内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期第一次学情诊断（4月月考）数学试题

机密★启用前达旗一中2023-2024春季学期高一年级第一次学情诊断数学总分：150分考试时间：120分钟命题人：王浩审题人：王东注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上答题无效.一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.1.（）A.-1B.1C.D.2.若为奇函数，则的值为（）A.-1B.0C.1D.23.，则（）A.B.C.D.4.已知，若，则（）A.1B.-1C.D.5.在中，为的中点，为边上的点，且，则（）A.B.C.D.6.中，角的对边分别为，则（）A.B.C.2D.-27.在中，，且的面积为，则（）A.B.C.D.8.锐角中内角所对边分别为，若，则的范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（）A.B.C.图象的对称中心为D.直线是图象的一条对称轴11.记的内角的对边分别为，已知，且有两解，则的值可能是（）A.B.C.D.12.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（）A.点，与向量共线的单位向量为B.非零向量和满足，则与的夹角为C.已知平面向量，若向量与的夹角为锐角，则D.向量，则在上的投影向量的坐标为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.向量“”是向量“”的__________条件.14.已知，则的值为__________.15.在中，角所对的边分别为，若，，且，则__________.16.已知非零向量，满足，且，则的最大值为__________.四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知幂函数在上为严格减函数.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.18.（12分）在中，角所对的边分别为，且（1）求；（2）为边上一点，，求长.19.（12分）已知函数.（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）求函数在上的单调递增区间.20.（12分）已知在中，内角所对的边分别为，其中.（1）求；（2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.21.（12分）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.（1）若向量，求；（2）若平行四边形的面积为4，求；22.（12分）已知锐角的内角的对边分别为，.（1）求角；（2）求面积的取值范围.达旗一中高一年级第一次月考参考答案1.C【分析】根据复数的除法结合虚数单位的性质，即可求得答案.【详解】由题意得，2.D【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值.【详解】由函数为奇函数，可得，可得，解得，经检验，当时，，满足，符合题意，所以.3.C【分析】根据同角三角函数的关系平方求解，结合二倍角公式求解即可.【详解】，平方可得，4.A【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】，由得，解得.5.A【分析】根据已知可推得.然后根据，即可得出答案.【详解】因为为的中点，所以.又因为，，所以.所以，.6.D【分析】根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解.【详解】由余弦定理得.又因为，所以，故.故选：D.7.D【分析】先利用正弦定理角化边可得，再由三角形面积公式可得，最后根据余弦定理求解即可.【详解】设中角所对的边分别为，因为，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因为，所以，8.B【分析】由锐角三角形的性质，先求出角的范围，结合正弦定理进行转化求解即可【详解】由正弦定理得，又，所以，因为，所以，即，因为为锐角，所以，又，所以，所以，即，故的取值范围是.9.BD【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.【详解】对于，取，满足，取，有，A错误；对于，由，得，而，因此，B正确；对于，取错误；对于D，由，得，因此正确.10.BC【分析】利用部分图象，求出的解析式，结合三角函数的性质即可求解.【详解】对于，由图象可知，又图象过，则，又，则错误；对于，又图象过，则，故正确；对于，所以的解析式为，由，得，所以图象的对称中心为正确，对于D，，所以直线不是图象的一条对称轴，D错误.11.BC【分析】利用正弦定理及条件可得，进而即得.【详解】因为，所以，因为有两解，则，即.12.AC【分析】对于A，根据共线向量及单位向量的概念运算即可判断；对于B，利用向量数量积的运算法则，结合夹角公式即可判断；对于，检验的情况即可判断；对于，利用投影向量的公式即可判断.【详解】对于，因为，则，所以与向量共线的单位向量为，故A错误；对于，因为，所以，则，化简得，所以，即，又，所以，因为，所以，故B正确；对于，因为，当时，，得，经检验，当时，同向共线，即此时的夹角不为锐角，故错误；对于D，因为，，所以在上的投影向量的坐标为，故D正确.13.充分不必要【分析】向量相等指向量的大小和方向都相等，进而可得结果【详解】向量“”指的大小和方向都相等，故向量“”是向量“”的充分非必要条件，14.2【分析】利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.【详解】因为，等式左边分子､分母同时除以得，，解得，15.2【分析】由正弦定理可得，由余弦定理求得，由及弦定理求得和的值，从而求出的值.【详解】，由正弦定理可得，，，由余弦定理，，得，解得.16.（原创题）终点在以AB为直径的圆上最大值在中，为中边上中线.又半径综上所述17.（1）-3（2）【分析】（1）根据幂函数定义先求出，在根据幂函数性质检验的值是否满足题意；（2）根据幂函数性质求解即可.【详解】（1）因为函数是幂函数，所以，得或，因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意，所以.（2）由（1）可得设函数，因为函数在上严格单调递减，所以或或，得或.所以实数的取值范围是.18.（1）；（2）.【详解】（1）由正弦定理得：，，显然则，又，故；（2）因为，根据余弦定理得：.所以，所以，所以，所以，所以.19.（1），对称轴方程为；（2）和【分析】（1）直接对的表达式进行三角恒等变换即可求出解析式，进而得到其图象的对称轴方程；（2）先考虑的单调递增区间，然后令属于该区间即可解得的单调区间.【详解】（1），由，解得；所以，函数图象的对称轴方程为；（2）当时，有，要使单调递增，则需要，或，解得，或故函数在上的单调递增区间为和.20.（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.【详解】（1）根据题意可得，由正弦定理得，又故，又，所以，则，因为，所以.（2）因为，所以，又平分，所以，所以，则，即由余弦定理得，即，所以，解得（负值舍去），故的周长为.21.（1）14（2）4【分析】（1）利用向量数量积的运算求得，从而利用新定义即可得解；（2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解；（3）利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解.【详解】（1）因为，则所以，因为是向量的夹角，所以，因此，故.（2）因为平行四边形的面积为4，所以，所以.