2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题1.9 全等三角形中的经典模型-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题1.9全等三角形中的经典模型【苏科版】【题型1平移模型】【例1】（2020秋•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）．【变式1-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式1-2】（2020秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式1-3】（2021春•雁塔区校级期中）如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【题型2轴对称模型】【例2】（2020秋•杭州校级月考）如图，在△ABC和△BAD中，AC与BD相交于点E，已知AD＝BC，另外只能从下面给出的三个条件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB选择其中的一个用来证明在△ABC和△BAD全等，这个条件是．（填写编号），并证明△ABC≌△BAD．【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可．【解答过程】解：这个条件是：①，证明如下：在△ABD与△BAC中，BC=AD∠CBA=∠DAB∴△ABC≌△BAD（SAS）．【变式2-1】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．【变式2-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．【变式2-3】如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【题型3旋转模型】【例3】（2020秋•渝水区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【解题思路】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△ABD与△ACE全等，进而解答即可．【解答过程】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【变式3-1】（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．【变式3-2】（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式3-3】（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【题型4一线三等角模型】【例4】（2020秋•覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．【解答过程】解：（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）DE＝BD+CE．理由是：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．【变式4-1】（2020春•香坊区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【变式4-2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【变式4-3】（2020秋•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【题型5倍长中线模型】【例5】（2020秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解题思路】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【解答过程】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDB(对顶角相等)∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【变式5-1】（2020春•大庆期末）如图．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM．【变式5-2】（2020秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG．【变式5-3】（2020秋•安陆市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【题型6截长补短模型】【例6】（2020秋•涪城区校级月考）如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC，∠BCD．求证：AE＝DE．【解题思路】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，进一步可得出△AEB≌△DEF，可得出结论．【解答过程】证明：如图，延长BE交CD的延长线于F，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠FCE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠FBA，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠FBC＝∠F．在△FCE和△BCE中∠F=∠FBC∠FCE=∠BCE∴△FCE≌△BCE（AAS），∴EF＝BE，BC＝FC，在△AEB和△DEF中，∠AEB=∠DEFBE=EF∴△AEB≌△DEF（ASA），∴AE＝ED．【变式6-1】（2020秋•蕲春县期中）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．【变式6-2】（2020秋•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．【变式6-3】（2020秋•北流市期中）已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O．（1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系；（2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数；（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明．专题1.9全等三角形中的经典模型【苏科版】【题型1平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【例1】（2020秋•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【解题思路】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A＝∠D，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）．【变式1-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【解题思路】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．【解答过程】证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠F∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOE∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【变式1-2】（2020秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【解题思路】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证．【解答过程】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中结论依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△ACF≌△DEB（SAS）．【变式1-3】（2021春•雁塔区校级期中）如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解题思路】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证．【解答过程】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC．【题型2轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【例2】（2020秋•杭州校级月考）如图，在△ABC和△BAD中，AC与BD相交于点E，已知AD＝BC，另外只能从下面给出的三个条件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB选择其中的一个用来证明在△ABC和△BAD全等，这个条件是．（填写编号），并证明△ABC≌△BAD．【解题思路】选择条件①，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可．【解答过程】解：这个条件是：①，证明如下：在△ABD与△BAC中，BC=AD∠CBA=∠DAB∴△ABC≌△BAD（SAS）．【变式2-1】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．【解题思路】证△ABE≌△ACD，推出∠B＝∠C，AD＝AE，求出BD＝CE，证△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质推出即可．【解答过程】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ABE和△ACD中∠A=∠A∠AEB=∠ADC∴△ABE≌△ACD（AAS），∴∠B＝∠C，AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BDO和△CEO中∠DOB=∠EOC∠B=∠C∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB＝OC．【变式2-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．【解题思路】求出∠ABP＝∠ACP＝90°，根据HL推出Rt△ABP≌Rt△ACP，根据全等三角形的性质得出∠BPD＝∠CPD，根据SAS推出△BPD≌△CPD，即可得出答案．【解答过程】证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP＝∠ACP＝90°，∴在Rt△ABP和Rt△ACP中AP=APPB=PC∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠BPD＝∠CPD，在△BPD和△CPD中PB=PC∠BPD=∠CPD∴△BPD≌△CPD，∴∠BDP＝∠CDP．【变式2-3】如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【解题思路】利用已知条件先证明△DBC≌△EBC，再证明△AMD≌△ANE，即可解答．【解答过程】解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，在△DBC和△EBC中BD=EC∠B=∠C∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE，∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN，在△AMD和△ANE中∵∠AMD=∠ANE=90°∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN．【题型3旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】【例3】（2020秋•渝水区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【解题思路】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△ABD与△ACE全等，进而解答即可．【解答过程】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【变式3-1】（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．【解题思路】证明△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，根据三角形内角和定理得出∠BFD＝∠BAD＝90°，证明结论．【解答过程】解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°．∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，AD=AB∠CAD=∠EAB∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．【变式3-2】（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【解题思路】（1）先证∠DAB＝∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，则可得出结论；（2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，进而得出结论．【解答过程】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．【变式3-3】（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【解题思路】（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解题；（2）延长BD交CE于F，易证∠BAD＝∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解题．【解答过程】证明：（1）延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD∠EAC=∠DAB∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AD=AE∠BAD=∠EAC∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．【题型4一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【例4】（2020秋•覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．【解答过程】解：（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）DE＝BD+CE．理由是：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．【变式4-1】（2020春•香坊区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【解题思路】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD＝CE；（2）由全等三角形的性质可得∠B＝∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．【解答过程】解：（1）在△ABD和△DCE中，AB=CD∠BAD=∠CDE∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【变式4-2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【解题思路】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【解答过程】解：（1）①如图1，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案为＝，＝．②：①中两个结论仍然成立；证明：如图2，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，如图3，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；（2）EF＝BE+AF．理由是：如图4，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．【变式4-3】（2020秋•余杭区月考）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【解题思路】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CAF；（2）由“ASA”可证△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得S△ABE＝S△CAF，由三角形的面积关系可求解．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∵CD＝2BD，△ABC的面积为15，∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF是本题的关键．【题型5倍长中线模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】【例5】（2020秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解题思路】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【解答过程】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDB(对顶角相等)∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【变式5-1】（2020春•大庆期末）如图．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM．【解题思路】延长AM至N，使MN＝AM，证△AMC≌△NMB，推出AC＝BN＝AD，求出∠EAD＝∠ABN，证△EAD≌△ABN即可．【解答过程】证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中AM=MN∠AMC=∠NMB∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD+∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAD，在△EAD和△ABN中∵AE=AB∠EAD=∠ABN∴△ABN≌△EAD（SAS），∴DE＝AN＝2AM．【变式5-2】（2020秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG．【解题思路】延长FE至Q，使EQ＝EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G＝∠GFA＝∠BFE，推出∠G＝∠Q，推出CQ＝CG即可．【解答过程】证明：延长FE至Q，使EQ＝EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE＝CE，∵在△BEF和△CEQ中BE=CE∠BEF=∠CEQ∴△BEF≌△CEQ，∴BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD＝∠G，∠BAD＝∠GFA，∴∠G＝∠GFA，∴∠GFA＝∠BFE，∵∠BFE＝∠Q（已证），∴∠G＝∠Q，∴CQ＝CG，∵CQ＝BF，∴BF＝CG．【变式5-3】（2020秋•安陆市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【解题思路】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ＝DE＝3，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，于是得到AM＝2AD由已知条件得到BD＝CD，根据全等三角形的性质得到BM＝CA，∠M＝∠CAD，于是得到∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答过程】（1）证明：在△ADC与△EDB中，AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，PE=PQ∠EPD=∠QPF∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，MD=AD∠BDA=∠CDA∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，BM=CA∠ACQ=∠MBA∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．【题型6截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程【例6】（2020秋•涪城区校级月考）如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC，∠BCD．求证：AE＝DE．【解题思路】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，进一步可得出△AEB≌△DEF，可得出结论．【解答过程】证明：如图，延长BE交CD的延长线于F，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠FCE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠FBA，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠FBC＝∠F．在△FCE和△BCE中∠F=∠FBC∠FCE=∠BCE∴△FCE≌△BCE（AAS），∴EF＝BE，BC＝FC，在△AEB和△DEF中，∠AEB=∠DEFBE=EF∴△AEB≌△DEF（ASA），∴AE＝ED．【变式6-1】（2020秋•蕲春县期中）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．【解题思路】（1）利用平行线的性质证明∠2+∠3＝90°即可解决问题．（2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF．利用全等三角形的性质证明CF＝CD即可解决问题．【解答过程】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，AB=FB∠1=∠2∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180，∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D，在△CDE和△CFE中，∠6=∠D∠3=∠4∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF＝CD．∵BC＝BF+CF，∴BC＝AB+CD，【变式6-2】（2020秋•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．【解题思路】连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD≌△AFD，可得∠ADC＝∠ADF即可解题．【解答过程】解：连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF，∴CD＝FD，∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠AEF，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC＝AF，在△ACD和△AFD中，AC=AFCD=FD∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．【变式6-3】（2020秋•北流市期中）已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O．（1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系；（2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数；（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明．【解题思路】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；（2）把∠A＝60°代入计算即可；（3）在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG，证明△COD≌△COG，根据全等三角形的性质得到∠COG＝∠COD＝60°，再证明△BOE≌△BOG，得到BE＝BG，结合图形证明结论．【解答过程】解：（1）∠BOC＝90°+12∠理由如下：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝90°+1（2）当∠A＝60°时，∠BOC＝90°+1（3）BE+CD＝BC，证明：在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG，由（2）知：∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠GCO，在△COD和△COG中，CD=CG∠DCO=∠GCO∴△COD≌△COG（SAS）∴∠COG＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠GBO，∴在△BOE和△BOG中，∠EBO=∠GBOBO=BO∴△BOE≌△BOG（ASA）∴BE＝BG，∵BG+GC＝BC，∴BE+CD＝BC．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．专题1.10全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！1．（2021春•道里区期末）如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．2．（2021春•宁德期末）如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．（1）说明△AOC≌△DOB的理由；（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．3．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．4．（2021春•渝中区校级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．5．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．（1）求证：△ABC≌△DAE，（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．6．（2021春•莱芜区期末）如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．（1）求证：△ABM≌△DCN；（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．7．（2021春•静安区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．（1）AD和BC相等吗？为什么？（2）BF和BD相等吗？为什么？8．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．9．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；（2）求证：AD＝AE．10．（2021•南岗区模拟）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如图1，求证：AC＝DE；（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．11．（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．12．（2021•广州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．13．（2020春•越秀区校级期中）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．求证：（1）∠BAN＝∠CAM；（2）∠ODA＝∠OEA．14．（2020•江北区模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．15．（2020秋•萧山区月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线上一点，CG＝AB，连接AG，AF．（1）试说明∠ABD＝∠ACE；（2）探求线段AF，AG有什么关系？并请说明理由．16．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若CD＝1，试求△AED的面积．17．（2020秋•台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD．（1）求证：C是DE的中点；（2）求证：AB＝2CF．18．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），AD与BC交于点P．（1）求证：△AOD≌△COB；（2）求∠APC（用含α的式子表示）；（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，请直接写出OM和ON的数量关系．19．（2020秋•花都区月考）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．（1）探究PA与AQ之间的关系；（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．20．（2020春•萍乡期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝∠1，∠DCE＝∠2．（1）如图①，当点D在线段BC上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．21．（2020春•揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．22．（2020秋•淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．（2020秋•蒙阴县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，①找出图中一对全等三角形；②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．24．（2020秋•环翠区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、25．（2021春•和平区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，AB＝4BD，连接CD，点E，F在线段CD上，连接BF，AE，∠BFC＝∠AEC＝180°﹣∠ACB．（1）①∠FBC与∠ECA相等吗？说明你的理由；②△FBC与△ECA全等吗？说明你的理由；（2）若AE＝11，EF＝8，则请直接写出BF的长为；（3）若△ACE与△BDF的面积之和为12，则△ABC的面积为．26．（2020•岱岳区一模）已知∠ABC＝90°，点D是直线AB边上的点，AD＝BC．（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF的形状并说明理由；（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．27．如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．28．（2021春•章丘区期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BECF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论们然成立，并说明明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，a＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．29．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．30．（2021春•揭东区期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝；（3）如图3，若∠ACD＝β，则∠AFB＝（用含β的式子表示）并说明理由．专题1.10全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！1．（2021春•道里区期末）如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．【解题思路】（1）利用ASA证明△ADE≌△CBF即可；（2）根据△ADE≌△CBF即可得图中所有相等的线段．【解答过程】（1）证明：∵AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，∵DE∥BF，∴∠E＝∠F，在△ADE和△CBF中，∠EAD=∠FCBAE=CF∴△ADE≌△CBF（ASA），（2）∵△ADE≌△CBF，∴ED＝FB，DA＝BC，EC＝FA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ADC和△CBA中，AD=CB∠DAC=∠CBA∴△ADC≌△CBA（SAS），∴AB＝CD；∴图中所有相等的线段有：ED＝FB，DA＝BC，AB＝CD，EC＝FA．2．（2021春•宁德期末）如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．（1）说明△AOC≌△DOB的理由；（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．【解题思路】（1）直接利用AAS即可证明△AOC≌△DOB；（2）利用三角形外角的性质得到∠COB，再根据△AOC≌△DOB得到OC＝OB，即可求得∠OCB．【解答过程】解：（1）在△AOC和△DOB中，∠AOC=∠DOB∠ACO=∠DBO∴△AOC≌△DOB（AAS）；（2）∵∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，∴∠COB＝∠ACD+∠CAO＝122°，∵△AOC≌△DOB，∴OC＝OB，∴∠OCB＝（180°﹣122°）÷2＝29°．3．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．【解题思路】（1）利用AAS证明△ADC≌△BED，即可得结论；（2）结合△ADC≌△BED，可得AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，进而可得CE的长．【解答过程】解：（1）AC＝BD，理由如下：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BED中，∠A=∠B∠ACD=∠BED∴△ADC≌△BED（AAS），∴AC＝BD；（2）由（1）知：△ADC≌△BED，∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，∴BC＝AC＝5，∴CE＝BC﹣BE＝2．4．（2021春•渝中区校级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠C，等量代换得到∠ABF＝∠ADF，由角平分线的定义得到∠BAF＝∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由线段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABF＝∠C，∴∠ABF＝∠ADF，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠CAF，在△ABF和△ADF中，∠BAF=∠DAF∠ABF=∠ADF∴△ABF≌△ADF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD＝AB＝8，BF＝DF，∵AE＝5，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3，∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10．5．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．（1）求证：△ABC≌△DAE，（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．【解题思路】（1）根据SSS证明三角形全等即可．（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【解答过程】（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，∴DE＝AD+DC＝AC，在△ABC和△DAE中，AB=ADAC=DE∴△ABC≌△DAE（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DAE，∴∠EAD＝∠B，∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．6．（2021春•莱芜区期末）如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．（1）求证：△ABM≌△DCN；（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据HL可证明：△ABM≌△DCN；（2）根据AAS证明△AMO≌△DNO可得结论．【解答过程】（1）证明：∵BN＝CM，∴BN+MN＝MN+CM，即CN＝BM，∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，∴∠AMB＝∠DNC＝90°，在Rt△ABM和Rt△DCN中，AB=CDBM=CN∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；（2）解：OA＝OD，理由如下：∵Rt△ABM≌Rt△DCN，∴AM＝DN，在△AMO和△DNO中，∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNO∴△AMO≌△DNO（AAS），∴OA＝OD．7．（2021春•静安区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．（1）AD和BC相等吗？为什么？（2）BF和BD相等吗？为什么？【解题思路】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD与△CDB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB与△CDB全等，进而解答即可．【解答过程】解：（1）AD＝CB，理由如下：∵AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，同理可得，∠ADB＝∠CBD，在△ABD与△CDB中，∠ABD=∠CDBBD=DB∴△ABD≌△CDB（ASA），∴AD＝CB；（2）BF＝BD，理由如下：∵AD＝CB，BE＝AD，∴BC＝BE，∵∠DEF＝∠ADC，∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，即∠EFB＝∠CDB，在△EFB与△CDB中，∠EFB=∠CDBBC=BE∴△EFB≌△CDB（ASA），∴FB＝DB．8．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．【解题思路】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．【解答过程】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，AB=FC∠EBA=∠ACF∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝FA；（2）解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．9．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；（2）求证：AD＝AE．【解题思路】（1）直接根据全等三角形的判定可得答案；（2）先根据SAS证得△ABF≌△ACF，再根据ASA证得△BDF≌△CEF，然后根据全等三角形的性质可得结论．【解答过程】解：（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；（2）证明：在△ABF和△ACF中，AB=AC∠1=∠2∴△ABF≌△ACF（SAS），∴∠B＝∠C，BF＝CF．在△BDF和△CEF中，∠B=∠CBF=CF∴△BDF≌△CEF（ASA），∴BD＝CE，∴AB﹣BD＝AC﹣CE，∴AD＝AE．10．（2021•南岗区模拟）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如图1，求证：AC＝DE；（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【解题思路】（1）根据SAS证明△ABC与△DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．（2）根据全等三角形的判定解答即可．【解答过程】证明：（1）∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△DBE中，AB=DB∠ABC=∠DBE∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE；（2）由（1）得△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，∴AB＝BE，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠E，在△ABG与△EBH中，∠A=∠EAB=BE∴△ABG≌△EBH（ASA），∴BG＝BH，在△DBH与△CBG中，BG=BH∠DBH=∠CBG∴△DBH≌△CBG（SAS），∴∠D＝∠C，∵DB＝CB，BG＝BH，∴DG＝CH，在△DFG与△CFH中，∠DFG=∠CFH∠D=∠C∴△DFG≌△CFH（AAS）．11．（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【解题思路】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解答过程】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，AB=CABM=AN∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．12．（2021•广州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是30．【解题思路】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【解答过程】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，∠E=∠ADC∠EBC=∠DCA∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13，∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．13．（2020春•越秀区校级期中）已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．求证：（1）∠BAN＝∠CAM；（2）∠ODA＝∠OEA．【解题思路】（1）由∠1＝∠2，则∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，即∠BAN＝∠CAM；（2）先证△ACM≌△ABN（SAS），得∠M＝∠N，再证△ADN≌△AEM（ASA），即可得出结论．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，即∠BAN＝∠CAM；（2）在△ACM和△ABN中，AM=AN∠CAM=∠BAN∴△ACM≌△ABN（SAS），∴∠M＝∠N，在△ADN和△AEM中，∠DAN=∠EAMAN=AM∴△ADN≌△AEM（ASA），∴∠NDA＝∠MEA，即∠ODA＝∠OEA．14．（2020•江北区模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝1，求得AB＝AE+BE＝3，于是得到结论．【解答过程】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，∠B=∠FCD∠BED=∠F∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝1，∴AB＝AE+BE＝2+1＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．15．（2020秋•萧山区月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F是BD上一点，BF＝AC，G是CE延长线上一点，CG＝AB，连接AG，AF．（1）试说明∠ABD＝∠ACE；（2）探求线段AF，AG有什么关系？并请说明理由．【解题思路】（1）根据的等角的余角相等，即可证明∠ACG＝∠ABF；（2）根据SAS推出△ABF≌△GCA即可解决问题；【解答过程】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABF+∠BAD＝90°，∠GCA+∠BAD＝90°，∴∠ABF＝∠GCA，（2）结论：AF＝AG，AF⊥AG．理由如下：在△ABF和△GCA中，AB=CG∠ABF=∠GCA∴△ABF≌△GCA（SAS），∴AF＝AG，∠GAC＝∠AFB，∵∠AFB＝∠ADB+∠FAD，∠GAC＝∠GAF+∠FAD，∴∠GAF＝∠ADF，∵∠ADF＝90°，∴∠GAF＝90°，∴AG⊥AF，AG＝AF．16．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若CD＝1，试求△AED的面积．【解题思路】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．【解答过程】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠C∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠A