中考数学专题复习课件第22讲图形的性质三角形认识初步专题练习

备战2024中考数学专题复习第22讲图形的性质——三角形认识初步专题练习一．三角形的角平分线二．三角形的面积三．三角形的稳定性四．三角形的重心五．三角形三边关系六．三角形内角和定理七．三角形的外角性质一．三角形的角平分线1.如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是(____)A._____B._____C.___D.____D【解析】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，A、B、C都不符合高线的定义，D符合高线的定义．故选：D．2.下列各图中，作△ABC中BC边上的高正确的是(____)A.___B._____C._____D._____D【解析】解：A、是AC边上的高，错误；B、不符合高的概念，错误；C、是AB边上的高，错误；D、是BC边上的高，正确．故选：D．3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是(____)A.____B._____C.____D._____【解析】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D．D4.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是(____)A.____B.____C._____D._____D【解析】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．5.如图，在△ABC中BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE交于点O．(1)若CD是中线，BC=4，AC=3，则△BCD与△ACD的周长差为____；(2)若∠ABC=64°，CD是高，求∠BOC的度数；(3)若∠A=80°，CD是角平分线，求∠BOC的度数．【解析】解：(1)∵CD是中线，∴BD=AD，∵BC=4，AC=3，∴C△BCD=BC+BD+AD=4+AD+CD，C△ACD=AD+CD+AC=3+AD+CD，1

二．三角形的面积6.如图，已知在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则三角形ABE的面积等于(____)A.6B.5C.4D.3

A

1

8.如图，已知点A(-4，0)，B(6，0)，C(2，4)，D(-3，2)．____(1)求四边形ABCD的面积；(2)在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求点P的坐标．【解析】解：(1)分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别为E、F，

9.如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2)．(1)写出点A，B的坐标：A(____，____)，B(____，____)；(2)求△ABC的面积．【解析】解：(1)由题意可知，每个小格表示长度为1，∴A点坐标为(2，-1)，B点坐标为(4，3)．故答案为：(2，-1)，(4，3)．(2)如图，过A点作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，2-143

三．三角形的稳定性11.下列说法正确的是(____)A.三角形的三条中线交于一点B.三角形的三条高都在三角形内部C.三角形不一定具有稳定性D.三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部【解析】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；C．三角形一定具有稳定性，错误；D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；故选：A．A12.如图，要使五边形木架不变形，需要再钉上木条的根数至少为(____)A.1B.2C.3D.6【解析】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，故选：B．B13.西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越润沧江，是西双版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是____________________．【解析】解：西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．三角形具有稳定性14.如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，原理是____________________．【解析】解：河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．三角形具有稳定性四．三角形的重心15.三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的_____．【解析】解：三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，故答案为：重心．重心16.如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，S△BDE=2，则△AEC的面积是____．【解析】解：∵在△ABC中，D是△ABC的重心，∴AD=2DE，∵S△BDE=2，∴S△ABD=2△BDE=4，∴S△ABE=S△ABD+S△BDE=4+2=6，∵在△ABC中，D是△ABC的重心，∴BE=CE，∴S△AEC=S△ABE=6，6故答案为：6．五．三角形三边关系17.下列各组中的三条线段能组成三角形的是(____)A.3，4，8B.5，6，11C.5，6，10D.4，4，8【解析】解：A、3+4=7＜8，不能组成三角形；B、5+6=11，不能组成三角形；C、5+6=11＞10，能够组成三角形；D、4+4=8，不能组成三角形．故选：C．C18.下列各组长度的线段能构成三角形的是(____)A.1cm,3cm,2cmB.3cm,7cm,3cmC.6cm,1cm,6cmD.4cm,10cm,4cm【解析】解：根据三角形的三边关系，得A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；B、3+3＜7，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+6＞6，能够组成三角形，故此选项正确；D、4+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误．C故选：C．19.从长为3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形为(____)A.3cm,6cm,8cmB.3cm,6cm,9cmC.3cm,8cm,9cmD.6cm,8cm,9cm【解析】解：A、3+6＞8，可以组成三角形，故此选项不合题意；B、3+6=9，不可以组成三角形，故此选项符合题意；C、3+8＞9，可以组成三角形，故此选项不合题意；D、8+6＞9，可以组成三角形，故此选项不合题意；B故选：B．20.以下列各组线段为边，能组成三角形的是(____)A.2、2、4B.8、6、3C.2、6、3D.11、4、6【解析】解：根据三角形的三边关系，知A、2+2=4，不能组成三角形；B、3+6＞8，能够组成三角形；C、3+2=5＜6，不能组成三角形；D、4+6＜11，不能组成三角形．B故选：B．21.有两根长度分别是3cm和5cm的木棒，从下列长度的木棒与它们摆成一个三角形的是(____)A.2cmB.5cmC.8cmD.11cm【解析】解：设第三根木棒的长为lcm,则5-3＜l＜5+3，即2＜l＜8．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．B22.若一个三角形的两边长分别为2cm,7cm,则它的第三边的长可能是(____)A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm【解析】解：设第三边长为xcm,根据三角形的三边关系可得：7-2＜x＜7+2，解得：5＜x＜9，故选：C．C23.下列各组线段中，能构成三角形的是(____)A.2，5，7B.4，4，8C.4，5，6D.4，5，10【解析】解：A、2+5=7，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C、4+5＞6，能组成三角形，符合题意；D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．C24.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(____)A.2，3，7B.3，3，6C.2，3，4D.1，2，3【解析】解：A、3+2＜7，不能组成三角形，故此选项不合题意；B、3+3=6，不能组成三角形，故此选项不合题意；C、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；D、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不合题意；C故选：C．25.已知三角形的三边长分别为4，x,10，则x的值可能是(____)A.4B.5C.6D.7【解析】解：∵三角形的三边长分别为4，x,10，∴10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，只有D符合题意，故选：D．D26.下列长度的三条线段能组成三角形的是(____)A.1，2，3.5B.4，5，9C.6，8，10D.7，11，3【解析】解：A选项，1+2=3，两边之和等于第三边，故不能组成三角形，不符合题意；B选项，3+5=8＜9，两边之和小于第三边，故不能组成三角形，不符合题意；C选项，6+8=14＞10，两边之和大于第三边，故能组成三角形，C符合题意；D选项，3+7=10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形，不符合题意．故选：C．27.已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x-5|+|x-13|=____．【解析】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x-5＞0，x-13＜0，∴|x-5|+|x-13|=x-5+13-x=8，故答案为：8．828.已知△ABC的三边是a,b,c,化简|a+b-c|-|b-c-a|+|c-b+2a|=_________．【解析】解：∵△ABC的三边是a,b,c,∴a+b＞c,c+a＞b,∴a+b-c＞0，b-c-a＜0，c-b+2a＞0，则原式=a+b-c+b-c-a+c-b+2a=2a+b-c,故答案为：2a+b-c.2a+b-c29.三角形的三边长分别为5，x,8，则x的取值范围是_________．【解析】解：根据三角形的三边关系，得：8-5＜x＜8+5，即：3＜x＜13．故答案为：3＜x＜13．3＜x＜13六．三角形内角和定理30.如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于(____)A.60°B.90°C.75°D.105°【解析】解：如图所示：∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∴此三角形是直角三角形，B∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．故选：B．31.如图，△ABC中，∠A=80°，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于(____)A.80°B.120°C.100°D.150°【解析】解：∵BE和CH为△ABC的高，∴∠BHC=∠AEB=90°，∵∠A=80°，在△ABE中，∠ABE=180°-90°-80°=10°，C在△BHO中，∠BOH=180°-90°-10°=80°，∴∠BOC=180°-80°=100°．故选：C．32.如图，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A=68°，则∠BOC=______．

124°∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-56°=124°．故答案为：124°．33.如图，在△ABC中，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE=50°，则∠A的度数是____°．【解析】解：∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE=50°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×50°=100°．在△ABC中，∠ABC=100°，∠C=30°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-100°-30°=50°．故答案为：50．5034.如图，AD平分∠CAE，∠B=30°，∠ACD=80°，则∠EAD=_____．

65°35.如图，在△ABC中，BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACD的角平分线，BO1是∠OBC的角平分线，CO1是∠OCD的角平分线，若∠A=α，则∠O1=

．【解析】解：∵____是_______的角平分线，∴________，∵____是_______的角平分线，∴________，∴____________________________________________，∵___是_______的角平分线，___是_______的角平分线，∴________，________，∴__________________________________________，故答案为：__．36.在△ABC中，线段AD是BC边上的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°，AE平分∠BAC，则∠BAE的度数为____________．【解析】解：①如图，当高AD在△ABC内部时，_____∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°．40°或20°

37.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=20°，则∠CDE度数为_____．【解析】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=20°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=20°+45°=65°，∴∠CDE=65°，故答案为65°．65°38.在△ABC中，∠A=85°，∠B=35°，点D在线段AB上，点F在射线BC上，连接DF与射线AC相交于点E，且∠ADE=65°，M是EF中点，则∠BCM=_____________．【解析】解：①如图，____∵∠B=35°，∠A=85°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，∵∠ADE=65°，∴∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-85°-65°=30°，120°或60°

___∵∠B=35°，∠A=85°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，∵∠ADE=65°，∴∠BFD=∠ADE-∠B=65°-35°=30°，∴∠CFE=∠E=30°，

39.如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠2的度数为_____．____【解析】解：如图，由题意，∠1=∠3，∠2=∠430°

40.一个三角形的三个内角的度数比是5：3：1，这是一个_____三角形．【解析】解：因为三角形的三个内角的度数比是5：3：1，所以可设三个内角度数分别为：5x,3x,x,根据题意，得：5x+3x+x=180°，解得：x=20°，所以三角形的三个内角的度数分别为：100°，60°，20°，所以这是一个钝角三角形．故答案为：钝角．钝角41.当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．(1)若一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____；(2)若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为____________；(3)一个“特征三角形”的“特征角”α的度数的取值范围为______________．

30°60°或90°0°＜α＜120°

_______

43.在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=2∠A+60°，求△ABC各个内角的度数．【解析】解：由三角形的内角和定理得：∠A+∠B+∠C=180°，∵∠B=3∠A，∠C=2∠A+60°，∴∠A+3∠A+2∠A+60°=180°，解得：∠A=20°，∴∠B=3∠A=60°，∠C=2∠A+60°=2×20°+60°=100°，∴△ABC各个内角的度数分别为：∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．44.如图，在△ABC中，过点A作BC边上的高交CB的延长线于点D，BE平分∠ABC交AC于点E．若∠DAB=36°，∠C=32°，求∠AEB的度数．

∴∠AEB=∠C+∠EBC=32°+63°=95°．45.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE=33°，∠B=37°，求∠EAC的度数．【解析】解：∵AE⊥CD交CD于点F，∴∠AFC=∠EFC=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF=∠ECF，∵∠AFC+∠EAC+∠ACF=180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF=180°，∴∠EAC=∠CEA，∵∠CEA=∠B+∠BAE，∠B=37°，∠BAE=33°，∴∠CEA=70°，∴∠EAC=70°．46.(1)如图1，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．(请补充下面的证明过程)解：连接AD并延长至点F，如图2：由外角定理可得∠BDF=∠BAD+____，∠CDF=∠C+∠CAD，且∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，相加可得∠BDC=_______________；(2)如图3，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，它们交于点P，∠A=60°，∠P=90°，请求出∠D的度数．∠B∠BAC+∠B+∠C________【解析】解：(1)连接AD并延长至点F，如图2：由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，且∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，相加可得∠BDC=∠BAD+∠B+∠C+∠CAD=∠BAC+∠B+∠C；故答案为：∠B；∠BAC+∠B+∠C．(2)由(1)的结论可知：∠P=∠A+∠PBA+∠PCA，∵∠A=60°，∠P=90°，∴∠PBA+∠PCA=∠P-∠A=90°-60°=30°，∵BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，∴∠ABD=2∠PBA，∠ACD=2∠PCA，∴∠ABD+∠ACD=2(∠PBA+∠PCA)=2×30°=60°，由(1)的结论可知：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD=60°+60°=120°．

三角形内角和定理100°∠BAC∠BAE角平分线的定义∴______=90°．∵∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-52°=38°，∴∠DAE=∠CAE-______=_____．

∠ADC∠CAD12°∵∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-52°=38°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=12°，故答案为：三角形内角和定理，100°，∠BAC，∠BAE，角平分线的定义，∠ADC，∠CAD，12°．48.如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠1+∠2=180°，求证：∠AGF=∠ABC．【解析】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠AED=90°，∴BF∥DE，∴∠2+∠3=180°，又∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠3，∴GF∥BC，∴∠AGF=∠ABC．49.如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．(1)当∠ABC=64°，∠ACB=66°时，∠D=_____°，∠P=____°；(2)∠A=56°，求∠D，∠P的度数；(3)请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．

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50.(问题背景)∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．_______(问题思考)(1)如图①，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，点B的运动，∠AEB=

；(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．①若∠BAO=80°则∠D=

；②随着点A、B的运动∠D的大小会变吗？如果改变求∠D的度数；如果不变，请说明理由；(问题拓展)(3)在图②的基础上，射线OA的反向延长线上有一点P，如果∠PON=α，其余条件不变，围随着点A、B的运动(如图③)，则：∠MON=

．用含α的代数式表示)∠D=

．(用含α的代数式表示)【解析】解：(1)∵∠MON=90°∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∵AD平分∠BAO，∴∠DAB=40°，∴∠D=180°-(∠OBD+∠ABO+∠OAB)=180°-(85°+10°+40°)=45°．故答案为：45°．②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=x,∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2x,∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90°+2x,∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+x,∴∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+x-x=45°．故∠D的度数不随A、B的移动而发生变化．(3)设∠BAD=x,

(3)请证明(2)中的结论．

52.如图，在△ABC中，CD是角平分线，CE是高，若∠A=30°，∠B=50°，求∠DCE的度数．

53.综合与实践如图1，线段AD与BC相交于点O，连接AC，BD，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系．(1)请通过观察、测量，猜想图1中∠A+∠C与∠B+∠D之间的数量关系，并说明理由；

【解析】解：(1)理由：∵∠A+∠C+∠AOC=180°，∠B+∠D+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D．(2)设∠CAD=2x,∠CBD=2y,根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：∠CAP=∠PAD=x,∠CBP=∠DBP=y,∵三角形的内角和等于180°，∠C=35°，∠D=29°，∴∠C+∠CAD=∠D+∠CBD，即35°+2x=29°+2y①．∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，∴∠P+∠EAP=∠D+∠DBP，即∠P+x=29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，

由②可得(n-1)(α-β)=∠D-∠P，∴(n-1)(∠P-∠C)=∠D-∠P，∴n∠P=(n-1)∠C+∠D，七．三角形的外角性质54.AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAE=60°，则∠ACD=(____)A.25°B.60°C.85°D.95°【解析】解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC=2∠DAE=120°，∴∠ACB=∠EAC-∠B=85°，∴∠ACD=180°-85°=95°，D故选：D．55.如图，∠ACD=75°，∠A=30°，则∠B=____°．【解析】解：∵∠A