第3章-系统的运动与离散化

3.1

线性定常系统的自由运动3.2矩阵指数的计算方法3.3线性定常系统的受控运动3.4线性定常离散系统的状态空间描述3.5

线性定常离散系统状态方程求解3.6线性连续系统的离散化小结第3章系统的运动与离散化运动分析：定量分析：3.1线性定常系统的自由运动对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究。

能控性、能观测性和稳定性。现代控制理论第3章系统的运动与离散化控制系统的分析分为定量分析和定性分析两个方面：对控制系统的规律进行精确的研究。定量的确定控制系统由外部输入作用所引起的响应。线性控制系统的状态方程为，，t≥0相对于给定的初始状态和外加输入函数求出状态方程的解，即由初始状态和外加输入引起的响应。定性分析：运动分解：现代控制理论第3章系统的运动与离散化一、基本定义由初始状态引起的自由运动；由外加输入引起的受控运动。1、自由运动线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程：2、受控运动线性定常系统在控制作用下的运动称为受控运动。状态方程可表示为非齐次方程：现代控制理论★

自由运动：第3章系统的运动与离散化系统的状态方程为，初始条件为，则状态方程的解为其中为矩阵，且满足以下两个条件则称为系统的状态转移矩阵。是的解，已知的条件。证明：现代控制理论第3章系统的运动与离散化2、系统自由运动的状态由状态转移矩阵唯一决定，它包含了系统自由运动的全部信息。1、自由运动的解，它的物理含义是：系统在t≥t0时，任意时刻的状态仅是起始状态的转移，这是为状态转移矩阵的原因。也由此说明自由运动的解可以由状态转移矩阵表达为统一的形式。3、对于线性定常系统，状态转移矩阵为二、几点讨论现代控制理论第3章系统的运动与离散化三、矩阵指数的定义已知状态转移矩阵满足以下两个条件；与通常的标量微分方程类似，设的形式为式中为待定的矩阵，由方程与初始条件决定。现代控制理论第3章系统的运动与离散化现代控制理论第3章系统的运动与离散化所以，又因为标量指数定义为所以，定义矩阵指数为。★

矩阵指数的性质：1、可逆性证明：现代控制理论第3章系统的运动与离散化2、分解性证明：3、传递性证明：说明矩阵指数是非奇异的现代控制理论第3章系统的运动与离散化的性质：性质2.性质1.性质3.若矩阵A、B可交换，即，则。性质4.性质5.若矩阵A为对角阵，即，那么也是对角阵，且。3.2矩阵指数的计算方法在此我们考虑初始时间t0=0，则现代控制理论第3章系统的运动与离散化1、根据矩阵指数的定义求解对于线性定常系统而言，其矩阵指数为，求解矩阵指数的方法有四种。2、用拉氏反变换法求解证明：现代控制理论第3章系统的运动与离散化根据凯利-哈密尔顿定理：3、将化为A的有限多项式来求解设A是一个方阵，是它的特征多项式，则必有。也就是每一个方阵A都满足自己的特征方程。特征方程：则即可用A的(n-1)项多项式之和来表示，而等均可表示成A的(n-1)次多项式的形式。所以，现代控制理论第3章系统的运动与离散化(1)A的特征值两两相异，则其中，按A的特征值形式不同，分为以下两种求法。现代控制理论第3章系统的运动与离散化(2)A的特征值为(n重根)，则现代控制理论第3章系统的运动与离散化4、通过非奇异变换法求解(1)当A的特征值为两两相异时，则式中P为使A化为对角规范型的变换矩阵。证明：现代控制理论第3章系统的运动与离散化现代控制理论第3章系统的运动与离散化(2)A的特征值为(n重根)，则式中Q为使A化为约当规范型的变换矩阵。现代控制理论第3章系统的运动与离散化例题3.1求时的矩阵指数。(四种方法)解：现代控制理论第3章系统的运动与离散化3.3线性定常系统的受控运动受控运动指系统在控制作用下的运动。数学表征为非齐次状态方程。即结论：若非齐次状态方程、的解存在，则必具有如下形式：当时，当时，现代控制理论第3章系统的运动与离散化两边取的积分，可得证明：同理可得零输入响应零状态响应现代控制理论第3章系统的运动与离散化例题3.2系统状态方程，式中为单位阶跃函数，求状态方程的解。(t≥0)解：离散系统即采样控制系统，其数学描述在时间变量上是不连续的，因此被称为离散时间系统。在经典控制理论中，线性定常离散系统的数学描述分为以下两种形式：现代控制理论第3章系统的运动与离散化3.4线性定常离散系统的状态空间描述离散系统差分方程描述形式：离散系统脉冲传递函数描述形式：系统的差分方程为1、差分方程的输入函数中不包含差分的情况现代控制理论一、将标量差分方程化为状态空间描述(1)选取状态变量第3章系统的运动与离散化现代控制理论(2)列写一阶差分方程组及输出表达式第3章系统的运动与离散化现代控制理论第3章系统的运动与离散化(3)列写状态空间描述则线性定常离散系统的一般表示形式为现代控制理论第3章系统的运动与离散化图3.1

线性定常离散系统方块图单位延迟系统结构图如图3.1所示。现代控制理论第3章系统的运动与离散化2、差分方程的输入函数中包含差分的情况系统的差分方程为(1)选取状态变量状态变量的选择：使导出的一阶差分方程等式右边不出现输入函数的差分项。其中，待定系数的计算关系式为现代控制理论第3章系统的运动与离散化多设一个辅助变量为(2)列写一阶差分方程组及输出表达式现代控制理论第3章系统的运动与离散化(3)列写状态空间描述系统的脉冲传递函数为现代控制理论二、将脉冲传递函数化为状态空间描述1、脉冲传递函数的极点为两两相异第3章系统的运动与离散化令为的互异极点，用部分分式法，则其中，为待定系数，用留数定理可得现代控制理论第3章系统的运动与离散化则系统的状态空间描述为现代控制理论第3章系统的运动与离散化2、脉冲传递函数的极点为重极点令为的n重极点，用部分分式法，则其中，为待定系数，用留数定理可得现代控制理论第3章系统的运动与离散化则系统的状态空间描述为例题3.3例题3.4现代控制理论第3章系统的运动与离散化解：3.33.4现代控制理论第3章系统的运动与离散化3.5线性定常离散系统状态方程求解离散系统受控运动，即离散时间状态方程求解，主要有两种方法：一是矩阵差分方程迭代法；二是Z变换法。1、迭代法已知线性定常离散系统状态方程为给定时的初始状态，以及时的，对于k≥0，则现代控制理论第3章系统的运动与离散化对于解的讨论：解的表达式的状态轨线是状态空间中的一条离散轨线，它与连续系统状态方程的解类似。该解可分为两部分，一部分只与系统的初始状态有关，是由初始状态引起的自由运动分量；另一部分是由输入的各次采样信号引起的受控分量，其值与控制作用的大小、性质及系统结构有关。(2)在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于所有此时刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入采样值无关。现代控制理论第3章系统的运动与离散化(3)线性定常离散系统的解与连续系统的解对照，可知离散系统的状态转移矩阵，并满足2、Z变换法现代控制理论第3章系统的运动与离散化已知线性定常离散系统状态方程为对状态方程两边进行Z变换，得然后取Z反变换，得与比较，有现代控制理论第3章系统的运动与离散化例题3.5已知，式中，，，，

用迭代法和Z变换法求解。现代控制理论第3章系统的运动与离散化3.6线性连续系统的离散化随着技术的不断进步，计算机进入控制领域，它不仅作为计算工具对连续系统的状态方程求解，而且作为控制手段对连续受控对象进行计算机控制。因此，为了适应计算机的工作，我们要将连续系统进行离散化。如图3.2所示。图3.2

典型采样系统方块图现代控制理论第3章系统的运动与离散化系统离散化的原则：系统离散化的方法：已知连续系统的动态方程为在每个采样时刻(、T为采样周期)，系统离散化前后的、、保持不变。在时刻对值采样得到，并通过零阶保持器，使的值在时间段保持不变，都等于。离散化后的系统方程为现代控制理论一、时域中线性连续系统离散化第3章系统的运动与离散化定理：线性定常系统，其离散化方程为式中G、H、C、D为常数阵，且。证明：已知线性定常系统状态方程的解令，则求时的解，即，则现代控制理论第3章系统的运动与离散化令与比较，可知，但不知，又因为