12分）已知，如图，二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1,（））,点C（0,

5）,另抛物线经过点（1,8）,M为它的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

26.若xi、X2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a/））的两个根，则方程的两个根xi、X2和系数a、b、c有如下关系：

%+x,=-2%々•我们把它们称为根与系数关系定理.

aa

如果设二次函数y=ax2+bx+c（a和）的图象与x轴的两个交点为A（xi,0）,B（x2,0）.利用根与系数关系定理我们又可以得

到A、B两个交点间的距离为：AB=,一引=+々）2=

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a邦）的图象与x轴的两个交点为A（x”0）,B（X2,0）,抛物线的顶点为C,显然aABC为等腰

三角形.

⑴当AABC为等腰直角三角形时，直接写出b2-4ac的值；

⑵当aABC为等腰三角形，且NACB=120。时，直接写出b2-4ac的值；

(3)设抛物线y=x2+mx+5与x轴的两个交点为A、B,顶点为C,且NACB=90。，试问如何平移此抛物线，才能使

ZACB=120°.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.

【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；

将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；

将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；

由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.

2、A

【分析】个数最多的就是可能性最大的.

【详解】解：因为白球最多，

所以被摸到的可能性最大.

故选A.

【点睛】

本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大：反之也成立；若包

含的情况相当，那么它们的可能性就相等.

3、B

【分析】根据主视图的定义，画出图2的主视图进行判断即可.

【详解】根据主视图的定义，切下的几何体的主视图是含底边高的等边三角形（高为虚线），作出切下的几何体的主视

图如下

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了立体几何的主视图问题，掌握主视图的定义和作法是解题的关键.

4、A

【分析】先根据勾股定理计算出斜边A8的长，然后根据正弦的定义求解.

【详解】如图，

VZC=90o,AC=8,BC=6,

AB=yjBC2+AC2=A/62+82=1。，

,AC84

••sinb=-----二—二一♦

AB105

故选：A.

【点睛】

本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值.也考查了勾股定理.

5、A

【分析】先根据相似三角形的判定定理得出RtAACE-RtAABD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的

长.

【详解】解：VEC/7AB,BD±AB,

.,.EC/7BD,ZACE=ZABD=90°,

在RtAACEsRtAABD中，NA=NA,ZACE=ZABD=90°,

ARtAACEsRsABD,

.ECCA1.60.8

即Bn-------------

CA+BCBD0.8+2.2

,解得BD=6m.

故选A.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例.

6、B

【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于NE的方程,

解方程即可求得答案.

【详解】解：如图，连接CO,

VCE=OB=CO=OD,

.*.ZE=Z1,Z2=ZD

.".ZD=Z2=ZE+Z1=2ZE.

Z3=NE+ND=NE+2NE=3NE.

由N3=72。，得3NE=72。.

解得NE=24。.

故选:B.

【点睛】

本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键.

7、A

【分析】过P作PM_Ly轴于M,PNJ_x轴于N,易得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=L证得

△APM^ABPN,可对①进行判断，推出AM=BN,求出OA+OB=ON+OM=2,当OA=OB时，OA=OB=L然后可

对②作出判断，由^APMg△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2,然后依据AP和PB的长度变

化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断.

【详解】过P作PM_Ly轴于M,PN_Lx轴于N,

VP(1,1),

.,.PN=PM=1.

,.**轴_1_丫轴，

ZMON=ZPNO=ZPMO=90°,

则四边形MONP是正方形，

.*.OM=ON=PN=PM=1,

VZMPN=ZAPB=90°,

.,.ZMPA=ZNPB.

在AMPA@4NPB中，

NMPA=NNPB

<PM=PN,

ZPMA=NPNB

.,.△MPA^ANPB,

.,.PA=PB,故①正确.

,/△MPA^ANPB,

；.AM=BN,

.,.OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2.

当OA=OB,即OA=OB=1时，

则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确.

,/△MPA^ANPB,

Spq边形OAPB=S四边形AONP+SPNB=Spq边形AONP+SPMA=S正方形PMON=4.

VOA+OB=2,PA=PB,且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误.

,.,ZAOB+ZAPB=180°,

...点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以ABNOP,故④错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，圆周角定理,

关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON

8、D

【分析】根据旋转的性质得出ABC^.AB'C',利用全等三角形的性质和平行线的性质得出

/CC'A=NCCA=65°,即可得出答案.

【详解】根据题意可得AABCWMB'C

二/CAB=NC'AB=65°,AC=AC

又CC〃A3

.•./CAB=/CCA=65°

:.NCC'A=/CCA=65°

:.NCAC=180°-/CC'A-/CCA=50°

故答案选择D.

【点睛】

本题考查的是旋转和全等，难度适中，解题关键是根据图示找出旋转角.

9、D

【解析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原图

形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原

图形向上（或向下）平移a个单位长度；

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。,45。,

60°,90°,180°.

【详解】将线段AB先向右平移5个单位，点B（2,1）,连接OB,顺时针旋转90。，则B，对应坐标为（1,-2）,

故选D.

【点睛】

本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键.

10、B

【分析】根据平均数的定义计算即可.

【详解】这组数据的平均数为（-1+0+1+2+3）+5=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平均数.掌握平均数的求法是解答本题的关键.

11、B

【详解】解：,；NC=90。，

.•.ZA+ZB=90°,

VZB=2ZA,

/.NA+2NA=90。，

.*.ZA=30o,

.*.ZB=60°,

:.cosB=—

2

故选B

【点睛】

本题考查三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

12、C

【分析】一次函数yi=kX+b落在与反比例函数山=£图像上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集.

X

【详解】解：•.•一次函数以=履+伙鼠8是常数，且厚0)与反比例函数"=£(c是常数，且存0)的图象相交于A(-3,

x

-1)»5(1,⑼两点,

不等式「的解集是-3Vx<0或x>1.

故答案为C.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数图像与不等式的关系，从函数图像确定不等式的解集是解答本题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、y=；(x-l)2-2

【分析】已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a(x-l)2-2,把(3,())代入求出。的值即可.

【详解】设二次函数的解析式为y=a(x-1尸-2,

•.•抛物线与x轴一个交点的横坐标为3,则这个点的坐标为：(3,0),

二将点(3,0)代入二次函数的解析式得0=”(3—1)2-2,

解得：”=:，

2

1,

二这个二次函数的解析式为：y=5(x-1)2-2,

故答案为：y=g(x—l)2—2

【点睛】

本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，

选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

14、5+1)2.

【分析】根据三角形数得到X1=1,X1=3=1+1,X3=6=l+l+3,X4=10=l+l+3+4,X5=15=l+l+3+4+5,即三角形数为从1

到它的顺号数之间所有整数的和，即Xn=l+l+3+…+n=3D、Xn+尸5+D5+2),然后计算Xn+X同可得.

22

【详解】Vxi=l,

xi=3=l+L

X3=6=1+1+3,

x4=l0=1+1+3+4,

X5=l5=1+1+3+4+5,

・・Xn=l+l+3+・・・+n=—------，

2

(n+l)(n+2)

Xn+1------------------9

2

EI++n(n+1)/.、i

贝！Jxn+x*^——△——L+——L=(n+1)I

22

故答案为:(n+1)I

15、-3<x<-l

k

【分析】根据点A的坐标求出y=1%<0)中k,再根据点B在此图象上求出点B的横坐标m,根据SfS2结合图

象即可得到答案.

k

【详解】VA(-1,3)在y=1(Z<0)上，

:.k=-3,

k

VB(m,1)在y=-(Z<0)上，

:.m=-3,

由图象可知：当5>邑时，点P在线段AB上，

...点P的横坐标x的取值范围是-3<x<“，

故答案为：

【点睛】

此题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数解析式的求法，正确理解题意是解题的关键.

3

16、-

4

【分析】首先在AABC中，根据三角函数值计算出AC的长，然后根据正切定义可算出tan。.

【详解】VZB=90°,sinZACB=-,

3

AB1

.•—_—9

AC3

VAB=2,

AAC=6,

9：ACLCD,

・・・NACD=90。,

,AC63

••tanD=---——=—

CD84

—，，一，3

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦，正切的定义是解题的关键.

17、90

【解析】分针走一圈(360°)要1小时，则每分钟走360°+60=6°,

则15分钟旋转15X6°=90°.

故答案为90.

18、x>8.

【解析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围.

【详解】解：代数式下二有意义，可得:

x—8>0,所以x>8.

A/X-8

故答案为：x>8.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)-；(2)-；(3)n=l

26

【分析】(D摸到白球的可能为2种，根据求概率公式即可得到答案;

(2)利用树状图法，即可得到概率；

(3)设放入黑球n个，根据摸到黑球的概率，即可求出n的值.

【详解】解：(1)根据题意，恰好摸到白球有2种，

21

二将“恰好是白球”记为事件A,P(A)=-=-；

42

(2)由树状图，如下:

开始

____—

白白红奠

X7\/KZ

白红黄白红黄白白黄白白红

，事件总数有12种，恰好抽到2个白球有2种，

21

•••将“2个都是白球”记为事件8,尸(3)=一=一；

126

5

(3)设放入"个黑球，由题意得：一n一=—,

4+〃7

解得：n=l.

【点睛】

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.解题的关键是掌握求概率的方法.

si1,

20、(1)AG=-a+-ft.(2)EG=3.

一2

【解析】(1)由点G是AABC的重心，推出AG=§AD再根据三角形法则求出a。

即可解决问题；

21

(2)想办法证明AAEGsaABD,可得EG=—5。=—=3；

33

【详解】(1),.,点G是A44C的重心，

2

...AG^-AD,

3

11-11.

•••AD=AB+-BC^a+-(b-a)^-a+-b,

2222

/.AG--a+—b.

33

(2)'：ZB=ZACE,NCAE=NBAC,

.'.AACE^^ABC,

.AE_AC

••-----=------,

ACAB

：.AE=4,

3AE2AG

此时——=-=——，

AB3AD

VZEAG=ZBAD,

:.AAEGs^ABD,

21

AEG=-BD=—BC=3.

33

【点睛】

考查平面向量的线性运算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

21、X)=2X2=2.

【分析】应用因式分解法解答即可.

【详解】解：X2-6x+8=1

(x-2)(x-2)=1,

:.x-2=1或x-2=1,

.*.xi=2X2=2.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.

22、(1)50；(2)8.26,8；(3)400

【分析】(D根据总数等于各组数量之和列式计算；

(2)根据样本平均数和中位数的定义列式计算；

(3)利用样本估计总体的思想解决问题.

【详解】解：(1)本次调查一共抽取了4+10+15+11+10=50名;

(2)调查获取的样本数据的平均数为二-----------匕，=8.26分；

50

8+8

4+10+15=29＜26,所以中位数为——=8分；

2

(3)根据题意得2000名居民中得分为10分的约有2000'3=400名，

50

•••社区工作人员需准备400份一等奖奖品.

【点睛】

本题考查条形统计图，读懂图形，从图形中得到必要的信息是解答此题的关键，条形统计图的特点是能清楚的反映出

各个项目的数据.

23、(1)y=—5X+6(X)(80<XW120)；(2)W=—5f+1OOOx-48000,每件销售单价为100元时，每天的销售利

润最大，最大利润为2000元；(3)该产品的成本单价应不超过65元.

【分析】(1)设y与x之间的函数解析式为：y=kx+b,根据题意列方程组即可得到结论;

(2)根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；

(3)设产品的成本单价为b元，根据题意列不等式即可得到结论.

【详解】(1)设＞关于x的函数解析式为y=匕+0.

85%+6=175,k=-5,

由图象，得＜解得＜

95k+0=125.人=600.

即)'关于X的函数解析式是y=-5x+600(80WxW120).

(2)根据题意，得

W=(-5x+600)(x-80)=-5X2+IOOOX-48000=-5(x-100)2+2000,

...当x=100时，W取得最大值，此时W=2000.

即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元.

(3)设科技创新后成本为〃元.

当x=90时，(-5x90+600)(90-Z?)>3750.

解得匕W65.

答：该产品的成本单价应不超过65元.

【点睛】

此题主要考查了二次函数和一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键.

24、(1)75cm(1)2cm

【解析】解：(1)在RtAACD中，AC=45,CD=60,/.AD=7452+602=75>

二车架档AD的长为75cm.

(1)过点E作EF_LAB,垂足为点F,

距离EF=AEsin75°=(45+10)sin75°^61.7835=2.

二车座点E到车架档AB的距离是2cm.

(1)在RSACD中利用勾股定理求AD即可.

(1)过点E作EF_LAB,在R3EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75。，即可得到答案.

25、(1)y=-x2+4x+5；(2)1.

【分析】(1)由A、C、(1,8)三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)由B、C两点的坐标求得直线BC的解析式；过点M作MN〃y轴交BC轴于点N,则△MCB的面积=△MCN

的面积+△MNB的面积=-MNOB.

2

【详解】(1)VA(-1,0),C(0,5),(1,8)三点在抛物线y=ax?+bx+c上，

a-b+c=Q

:<c=5,

a+b+c=S

a=-1

解方程组，得卜=4,

c=5

故抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；

(2)*.*y=-x2+4x+5=-(x-5)(x+1)=-(x-2)2+9,

AM(2,9),B(5,0),

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

b=5

5k+b-0,

解得,L.

b=5

则直线BC的解析式为：y=-x+5.

过点M作MN〃y轴交BC轴于点N,

则AMCB的面积=AMCN的面积+AMNB的面积

2

当x=2时，y=-2+5=3,则N(2,3),

则MN=9-3=6,

则SMCB=-x6x5=15.

【点睛】

本题考查抛物线与x