ch05图形变换2012课件

17四月2024ch05图形变换2012图形变换图形变换是计算机图形学基础内容之一。几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。二维几何变换5.1基本二维几何变换二维几何变换如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察5.1.1平移目的是将一个点P(x,y)变换到一个新的位置P'(x',y')方法是将位移量加到点P的坐标上生成一个新的点P'的坐标设原始点坐标为(x,y),新的点坐标为(x',y')，则平移距离为tx=x'-x，ty=y'-y称(tx,ty)为平移向量或位移向量此时x'=x+tx，y'=y+ty记P=(x,y)，P'=(x',y')，T=(tx,ty)则平移方程为P'=P+TPP'Txy二维几何变换2468x1234567（1，1）y24681234567xy（5，4）例：使用平移向量(4,3)对多边形平移二维几何变换5.1.2旋转变换基本二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度(逆时针为正，顺时针为负)得到新的点p'的重定位过程。pp'

yx旋转变换二维几何变换

(x,y)(x

,y

)注意：

是逆时针旋转角度。5.1.2旋转变换二维几何变换写成矩阵表达的形式为：24682468

=30o例：使用旋转变换将多边形绕原点旋转30o5.1.2旋转变换二维几何变换旋转后的多边形旋转前的多边形问题：若多边形不是绕原点而是绕任意给定的点旋转，变换是什么？5.1.2旋转变换二维几何变换设空间一图形绕给定的点(xr,yr)旋转

角度，此时

(x,y)(x

,y

)(xr,yr)将（1）式代入得-4-224-224(-1,-2)

=60o例：使用旋转变换将多边形(蓝色)绕(-1,-2)点旋转60o所得的多边形(红色)5.1.2旋转变换二维几何变换5.1.3缩放变换二维几何变换基本缩放变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为缩放系数。p(2,1)xy比例变换（Sx=2,Sy=3）p'(4,3)此时：即：注：Sx>1表示沿x方向放大Sx倍，Sx<1沿x方向放缩小Sx倍。对Sy同理。246812345xy例：下图红色多边形为蓝色多边形沿x方向放大2倍，y方向放大0.5倍的结果5.1.3缩放变换二维几何变换该变换参照点为原点，其是固定不动的，称为变换的不动点，若不动点不是原点，缩放变换会怎样？5.1.3缩放变换二维几何变换设不动点为(xf,yf)，设沿x和y方向的缩放系数分别为sx，sy。则任意一点(x,y),缩放后坐标(x

,y

)为：xy比例变换(sx=3,sy=1/2)(xf,yf)(x,y)(xf+sx(x-xf),y)(xf+sx(x-xf),yf+sy(y-yf))x-xfsx(x-xf)亦即：5.2齐次坐标所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn)表示为(hP1,hP2,

hPn,h)，其中h称为哑坐标。1.h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点(2,3)变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5),(4,6,2),(6,9,3)等等。2.普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标

h→齐次坐标,由齐次坐标÷h→普通坐标.3.当h=1时产生的齐次坐标称为“规范化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。二维几何变换(x,y)点对应的齐次坐标为(xh,yh,h)(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线5.2齐次坐标二维几何变换1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x

h,y

h,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。4.变换具有统一表示形式的优点:5.3齐次坐标的作用便于变换合成便于硬件实现二维几何变换5.4二维基本变换齐次坐标表示5.4.1平移变换齐次坐标表示二维几何变换平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。pp'xyTxTy简写为：平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状刚体变换（rigid-bodytransformation）二维几何变换5.4.1平移变换齐次坐标表示推导平移变换矩阵：tx，ty称为平移矢量二维几何变换5.4.1平移变换齐次坐标表示平移变换矩阵的逆阵：其也是一个平移变换，其是作相反方向的平移，其是将T(tx,ty)平移的点移回到原位置5.4.2旋转变换的齐次坐标表示二维几何变换旋转变换可以用下列形式的齐次坐标表示简写为：

(x,y)(x

,y

)T(

)的逆阵是一个与T(

)作相反方向的旋转变换5.4.2旋转变换的齐次坐标表示二维几何变换平面图形绕任意点(xr,yr)旋转

角的变换可分解为：1）将点(xr,yr)平移到原点处2）作旋转

角变换3）再将原点平移到点(xr,yr)原始图形(xr,yr)平移到原点下面图形为三角形绕其一角旋转的步骤分解旋转

角原点平移回(xr,yr)5.4.2旋转变换的齐次坐标表示二维几何变换其对应的变换为1）点(xr,yr)平移到原点2）作

角旋转3）原点平移回点(xr,yr)5.4.2旋转变换的齐次坐标表示二维几何变换复合的变换矩阵为：即：与前面推导的结论一样!比例变换矩阵5.4.3缩放变换的齐次坐标表示二维几何变换逆矩阵同理任意不动参照点的缩放变换为试考察定向缩放的变换矩阵仍然与前面推导的结论一致!以坐标原点为放缩参照点5.4.4比例变换二维几何变换sx=sy的情形

原图放大sx=sy>1缩小sx=sy<1sx

sy的情形

原图sx>sysx<sy5.4.5对称变换二维几何变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。5.4.5对称变换二维几何变换5.4.5对称变换二维几何变换1.关于x轴对称p(x,y)P’(x,-y)xyO(a)关于x轴对称变换矩阵5.4.5对称变换二维几何变换2.关于y轴对称p(x,y)p

(-x,y)xyO(b)关于y轴对称变换矩阵5.4.5对称变换二维几何变换3.关于原点对称p(x,y)p’(-x,-y)xyO(c)关于原点对称变换矩阵5.4.5对称变换二维几何变换4.关于直线y=x对称变换矩阵p(x,y)xyO(d)关于直线y=x对称p'(y,x)y=x5.4.5对称变换二维几何变换5.关于直线y=-x对称变换矩阵p(x,y)p'(-y,-x)xyO(e)关于直线y=-x对称二维基本变换-对称变换小结当b=c=0,a=-1,d=1时，(x'

y'1)T=(-x

y1)T：与y轴对称的反射变换。当b=c=0,a=1,d=-1时，(x'

y'1)T=(x-y1)T

：与x轴对称的反射变换。当b=c=0,a=d=-1时，(x'y'1)T=(-x-y1)T

：与原点对称的反射变换。当b=c=1,a=d=0时，(x'y'1)T=(yx1)T

：与y=x对称的反射变换。当b=c=-1,a=d=0时，(x'y'1)T=(-y-x1)T

：与y=-x对称的反射变换。5.4.6错切变换二维几何变换错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。(a)原图xy(b)沿x方向错切xy(c)沿y方向错切xy5.4.6错切变换1)

当d=0时，[x'

y'1]T=[x+by

y1]T：图形的y坐标不变当b>0：图形沿+x方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1当b<0：图形沿-x方向作错切位移。ABCD→A2B2C2D2二维几何变换xyABCDA1B1C1D1A2B2C2D22)当b=0时，[x'y'1]T=[x

dx+y1]T图形的x坐标不变；当d>0：图形沿+y方向作错切位移。当d<0：图形沿-y方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1ABCD→A2B2C2D25.4.6错切变换二维几何变换xyABDA1B1C1D1A2B2C2D2C3)

当b

0且d

0时，[x'y'1]T=[x+by

dx+y1]T：图形沿x,y两个方向作错切位移。∴错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。5.4.6错切变换二维几何变换5.5二维图形的几何变换设二维图形变换前坐标为(x,y,1)T,变换后为(x

,y

,1)T二维变换矩阵注意：T2D可看作三个列向量，其中[100]T：表示x轴上的无穷远点；[010]T：表示y轴上的无穷远点；[001]T：表示原点。二维几何变换二维图形的几何变换从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵：对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换.：对图形进行平移变换[p,q]：对图形做投影变换（以后将会研究它）。二维基本变换小结二维图形的几何变换二维基本变换小结[s]：对整体图形进行伸缩变换若s>1，则总体缩小；否则，总体放大。几何变换均可表示成P'=T

P的形式

1.点的变换 2.直线的变换 3.多边形的变换 4.曲线的变换5.6二维图形几何变换的计算二维几何变换5.7复合变换复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上的几何变换。变换结果是每次的变换矩阵相乘。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。

二维几何变换复合变换具有形式：5.7复合变换二维几何变换5.7.1二维复合平移两个连续平移是加性的。5.7.2二维复合比例连续比例变换是相乘的。5.7.3二维复合旋转两个连续旋转是相加的。可写为：复合变换、例1：复合平移求点P(x,y)经第一次平移变换(tx1,ty1)，第二次平移变换(tx2,ty2)后的坐标P*(x*,y*)解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P

(x

y

1)，则经第二次平移变换后的坐标为P*(x*

y*1)∴变换矩阵为yx(x,y)yx(x',y')yx(x",y")Tx复合变换例2：多种复合组合例：对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2，且以(0,0)为参照点)，再平移Tx=10,Ty=0。解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x',y')为点(x,y)放大后的坐标则:[x',y',1]T=S(2,2)[x,y,1]T

设点(x",y")为点(x',y')经平移后的坐标为：[x",y",1]T=T(10,0)[x',y',1]T

令：T=T(10,0).S(2,2)，则T即为组合变换则：[x",y",1]T=T(10,0)[x',y',1]T=T(10,0)S(2,2)[x,y,1]T5.8相对任一参考点的二维几何变换二维几何变换相对某个参考点(xf,yf)作二维几何变换，其变换过程为：(1)平移到原点(2)针对原点进行二维几何变换。(3)反平移复合变换例3：旋转变换对参考点F(xf,yf)做旋转变换。解：1、把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则2、进行旋转变换复合变换例3：旋转变换（续）

将坐标系平移回原来的原点因此复合变换例4：任意的反射轴的反射变换任一图形关于任意的反射轴y=a+bx的反射变换xyolxyolxyolxyolxyolxyol思考过程如下图2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转

角，使之与x轴重合

xyol

1bl'解：1.

将坐标原点平移到(0,a)处复合变换例4：任意的反射轴的反射变换（续）3.图形关于x轴的反射变换4.将反射轴逆时针旋转

角复合变换例4：任意的反射轴的反射变换（续）5.恢复反射轴的原始位置因此复合变换例4：任意的反射轴的反射变换（续）将代入得复合变换例4：任意的反射轴的反射变换（续）复合变换例5：通用固定点缩放1.平移物体使固定点与坐标原点重合2.对于坐标原点缩放3.用步骤1的反向平移将物体移回原始位置设固定点为(x0,y0)，缩放的倍数分别为sx,sy

。具体过程如下：1）平移使固定点与坐标原点重合变换矩阵为2）以坐标原点为参照点进行缩放变换矩阵为3）将坐标原点移回到(x0,y0)点复合变换例5：通用固定点缩放变换矩阵为则以(x0,y0)为固定点，缩放的倍数分别为sx,sy的变换为复合变换例5：通用固定点缩放复合变换例6：通用定向缩放比例变换中的比例因子sx,sy只能在x轴方向或y轴方向起作用。实际图形变换中，不仅是在x,y方向变换，往往要求在任意方向进行比例变换。通过旋转变换和比例变换的组合，可以实现任意方向的比例变换。解：定义比例因子s1和s2。1.

使s1和s2旋转

角后分别与x轴和y轴重合。2.

进行比例变换。3.使s1和s2旋转-

角，返回原始位置。如：图(a)为一单位正方形，对由(0,0)和(1,1)两点构成的对角线方向实施比例变换(1,2)复合变换例6：通用定向缩放复合变换例6：通用定向缩放5.8变换的分解旋转变换可以表示为错切变换的复合例：旋转45度的分解如右图任何一个二维线性变换都可以分解为旋转、缩放、旋转变换的复合。变换的分解利用奇异值分解M=U·S·V,其中U、V为正交阵，S为对角阵计算方法(利用对称阵分解)设对称阵可分解为MMT=R·

·RT,又MMT=U·S2

·UT所以例：设变换矩阵为其是一个错切变换，将其分解为旋转与缩放变换的复合变换的分解解：5.11坐标系之间的变换二维几何变换问题：设xoy坐标系中点P(xp,yp)，求其在x'o'y'坐标系中坐标P(xp,yp)oxyy0x0o'x'y'

分析二维几何变换p(xp,yp)oxyo'(x0,y0)x'y'

pxpyx*y*p*二维几何变换可以分两步进行：P(xp,yp)oxyy0x0o'x'y'

x'y'P1(xp1,yp1)1)将x'o'y'系统坐标原点(x0,y0)平移到xoy系统的坐标原点(0,0)变换矩阵为二维变换P(xp,yp)oxyx'y'

x'y'P1(xp1,yp1)P2(xp2,yp2)2)将x'轴旋转到x轴上变换矩阵为于是：

二维变换及二维观察6.3.8光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换光栅平移变换：90°、180°和270°的光栅旋转变换：6.3.8光栅变换任意角度的光栅旋转变换：

6.3.8光栅变换6.3.8光栅变换光栅比例变换：仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。

6.3.9变换的性质二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：直线的中点不变性；平行直线不变性；相交不变性；仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；比例变化可改变图形的大小和形状；错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。二维几何变换具有如下一些性质：三维几何变换三维齐次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系xyz三维几何变换变换矩阵1平移变换若点(x',y',z')是由点(x,y,z)在x,y和z轴方向分别移动距离tx,ty和tz得到的，则这两点间的坐标关系为：x'=x+tx

y'=y+tyz'=z+tz该式的矩阵形式为：2放大和缩小设点(x,y,z)经过缩放变换后得到点(x',y',z')，这两点坐标间的关系为：其中，sx，sy，sz

分别为沿x轴，y轴和z轴方向放大或缩小的比例。它们可以相当，也可以不相等。上式的矩阵形式如下所示：x'=sxx

y'=sy

y

z'=sz

z其中，当Sx=Sy=Sz时，上式的变换是以原点为相似中心的相似变换，这样常使变换后的图形不在原来的位置上。如下所示：yzx通用缩放1、均匀缩放:任意点P到固定点Q的距离放缩s倍，方向不变。QPP′令v=P-Q，v′=P′-Q，则v′=sv即P′-Q=s(P-Q)即P′=sI·P+(1-s)Q)齐次坐标形式为通用缩放2、非均匀缩放:以Q为固定点，沿单位向量u方向放缩s倍。QPP′uvv

v

sv

v

设点P放缩后为P′，令v=P-Q，v′=P′-Q，v分解为v=v

+v

其中v

=(v·u)u,v

=v-(v·u)u则v′=sv

+v

=s(v·u)u+v-(v·u)u=(I+(s-1)u·uT)v即P′-Q=(I+(s-1)u·uT)(P-Q)所以P′=(I+(s-1)u·uT)P+(1-s)u·uTQ齐次坐标形式为三维变换矩阵-对称变换在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。对称于XOZ平面对称于YOZ平面对称于XOY平面一般平面的对称变换设一般平面S由定点Q和单位向量N给定，设点P为平面外的一点，求其关于平面S的对称点P′PP′Nv

v

-v

Qvv′设点P对称点为P′，令v=P-Q，v′=P′-Q将v分解为v=v

+v

其中v

=(v·N)N,v

=v-(v·N)N则v′=v

-v

=v-2(v·N)NP′-Q=(I-2N·NT)(P-Q)P′=(I-2N·NT)P+2N·NTQ齐次坐标形式为三维变换矩阵-旋转变换绕X轴变换空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x'=xy'=

cos(

+

)=ycos

–zsin

z'=

sin(

+

)=ysin

+zcos

xyzyz(y,z)(y',z')

矩阵表示为：三维变换矩阵-旋转变换遵循右手法则，即若

0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。记三维变换矩阵-旋转变换绕Y轴旋转此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x'=

sin(

+

)=xcos

+zsin

y'=yz'=

cos(

+

)=zcos

–xsin

xz(z,x)(z',x')

xyz三维变换矩阵-旋转变换矩阵表示为记绕Z轴旋转此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。x'=

cos(

+

)=xcos

–ysin

y'=

sin(

+

)=xsin

+ycos

z'=z三维变换矩阵-旋转变换xyzxy(x,y)(x',y')

矩阵表示为：三维变换矩阵-旋转变换记绕任意轴的旋转变换-方法1a)绕过原点的任意轴的旋转变换空间点P(x,y,z)绕过原点的任意轴ON逆时针旋转

角的旋转变换。因ON轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转

角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。基本思想绕任意轴的旋转变换-方法1解：令ON为单位长度，其对应的单位向量：a

、b

、c满足：变换过程如下1)

让ON轴绕Z轴旋转-

，使之在XOZ平面上。其中

ONXYZabc绕任意轴的旋转变换-方法1因此2）让在XOZ平面上的ON绕y轴旋转-

,使之与z轴重合。其中因此

NXYZabc

绕任意轴的旋转变换-方法13）P点绕ON轴(即z轴)逆时针旋转

角4）ON轴绕y轴旋转

5）ON轴绕z轴旋转

因此将sin

,cos

,sin

,cos

代入化简得b)绕任意轴的旋转变换上面的ON轴若不过原点，而是过任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)，绕轴旋转变换如何呢？设ON过P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)两点,则ON轴的方向为:V=P2-P1=[x2-x1

y2-y1

z2-z1]则旋转轴对应的单位向量为这样，只需先作一次平移变换将P1移到原点,再按a)的步骤进行，最后再将原点平移变换到P1,就得到绕任意轴的旋转变换。变换矩阵为设XYZP1P2XYZP1P2XYZP1P2XYZP1P2XYZP1P2XYZP1P2XYZP1P2XYZP1P2沿相反方向

zo(a,b,c)(x,y,z)(x',y',z')xy

N绕任意轴的旋转变换-方法2组合变换空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，