第2节动能定理及其应用

第五章机械能第2节动能定理及其应用目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、动能1.定义：物体由于

运动⁠而具有的能量。

3.单位：焦耳（J），1J＝1N·m＝1kg·m2/s2。4.矢标性：动能是

标量⁠，只有正值。5.相对性：由于速度具有相对性，所以动能的大小与参考系的选取有关。中学物理中，一般选取地面为参考系。运动

标量

变化

合外力

⁠用恒力F竖直向上拉一物体，使其由地面加速上升到某一高度。（1）若不考虑空气阻力，力F做的功等于物体动能的增量。

（

×

）（2）若不考虑空气阻力，力F做的功小于物体动能的增量。

（

×

）（3）若不考虑空气阻力，力F和重力的合力所做的功等于物体动能的增量。

（

√

）（4）该过程空气阻力不能忽略，力F做的功和阻力做的功之和等于物体动能的增量。

（

×

）（5）该过程空气阻力不能忽略，力F做的功、阻力做的功和重力做功之和等于物体动能的变化。

（

√

）××√×√·Part02着眼“四翼”·探考点⁠

考点一

对动能、动能定理的理解

[素养自修类]1.[对动能的理解]高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能（

）A.与它所经历的时间成正比B.与它的位移成正比C.与它的速度成正比D.与它的动量成正比

2.[由动能定理分析合力做功]如图所示，某质点沿直线运动的v－t图像为余弦曲线，从图像可以判断（

）A.在0～t1时间内，合力逐渐减小B.在0～t2时间内，合力做正功C.在t1～t2时间内，合力的功率先减小后增大D.在t2～t4时间内，合力做的总功为零解析：D

由v－t图像的斜率表示加速度可知，在

0～t1时间内，加速度增大，由牛顿第二定律可知，合力增大，故A错误；由动能定理知0～t2时间内，动能增量为0，即合力做功为0，故B错误；t1时刻，F最大，v＝0，F的功率为0，t2时刻，F＝0，速度最大，F的功率为0，t1～t2时间内，合力的功率先增大后减小，故C错误；由动能定理知

t2～t4时间内，动能增量为0，即合力做功为0，故D正确。⁠1.动能与动能的变化的区别（1）动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量。（2）动能没有负值，而动能变化量有正负之分。ΔEk＞0表示物体的动能增加，ΔEk＜0表示物体的动能减少。2.对动能定理的理解（1）做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。（2）动能定理中的“力”指物体受到的合力，功则为合力所做的总功。考点二

动能定理的应用

[互动共研类]1.应用动能定理的流程2.应用动能定理的注意事项（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。（2）应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析。（3）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。（4）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。【典例1】如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（

）

答案

B⁠1.[用动能定理解决直线运动问题]（2023·江苏吴江中学高三月考）两完全相同的斜面ABC和

A'B'C'与水平面分别平滑连接。小木块从A点以某一初速度开始下滑，恰好能运动到A'点。已知小木块与两斜面、水平面间的动摩擦因数相同，小木块开始下滑的初速度保持不变，D、D'等高，小木块可视为质点，若只改变斜面ABC的AC边，则（

）A.改变为AE边，小木块从A点开始下滑运动不能到达A'点B.改变为AE边，小木块从A点开始下滑运动将越过A'点C.改变为DC边，小木块从D点开始下滑运动将越过D'点D.改变为DC边，小木块从D点开始下滑运动恰好到达D'点解析：C

小木块从A点以某一初速度开始下滑，恰好能运动到A'点，由动能定理，知μmg（lBC＋lCC'＋lB'C'）＝Ek0，故改变为AE边，摩擦力做功不变，小木块仍将运动到等高的A'点，故A、B错误；改变为DC边，当小木块运动到D'点时，摩擦力做功减小，此时小木块速度不为零，因此将越过D'点，故C正确，D错误。2.[用动能定理解决曲线运动问题]如图所示，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。质量为m的物块（可视为质点）自P点上方2R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。已知物块第一次飞离Q点后上升的最大高度为R，N点为轨道最低点。用W表示物块第一次从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功（不计空气阻力）。则（

）

1.常与动能定理结合的四类图像v－t图像由公式x＝vt可知，v－t图像与横坐标轴围成的“面积”表示物体的位移a－t图像由公式Δv＝at可知，a－t图像与横坐标轴围成的“面积”表示物体速度的变化量F－x图像由公式W＝Fx可知，F－x图像与横坐标轴围成的“面积”表示力所做的功P－t图像由公式W＝Pt可知，P－t图像与横坐标轴围成的“面积”表示力所做的功考点三

动能定理的图像问题

[互动共研类]2.解决物理图像问题的基本步骤【典例2】

如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4m。有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F的作用。力F只在水平面上按图乙所示的规律变化。滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10m/s2，试求：思路点拨

（1）力F只作用在OA段，AB段斜面光滑。

（1）滑块运动到A处的速度大小；

思路点拨

（2）F－x图线与x轴所围面积表示力F对滑块做功的大小。

（2）不计滑块在A处的速率变化，滑块在斜面AB上运动的长度是多少。答案

（2）5m⁠1.[获取Ek－h图像信息解决问题]（2022·江苏高考）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳，将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是（

）解析：A

设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有Ek＝mgxtan

θ，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek-x图像为一条过原点的直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大。故选A。2.[获取a－t图像信息解决问题]用传感器研究质量为2kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6s内物体的加速度随时间变化的关系图像如图所示。下列说法正确的是（

）A.0～6s内物体先向正方向运动，后向负方向运动B.0～6s内物体在4s时的速度最大C.物体在2～4s内速度不变D.0～4s内合力对物体做的功等于0～6s内合力对物体做的功解析：D

a－t图像与横坐标轴围成的“面积”等于速度的变化量，由题图可知，0～6

s内速度变化量为正，物体的速度方向不变，物体在0～5

s内一直加速，5

s时速度最大，A、B错误；2～4

s内物体的加速度不变，做匀加速直线运动，C错误；由题图可知，t＝4

s时和t＝6

s时物体速度大小相等，由动能定理可知，物体在0～4

s内和0～6

s内的动能变化量相等，合外力做功也相等，D正确。3.[动能定理与v－t、P－t图像的综合]质量m＝200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大。则下列说法正确的是（

）A.汽车受到的阻力为800NB.汽车的最大牵引力为800NC.8～18s过程中汽车牵引力做的功为4×104JD.汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90m

考点四

动能定理解决多过程问题

[互动共研类]当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。【典例3】如图所示，一名滑雪爱好者从离地h＝40m的山坡上的A点由静止沿两段坡度不同的直雪道AD、DC滑下，滑到坡底C时的速度大小v＝20m/s。已知滑雪爱好者的质量m＝60kg，滑雪板与雪道间的动摩擦因数μ＝0.25，BC间的距离L＝100m，重力加速度g取10m/s2，忽略在D点损失的机械能，则下滑过程中滑雪爱好者做的功为（

）A.3000JB.4000JC.5000JD.6000J

答案

A｜一题领悟｜用动能定理解决多过程问题的方法技巧（1）运用动能定理解决问题时，有两种思路：一种是全过程列式，另一种是分段列式。（2）全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意它们做功的特点。⁠1.[多过程直线运动问题]如图所示，小物块从倾角为θ的倾斜轨道上的A点由静止释放滑下，最终停在水平轨道上的B点，小物块与水平轨道、倾斜轨道之间的动摩擦因数均相同，A、B两点的连线与水平方向的夹角为α，不计物块在轨道转折时的机械能损失，则动摩擦因数为（

）A.tanθB.tanαC.tan（θ＋α）D.tan（θ－α）

2.[多过程曲线运动问题]滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示的滑板运动轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点、圆心角θ＝60°，半径OC与水平轨道CD垂直，滑板与水平轨道CD间的动摩擦因数μ＝0.2。某运动员从轨道上的A点以v0＝3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量m＝60kg，B、E两点与水平轨道CD的竖直高度分别为h＝2m和H＝2.5m。g取10m/s2。（1）求运动员从A点运动到B点过程中，到达B点时的速度大小vB；（2）求水平轨道CD段的长度L；

解得vB＝6

m/s。答案：（1）6m/s

解得L＝6.5

m。答案：（2）6.5m

（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，请求出最后停止的位置与C点的距离。

解得s＝19

m，又s＝2L＋6

m，故运动员最后停在C点右侧

6

m处。答案：（3）不能

停在C点右侧6m处Part03聚焦“素养”·引思维⁠“科学思维能力”⁠巧用动能定理求解往复运动问题在有些问题中，物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定的，求解这类问题时若运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出。由于动能定理只与物体的初、末状态有关而不计运动过程的细节，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。现列举几例，供同学们思考总结。类型一

往复次数可确定的情形【典例1】如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC是水平的，其距离d＝0.50m。盆边缘的高度为h＝0.30m。在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止开始下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数μ＝0.10。小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止的地点到B的距离为（

）A.0.50mB.0.25mC.0.10mD.0解析

设小物块在BC段通过的总路程为s，由于只有水平面上存在摩擦力，则小物块从A点开始运动到最终静止的整个过程中，摩擦力做的功为－μmgs，而重力做的功与路径无关，由动能定理得mgh－μmgs＝0－0，代入数据可解得s＝3

m。由于d＝0.50

m，所以小物块在BC段经过3次往复运动后，又回到B点。答案

D类型二

往复次数无法确定的情形【典例2】如图所示，竖直固定放置的斜面DE与一光滑的圆弧轨道ABC相切，C为切点，圆弧轨道的半径为R，斜面的倾角为θ。现有一质量为m的滑块从D点无初速度下滑，滑块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动，已知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面上，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：（1）滑块第一次滑至左侧圆弧上时距A点的最小高度差h；

（2）滑块在斜面上能通过的最大路程s。

Part04锁定“目标”·提素能⁠1.静止在地面上的物体在不同合外力F的作用下通过了相同的位移s0，下列情况中物体在s0位置时速度最大的是（

）

C.mgRD.（1－μ）mgR解析：D

设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有mgR－WAB－μmgR＝0－0，所以WAB＝mgR－μmgR＝（1－μ）mgR，故D正确。3.（2023·江苏如皋高三开学考试）如图所示，表面粗糙程度相同的斜面AB和水平面BC在B处平滑连接，将一小物块从斜面上由静止释放，滑到水平面上停下。则物块A释放点的高度h、物块在释放点具有的重力势能Ep与对应全过程中物块的水平位移大小x，物块运动过程中的动能Ek、重力的功率P与运动时间t的关系图像中，可能正确的是（

）解析：C

物块运动过程中，随着x的增加，h减小到0后不再减小，选项A错误；同理物块运动到水平面BC上后重力势能Ep不再变化，选项B错误；物块沿斜面AB下滑，速度越来越大，动能越来越大，到水平面BC上后，由于摩擦力的作用做减速运动，动能越来越小，选项C正确；物块运动沿斜面AB匀加速下滑，速度均匀增大，竖直方向的速度也均匀增大，重力的功率P均匀增大，到B点以后，速度沿水平方向，重力的功率P为0，选项D错误。4.（2023·江苏徐州模拟）如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为（重力加速度为g，不计空气阻力）（

）

5.（2023·浙江绍兴市高三模拟）如图所示，同一块砖，第一次平放在水平地面上，第二次侧放在水平地面上，两次给砖以相同的水平初速度让它沿水平面运动，结果发现两次运动的距离相差很大，最可能的原因是（

）A.因为砖的重心不同而引起的能量变化不同B.因为接触面的粗糙程度不同而引起的摩擦力不同C.因为接触面的面积不同而引起的摩擦力不同D.因为对地面的压力不同而引起的摩擦力不同

6.在某一粗糙的水平面上，一质量为2kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像。已知重力加速度g取10m/s2。根据以上信息不能精确得出或估算得出的物理量有（

）A.物体与水平面间的动摩擦因数B.合外力对物体所做的功C.物体做匀速运动时的速度D.物体运动的时间

7.（2023·江苏通州高三月考）如图所示，在一根轻绳的四个等间距的位置上分别系有完全相同的小球A、B、C、D，轻绳的上端悬挂在天花板上，下端小球D距离地面的高度为h，lAB＝lBC＝lCD＝h，现从上端由静止释放轻绳，小球落地后不反弹，则（

）A.四个球依次落地的时间间隔相等B.四个球依次落地的时间间隔变长C.球A在空中运动时间是球D运动的2倍D.球B落地时的速度是球D落地时的3倍

⁠8.（2023·江苏连云港二模）1697年牛顿、伯努利等解出了“最速降线”的轨迹方程。如图所示，小球在竖直平面内从静止开始由P点运动到Q点，沿PMQ光滑轨道时间最短（该轨道曲线为最速降线）。PNQ为倾斜光滑直轨道，小球从P点由静止开始沿两轨道运动到Q点时，速度方向与水平方向的夹角相等。M点为PMQ轨道的最低点，M、N两点在同一竖直线上。则（

）A.小球沿两轨道运动到Q点时的速度大小不同B.小球在M点受到的弹力小于在N点受到的弹力C.小球在PM间任意位置加速度都不可能沿水平方向D.小球从N到Q的时间大于从M到Q的时间

9.（2021·江苏高考）如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：（1）装置静止时，弹簧弹力的大小F；解析：（1）设AB、OB的张力分别为F1、F2，A受力平衡，则F＝F1sin

37°B受力平衡，则F1