矿物物理1课件

矿物物理12024/4/17矿物物理1课程安排群论基础振动光谱穆斯堡尔谱(是否讲视最后课时情况定)成绩评定：课程结束采取闭卷考试，最后成绩主要依据考试成绩。矿物物理1参考书籍陈丰等，矿物物理学导论，科学出版社，1996A.S.马尔福宁，矿物物理学导论，地质出版社，1984A.S.马尔福宁，矿物谱学、发光和辐射中心，科学出版社，1984徐培苍等，拉曼光谱学及其在地学中的应用。陕西科技出版社，1994R.C.伯恩斯，晶体场理论的矿物学应用，科学出版社，1974李哲等，穆斯堡尔效应及其在矿物学中的应用，科学出版社，1997闻辂等，矿物红外光谱学，重庆大学出版社，1989王裕先，矿物物理学，地质出版社，1985J.F.Counuell,矿物物理及矿物材料研究，科学出版社，1982J.C.Slater,Thequantamtheoryofatomicstructure,1960V.G.法默，矿物的红外光谱学，科学出版社，1982有关量子力学和群论的教科书有关矿物谱学研究的中外文最新论文矿物物理1序言矿物物理学的发展历程矿物物理学的概念及研究对象矿物物理学的研究特点矿物物理1群论基础第一节抽象群论的几个概念第二节对称操作的矩阵表示第三节群的表示理论第四节广义正交定理及特征标正交定理第五节结晶学点群的特征标表第六节可约表示的分解第七节群的直积第八节群论应用举例矿物物理1第一节抽象群论的几个概念一、什么是群？考察一个体系，它存在一组元素，这些元素可以是一些数、矩阵、置换操作或对称操作，如果这些元素由特定的乘法运算彼此联系，而且具备封闭性、结合律、具有单位元素和逆元素等四个性质，则这组元素的集合构成一个群。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念封闭性若元素Ai和Aj是群G的任意两个元素，则其“乘积”AiAj必定也是群G的一个元素Ak，即：AiAj=Ak这就是群的封闭性，记为：若Ai,

Aj∈G则Ak=AiAj∈G结合律群中元素之间的“乘法”运算满足结合律，即：Ai(AjAk)=(AiAj)Ak=AiAjAk矿物物理1第一节抽象群论的几个概念单位元素任一群G中必有一个元素E，它与群中任一元素相“乘”，都等于被“乘”的哪个元素本身，即：EAi=AiE=AiE就叫单位元素，或恒等元素。逆元素任一群G中的每个元素Ai都有它的逆元素(记作Ai-1，也属于同一群G)，两者相乘等于单位元素，即：AiAi-1

=Ai-1Ai=E矿物物理1第一节抽象群论的几个概念总之，一体系中存在的一组元素(A1，A2，…，Ai，…，Aj，…，An)的整体，称为集合。此集合若具备上述四个条件，则构成一个群；记为：

G：{A1，A2，…，Ai，…，Aj，…，An}矿物物理1第一节抽象群论的几个概念举例(1)包括数0的全部整数的集合{0，±1，±2，…，±n，…}，对于加法构成一个群。这种对加法构成群的集合，常称为加法群。(2)置换群：这类群在全同粒子的量子力学中很重要。设有n个全同对象的体系，当我们交换其中任意两个或多个对象时，所得到的组态与原来的组态没有区别。我们可以把每一交换看作对体系的一个变换。所有这些可能的变换组成一个群。在此群作用下，体系保持不变，这种群称置换群。对n个对象的体系，共有n!个置换(即排列)，即共有n!个元素。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念以三个全同对象的体系为例，以1，2，3分别代表这三个全同对象。1

3，2

1，32的置换记作：三个全同对象的可能置换为n!=3!=6，即：

分别标志以符号E，A，B，C，D，F。每一种置换作为一个元素，则此置换操作的集合为：

{E，A，B，C，D，F}矿物物理1第一节抽象群论的几个概念这个集合能否构成群，可由它是否具备群的四点性质加以证明。同理：矿物物理1第一节抽象群论的几个概念(3)结晶学点群：晶体的几何对称变换有三种形式：①平移；②转动、反映和反演；③上述两种操作的组合。让体系一个点保持位置不变(即形式②)的操作所构成的变换群称为点群。转动、反映(或反射)、反演(或倒反)统称为点对称操作，简称对称操作。通过这些操作晶体的宏观对称图象能够复原。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念在结晶学点群中，群的元素就是这些点对称操作。群论中结晶学点群的对称操作常用圣弗里斯(Schönflies)符号表示。具体如下：E：恒等操作Cnm：旋转m

360/n度的旋转操作

C6：旋转60

；C62=C3：旋转120

C63=C2=C42：旋转180

C64=C32：旋转240

C65：旋转300

C4：旋转90

C43：旋转270

i：反演操作=iC2：反射操作

h：镜面垂直于主轴的反射操作；

v：镜面包含主轴的反射操作

d：镜面包含主轴、且平分垂直于主轴的两个二次轴所成夹角的反射操作In=iCn：旋转反演操作

Sn=Cn：旋转反射操作矿物物理1第一节抽象群论的几个概念结晶学中已经表明，旋转、反射和反演三种操作并不是相互独立的，其中任一种操作可由其余两种操作的适当组合来构成。旋转以后有反射或反演的称为非真转动，以区别与旋转(真转动)。容易证明，两个真转动的“乘积”或两个非真转动的“乘积”都是真转动，而一个真转动与一个非真转动的“乘积”是一个非真转动。点群中可对易的操作：①反演与任何别的操作；②绕同轴的个旋转；③绕两个互垂轴各旋转；④旋转与垂直于转轴的平面上的反射；⑤旋转n角与在含此转轴的平面上的反射；⑥两个互垂平面上的反射。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念每一晶体的所有对称操作的集合构成群，这一点容易证明。两元素的“乘积”(AB)表示相继进行两个对称操作，先B后A。点群的封闭性是显然的，因为既然操作A和B单独作用能使晶体复原，那么若先B后A相继进行两次操作也必然使晶体复原，因此，“乘积”(AB)必然是使晶体复原的一个对称操作，因而也必然是属于该点群的一个元素。点群中的单位元素就是恒等操作(或称主操作或无为操作)。逆元素就是一个对称操作的逆操作(如C4与C4-1)。逆操作完全消除原操作的效果，因此互逆操作相继进行的结果等于恒等操作，即A-1A=E群的阶数群中包含的元素的数目称为群的阶数。有限群与无限群矿物物理132个结晶学点群的国际符号与圣弗里斯符号的对照三斜晶系单斜晶系三方晶系四方晶系六方晶系等轴晶系1C12C23C34C46C623TCimCsS6S4C3hm3Th2/mC2h6/mC4h6/mC6h斜方晶系mm2C2v3mC3v4mmC4v6mmC6vD3dD2dD3hTd222D232D3422D4622D6324OmmmD2h4/mmmD4h6/mmmD6hm3mOh矿物物理1第一节抽象群论的几个概念二、群的乘法表一个群所包含的元素间的相互联系情况如何，决定于特定的“乘法”关系。对于有限群，可以按“乘法”关系以表格形式列出，该表格称为乘法表，也称Cayley表。由此表直接表示群中任意两个元素相乘的结果，从而集中表现出该群的特性。以C3v点群(复三方单锥)为例该对称图象有六种对称操作，即E=C33：恒等操作；C3、C32：旋转操作；

v、

v’、

v”：通过三次轴的镜面的反映操作。这六种对称操作的集合构成C3v点群，即：C3v：{E，C3、C32，

v、

v’、

v”}矿物物理1第一节抽象群论的几个概念C3v点群的乘法表如下。分析此表可以看出元素之间的关系，了解群的结构。

C3v第一操作EC3C32

v

v’

v”第二操作EEC3C32

v

v’

v”C3C3C32E

v”

v

v’C32C32EC3

v’

v”

v

v

v

v’

v”EC3C32

v’

v’

v”

vC32EC3

v”

v”

v

v’C3C32E矿物物理1第一节抽象群论的几个概念值得注意的是，乘法表的每一行或每一列中，群的每个元素都必须出现一次，而且仅仅出现一次。也就是说，用群中的任一元素遍乘群中所有元素，得到的是同样的元素集合，只是元素排列的次序不同而已。这个结果称为重排定理。前述六阶置换群：G：{E，A，B，C，D，F}。乘法表如下：置换群EABCDFEEABCDFAABEFCDBBEADFCCCDFEABDDFCBEAFFCDABE矿物物理1第一节抽象群论的几个概念三、群的同构与同态1.同构群的乘法表概括了群的全部性质，也包括了关于群的解析结构的全部知识。具有相同乘法表的所有群都有相同的结构，这样的群称为相互同构的群。从数学上说，如果有同阶(n阶)的两个群G={E，A1，A2，…，An}和G’={E’，A1’

，A2’

，…，An’}，G和G’的元素之间存在一一对应，则这两个群同构。一一对应记作：Ai

Ai’，Aj

Aj’，Ak

Ak’换句话说，存在如下对应的乘法关系：如G中有AiAj=Ak，则G’中对应有Ai’Aj’=Ak’。因此，只要简单地把G的乘法表中G的元素用G’的相应元素代替，即可由G的乘法表得出G’的乘法表。这就是同构。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念例如：C3v点群和六阶置换群的同构关系

E

E，C3

A，C32

B，

v

C，

v’

D，

v”

F只要把两个群的元素一一对应起来，这两个群的乘法表是完全相同的。例：C3v点群下边的六阶矩阵群是同构的。EC3C32

v

v’

v”例：C3v点群下边的六阶矩阵群是同构的。对于C3v点群：C3

v=v”六阶置换群：矿物物理1第一节抽象群论的几个概念矩阵的乘法运算：A

B=CA、B为两个矩阵，其乘积A

B仍为一矩阵C，但只有A的列数等于B的行数时，此积才能求出。例如：A为3行3列，B为3行2列，起乘法运算为：其积的各元素决定于A、B的相应元素。如C的一元素C12为：

A的行数B的列数A的第一行B的第二列简写为：推广到任意行、列的矩阵，乘积矩阵C的元素Cij为：k为A的列数，也就是B的行数，它们是相同的。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念2.同态阶数不同的群也可能存在对应的关系，如群G的一个元素与群G’的多个元素相对应，则这两个群必然存在相似的乘法关系，这两个群称为同态群。如：G：{A1，A2，…，An}G’：{A1

’，A1

’，A1

’，A2

’，A2

’，A2

’，…，An

’，An

’，An

’}元素间的对应关系为：Ai

(Ai

’，Ai

’，Ai

’)i=l，2，…，n即G’中的三个元素(一般情况下不一定就是3个)与G中的同一元素对应，同时存在对应的乘法关系，即：Ai

’Aj

’=Ak

’，则AiAj=Ak。也就是说，若与Ai、Aj对应的某两个元素相乘等于Ak相对应的某个元素，则Ai与Aj相乘必等于Ak，我们就称G和G’是同态的两个群。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念例：实数1，-1组成的二阶群与C3v六阶点群对应关系：G：1-1

G’：

EC3C32

v

v’

v”两者为同态群，对应乘法关系为：若写成下列对应关系(把{1，-1}写成六阶形式)：G：111-1-1-1G’：

EC3C32

v

v’

v”则容易看出它们相似的乘法表。下页矿物物理1C3vEC3C32

v

v’

v”EEC3C32

v

v’

v”C3C3C32E

v”

v

v’C32C32EC3

v’

v”

v

v

v

v’

v”EC3C32

v’

v’

v”

vC32EC3

v”

v”

v

v’C3C32E{1，-1}1(1)11-1(-1)-1-11111-1-1-1(1)1111-1-1-11111-1-1-1-1-1-1-1111(-1)-1-1-1-1111-1-1-1-1111矿物物理1第一节抽象群论的几个概念这两个群虽然是同态，但不能说它们是同构的，因为G中存在的乘法关系在G’中不一定有对应的关系存在。如果我们用字母{e，a，b，c，d，f}按顺序代表G中各元素{1，1，1，-1，-1，-1}，则显然有ac=d(即1

(-1)=-1)的关系；但在G’中C3

v=v”而不等于

v’。这是由于G’和G的元素是三对一的对应关系，不是一对一的对应关系。在同构群中，它们是同阶的，是一对一对应的，即乘法关系是相互对应的。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念四、共轭元素和类(或级)(Class)1.共轭共轭表示一个群中某些元素之间的一种特殊关系。如果群G中三个元素A、B和X之间存在下列关系：

B=X-1AX则称B为A的共轭元素。式中X-1为X的逆元素。此式表示元素A左乘X-1、右乘X后变换为B。这种运算称为A通过X的相似变换。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念共轭总是相互的。因为由上式，若B左乘X-1，右乘X，则有：XBX-1=X(X-1AX)X-1=(XX-1)A(XX-1)=A即A为B的共轭元素。它是B通过X的相似变换。由此可见，A和B是相互共轭的。总之，共轭元素A、B是由相似变换联系起来的两个元素。共轭元素还是可以传递的。定理：若B、C两个元素都与A共轭，则B与C也相互共轭。证：设B=X-1AX………(1)C=Y-1AY(X、Y

G)………(2)由(1)有XBX-1=A代入(2)C=Y-1(XBX-1)Y=(Y-1X)B(X-1Y)因X、Y均为G中的元素，则X-1Y也应为G中的元素。设(X-1Y)=Z，则：Z-1=(X-1Y)-1=Y-1X………(*)所以C=Z-1BZ即B与C共轭。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念(*)证明中用了(X-1Y)-1=Y-1X，即“两元素乘积的逆等于两个元素的逆元素的反序乘积”的关系这个关系易于导出：由于(XY)-1(XY)=E只有(XY)-1(XY)=Y-1X-1YX=Y-1Y=E因此(X-1Y)-1=Y-1(X-1)-1=Y-1X得证。例：C3v点群中C3与C32操作是共轭的，

v、

v’、

v”也是共轭的。乘法表中可知：

v-1C3

v=

v-1

v”=C32

另外，若有X-1AiX=Ai，即Ai通过X作相似变换仍为Ai本身，则此元素Ai称自轭元素。例如E元素，因X-1EX=X-1X=E，即E为自轭元素。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念2.类(或级)群中某个元素A的所有共轭元素的集合，称群中以A为代表的一个类(或级)。类中所有元素都是相互共轭的。对于群G：{E，A2，A3，…，An}，要得出以Ai为代表的类，可以用群G中所有元素对Ai进行相似变换，即：E-1AiE，A2-1AiA2，A3-1AiA3，…，An-1AiAn运算时，要用尽群中全部元素。所得的乘积有的可能相同。将不同的元素集合起来，就得到包括元素Ai在内的类。类中元素的数目称为类的阶。显然，类的阶小于或等于群的阶。可以证明，类的阶数必是它所属的群的阶数的一个因数。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念如果Ak元素不包括在Ai的级中，那么依上述相似变换的做法，就可以得出另一个包括Ak的类。如此进行下去，可以把群中的元素划分为几个不同的类。在任何群中，恒等元素E总是自成一类。因为X-1EX=X-1X=E，其中X为群中的任一元素。例：C3v点群可以分成三个类：{E}，{C3，C32}，{

v，

v’，

v”}。通常不一定要机械地做很多相似变换来将一个群分类，尤其对于晶体点群之类以旋转、反射和反演组成的群。我们可以根据相似变换的物理意义分析总结出来。对于对称操作群，A的相似变换X-1AX(=B)的意义是先后进行X、A和X-1操作。设A为反映操作，X为逆时针旋转

角的操作，X-1就为顺时针旋转

角的操作，这样X-1AX的意义就是先正向旋转

，再反射，后反向旋转

。这样反向旋转

消除了正向旋转

的影响，因而总的效果就是反射A的共轭操作B仍是一种反射操作，只是B操作的镜面不同于A操作的镜面，后者的镜面是经过反向旋转

(X-1操作的作用)得到的。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念例，C3v点群的相似变换C3-1

vC3=

v”先看左式连续操作的结果再看右式操作的结果，两者等效。

v”是有

v经过C3-1操作(顺时针旋转120

)得到的。132111112222233333

v’

v”

vC3

v

vC3-1

v”

v”

v

v”矿物物理1第一节抽象群论的几个概念(1)由相似变换X-1AX=B联系的两个共轭操作A和B一定是同种操作。(2)B操作所依据的对称要素是A操作的对称要素经过X-1操作变换得出的。这就是说，对称操作X-1是使A、B两个共轭操作的对称要素重合的操作。由此，晶体点群的分类存在以下简单的规则。根据这些简单的判据对于凭简单观察得出其分类是很有用的：(1)转动角大小不等的旋转必属于不同的类。(2)点群中存在倒转轴向的操作(如反射)时，绕此轴的旋转操作与绕此轴作角度相同的反向旋转操作属于同一类。(3)点群中存在使两个不同转轴或不同镜面相互转换的操作时，绕这两个不同轴旋转同一角度或对这两个不同镜面的反射属于同一类。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念五、子群若在群G：{E，A2，A3，…，An}中有部分元素的集合对于群G的“乘法”运算也构成一个群H：{E，A2，A3，…，An’}(n’<n)，则称H为G的一个子群。可以证明，子群H的阶数n’必是母群G阶数n的一个因数，即：

n/n’=kk为整数。例：C3v：{E，C3，C32，

v，

v’，

v”}中三个元素{E，C3，C32}的集合按C3v的乘法运算也具备群的所有性质，因此它是C3v的一个子群。还可看到{E，

v}、{E，

v’}和{E，

v”}以及{E}也都是C3v的子群。因此，C3v的子群中有一个是三阶的，三个是二阶的。只由单位元素E组成的子集合和群G本身都是G的子群，这两个子群称平凡子群(非真子群)，其余的子群称非凡子群(或真子群)。晶体的空间群中由纯平移操作构成的平移群是空间群的一个子群。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念六、陪集设群G：{E，A2，A3，…，An}中有一子群H：{E，A2，A3，…，An’}，若取G中任一元素X遍乘H的每一元素，可以构造所有像XE，XA2，…等n’个乘积组成的集合：

XH={XE，XA2，XA3，…，XAn’}若X为H的一个元素，根据群的封闭性，则集合XH必与H恒等。此集合XH中，仅仅是把H中的元素重新排列。此时可记作：

XH=H(当X

H)若X不属于H，则XH中的元素都不属于H。当X不是子群H的元素时(X还是母群G的元素)，集合XH叫做子群H的陪集。X左乘H得出的陪集：XH={XE，XA2，XA3，…，XAn’}，称左陪集；右乘得出的陪集：HX={EX，A2X，A3X，…，An’X}，称右陪集。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念因为这里X不属于H，从而XH也不属于H；但X和Ai都属于母群G，故所有左陪集(右陪集)的元素自然都属于G。群G的任一元素X按此群的子群H作出其乘积的集合(XH)时，此集合要么与H恒等(元素相同)，要么与H完全不同(称两集合互不相交)。前者为H本身，后者称为H的左(或右)陪集。下面讨论：一个群G按它的一个子群H作陪集时，究竟能得到几个完全不同的陪集?将n阶群G按其子群H(n’阶)作左(或右)陪集。当X1为H中的元素时：

X1H=H(n’各元素与H的相同)当X2不在H中时：X2H={X2E，X2A2，…，X2An’}，此陪集包含n’个不在H中但在G中的元素。如果连同X1H中的元素(共2n’个)还未能包括群G中的全部元素，则可以找不在上面X1H和X2H两个集合中的元素X3，作另一个陪集：X3H={X3E，X3A2，…，X3An’}此陪集中又得出了n’个属于G的新元素。仿此进行下去，直到包含G中全部元素为止。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念如果进行了k次，就已能把群G中的全部元素包括无遗，那就是说kn’=n或n/n’=k，即子群阶数必为母群阶数的一个因数。例：群C3v：{E，C3，C32，

v，

v’，

v”}有子群H：{E，C3，C32}。将C3v中全部元素对H作左陪集有：

EH：{EE，EC3，EC32}={E，C3，C32}=HC3H：{C3E，C3C3，C3C32}={C3，C32，E}=HC32H：{C32E，C32C3，C32C32}={C32，E，C32}=H

vH：{

vE，

vC3，

vC32}={

v，

v’，

v”}

v’H：{

v’E，

v’C3，

v’C32}={

v’，

v”，

v}

v”H：{

v”E，

v”C3，

v”C32}={

v”，

v，

v’}前三式是全等的，为子群H本身；后三式也是全等的，为子群H的一个陪集。这两个集合已把群C3v的全部元素包括无遗，也就是说：n/n’=k因子为6/3=2。同理，可对C3v点群的另一子群H’：{E，

v}展开，可以得出此子群H’的两个陪集{C3，

v”}和{C32，

v’}。此时，k=n/n’=6/2=3，即包括H’在内有三个陪集。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念七、不变子群和因子群(factorgroup)(或商群quotientgroup)1.共轭子群设群H’为群G的一个子群，如通过母群G中元素对H’各元素作相似变换，所得的各个共轭元素为另一个子群H”的对应元素，则称子群H”为子群H’的共轭子群。即：群G：{E，A2’，A3’，…，An’’，…，An’}的一个子群H’：{E，A2’，A3’，…，An’’}与另一子群H”：{E，A2”，A3”，…，An’”}各元素一一对应，则H”与H’共轭。显然，共轭子群是同构的。例：C3v中的{E，

v}与{E，

v’}和{E，

v”}是共轭子群。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念2.自轭子群(或称正规子群或不变子群)设群H：{E，A2，A3，…，An’}为群G的一个子群。如果与H中任一元素Ai共轭的所有元素都在子群H中(即上述H’与H’’重合)，则这个子群称为自轭子群(或正规子群，或不变子群)。也就是说，对H的每一元素都有X-1AiX=AK(Ai，AK

H)或表示为X-1HX=H

X为G中任一元素，H代表H中任一元素。例：C3v中{E，C3，C32}为一自轭子群。一个自轭子群就是包含群G中整个类(一个或多个)在里面的子群。如C3v的自轭子群{E，C3，C32}包含两个类{E}和{C3，C32}；但子群{E，

v}不是自轭子群，因

v不构成一个类。子群H成为自轭子群的必要和充分条件是H的左陪集和右陪集相等，即：

由X-1HX=H(H代表子群H中任一元素)………(1)两边左乘X，XX-1HX=XH得HX=XH………(2)得证。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念3.因子群(或商群)已知群C3v有不变子群H：{E，C3，C32}，其陪集为{

v，

v’，

v”}。又如群C4v有一不变子群H：{E，C42}，其陪集为{C4，C43}，{

v，

v’}，{

d，

d’}。可以看出，包括不变子群在内的所有陪集的和，仍为母群本身。即：

C3v={(E，C3，C32)，(

v，

v’，

v”)}={(E，C3，C32)，(

v，

v’，

v”)}C4v={(E，C42)，(C4，C43)，(

v，

v’)，(

d，

d’)}={E，C42，C4，C43，

v，

v’，

d，

d’}若把各陪集当作各个元素，则可证明它们组成的集合也满足群的性质，也即构成群。这个群的阶k=n/n’，等于陪集的个数，即为不变子群H的阶n’除群G的阶n所得的商，称这个群为因子群(或商群)。记作G/H(阶为k=n/n’)。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念其一般表达式描述：设群G有一不变子群H，通过G中元素对H作陪集(只取完全不重合的陪集)，则有：群G：{E，A2，A3，…，An’，…，An}各陪集为H：{E，A2，A3，…，An’}

X2H：{X2E，X2A2，X2A3，…，X2An’}X3H：{X3E，X3A2，X3A3，…，X3An’}……………XkH：{XkE，XkA2，XkA3，…，XkAn’}(k=n/n’)则因子群为G/H：{H，X2H，X3H，…，XkH}，阶数为k上述陪集是否构成群，可以从此集合能满足封闭性、有逆元素和单位元素加以证明。这里须首先明确两个陪集的“乘积”的定义。两陪集的积就是第一陪集的每个元素与第二陪集的任一元素的积的集合，但重复的只取一个。例如C4v中，头两个陪集的乘积为：(C4，C43)(

v，

v’)=(C4

v，C4

v’，C43

v，C43

v’)=(

d，

d’，

d，

d’)=(

d，

d’)矿物物理1第一节抽象群论的几个概念等于后一个陪集。可见陪集的乘积仍为此陪集的集合中的一个元素，因而满足了封闭性。其次，由不变子群H自乘：

H

H=(E，C42)(E，C42)=(EE，EC42，C42E，C42C42)=(E，C42)=H仍为H本身，故不变子群即为陪集的集合中的单位元素。再次，对于陪集XiH的逆元素为(XiH)–1=Xi–1H因为当(XiH)(XiH)–1=XiHXi–1H=XiXi–1HH=EH=H故(XiH)–1=Xi–1H为陪集的集合中存在的逆元素。由此可见，陪集的集合{H，X2H，X3H，…，XkH}的确是一个群。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念群G的因子群G/H还与G是同态的。只要将群G中的部分元素与因子群证明G/H中的相应元素对应起来，即可得到对应的乘法关系：GG/H

{E，A2，A3，…，An’}

H{X2E，X2A2，X2A3，…，X2An’}

X2H{X3E，X3A2，X3A3，…，X3An’}

X3H……………

…{XkE，XkA2，XkA3，…，XkAn’}

XkH当G中有Xi·Xj=Xk则G/H中有XiH·XjH=XkH例1：C3v点群的因子群C3v中的不变子群为H：{E，C3，C32}，它的陪集为

vH：{

v，

v’，

v”}，C3v/H：{H，

vH}，它与C3v同态，但与子群{E，

v}是同构的。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念例2：空间群的因子群点群是使晶体(宏观对称图象)复原的所有对称操作的集合，其对称要素都通过同一点。晶体的空间群是使晶体的微观结构图象复原的对称操作的集合。其中包括纯平移操作，点群操作(旋转、反映、倒反等)和点群操作与分数平移操作的联合操作(螺旋和滑移操作)。纯平移操作中的平移矢量为：其中、、为初基平移矢量，是构成单位平行六面体的三个基矢量。t1、t2、t3为包括零的整数，即t1、t2、t3=0、1、2、3、…。空间群中的全部纯平移操作的集合T：{E，T1，T2，…}是个不变子群。这里，，………。我们把空间群中的点群操作及螺旋和滑移操作用Yi表示，按不变子群{T}将空间群展开为左陪集：T：{E，T1，T2，……}

Y2T：{Y2，Y2T1，Y2T2，……}Y3T：{Y3，Y3T1，Y3T2，……}……………YNT：{YN，Y2T1，Y2T2，……}矿物物理1第一节抽象群论的几个概念空间群的这N个陪集包括了空间群中全部对称操作(元素)。以这N个陪集作为元素构成的群：{T，Y2T，Y3T，…，YNT}就是晶体空间群的因子群，记作

/T。可以证明

/T必与结晶学点群同构。这个点群包括的对称操作是与

E，Y2，Y3，…，

YN相对应的点群操作：E，X2，X3，…，

XN如果Yi本身就是点群操作，则Xi≡Yi。若Yi是螺旋或滑移操作时，则Xi相应地为旋转操作或反射操作。与晶体的因子群同构的点群：{E，X2，X3，…，

XN}称为晶体的点群。晶体的点群反映着晶体的晶胞对称性。晶体的点群中的对称操作是能使晶胞复原的对称操作。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念八、互换群和轮回群1.互换群如果群G中任意两个元素都是可以互换的，即：Ai·Aj=Aj·Ai，则群G称为互换群或阿贝群(Abeliangroup)。互换群中每个元素都自成一类。因为：A1-1AiA1=A1-1A1Ai=Ai，每个元素都与自身共轭，即自轭，所以自成一类。因此n阶互换群有n个类。矿物物理1第一节抽象群论的几个概念2.轮回群有一类群，群中元素都是一个基本元素A的整数幂，而An=E，即群由这样一些元素构成：A，A2，A3，…，An-1，An=E，(An代表n个A连乘)，这样的群叫做轮回群。轮回群是互换群。因为：A2·A3=A3·A2=A5。但互换群不一定是轮回群。例：结晶学点群中，Ci：{E，i}及Cs：{E，

}为二阶轮回群。因为：i2=E，

2=E。纯旋转群Cn：{Cn1，Cn2，…，Cnn=E}也是n阶轮回群，如C2，C3，C4及C6群都是轮回群。除轮回群外，还有其它一些群中的某些元素可以满足交换律，进行互换，如(1)两个互垂镜面的反射操作可以互换：

v

h=

h

v；(2)旋转和垂直于旋转轴的反射操作可以互换：Cn

h=

hCn；(3)反演与任何操作都可互换：iR=Rih。但是这些群是否构成互换群，要看此群的全部元素是否都能互换。矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示一、对称操作和坐标变换点群对称操作作用在晶体上，使晶体从一个位置变换到另一个等效位置。在这个变换中，晶体上至少有一点不动。这一点就是所有对称要素相交的一点。同时，在点群操作下晶体中各点的相对位置是不变的，即晶体是作为一个刚体经受着点群操作的变换。为了表示对称操作的作用，我们可以用对称操作下晶体上任一点的位置变动来表示。为了表示点的位置，首先要选定一个坐标系。令坐标系的原点与晶体的不动点重合；令z轴沿着对称主轴的方向。晶体上任一点P(x，y，z)的位置可以用该点的位置矢量(即矢径)来表示：或表示为列矢量：矿物物理1ZzXYxyP’(x’,y’,z’)P(x,y,z)R矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示在对称操作R作用下，P点变动到P’点。设P’点的位置矢量为或操作R的作用可用P点位置的变动来表示，可写作：或或也可表示为或具体变换中，x、y、z与x’、y’、z’之间的具体关系决定于具体的操作变换。一般地说，变换后的x’值与原来P的坐标值x、y、z有关，y’、z’亦然，因此坐标变换可用线性组合形式表示。矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示三维情况下：该坐标变换关系也可用系数方阵给出，其矩阵形式为：此坐标变换系数构成的系数方阵称坐标变换方阵或表示方阵，其值由具体的操作R的变换确定，可记作：D(R)这样，变换式可简写为或矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示1.恒等操作E恒等操作下，晶体不动，因此x’=x，y’=Y，z’=z。其线性组合形式为：…………(1)写成矩阵形式：…………(2)E操作的坐标变换方阵为：…………(3)(2)式也可简写为…………(4)矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示2.反演操作i反演操作下，或即则…………(5)矩阵形式：…………(6)或其中…………(7)为反演操作的坐标变换方阵。矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示3.旋转操作C(z，

)C(z，

)表示以Z轴为旋转轴，逆时针旋转角的操作。该操作下，z’=z，而x、y坐标的变换为：XYZ三维空间内在XOY平面内YXPOOP’

yy’xx’PP’

矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示在C(z，

)作用下，坐标变换为：………(8)………(9)

为绕Z轴正向旋转

的旋转操作C(z，

)的坐标变换方阵。将(9)式中的分别以2/2、2/3、2/4、2/6代入，即得C2(z)、C3(z)、C4(z)和C6(z)的坐标变换方阵。类似地矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示4.反映操作(XZ)(XZ)表示以XZ平面为镜面的反映操作。因为(XZ)=iC2(Y)，所以D[(XZ)]=D(i)D[C2(Y)]。将代入D(i)、D[C2(Y)]，得：…………(10)5.旋转反映操作S(z，

)=

h(XY)C(z，

)…………(11)将(11)与(9)比较，可见真旋转(Properrotation)Cn(z)与非真旋转(Improperrotation)Sn(z)的坐标变换方阵的区别在于第三行第三列元素，前者为1，后者为-1。矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示具体的对称操作坐标变换方阵，以C3v：{E，C3，C32，

v，

v’，

v”}为例：

矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示可见C3v点群各对称操作作用在三维空间矢量上，得出相应的33的坐标变换方阵，其对称操作与坐标变换方阵一一对应：{E，C3，C32，

v，

v’，

v”}{D(E)，D(C3)，D(C32)，D(

v)，D(

v’)，D(

v”)}这六个方阵也构成一个群，且与C3v点群是同构的。普遍地说，一个群G：{E，R2，R，…，Rn}的操作Ri作用在矢径上，使

或

矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示由(x’，y’，z’)与(x，y，z)的关系得出坐标变换方阵D(Ri)：………(12)

或写作：………(13)

这样得出的各个D(Ri)方阵的集合构成一个与群G同构的矩阵群。也就是说，若Ri

Ri=Rk，则有D(Ri)D(Rj)=D(Rk)矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示二、对称操作的坐标变换方阵是正交方阵正交变换：为保持体系点间距离不变的坐标变换。对称操作中不改变矢量长度和两个矢量间的夹角，因此与对称操作对应的坐标变换具正交变换的性质。正交变换方阵具有下述性质：方阵的转置=方阵的逆，即：对实数的矢量空间即用上式。如为复数时，上表示式改写为：[D(R)T]*=D(R)-1。具有这种性质的矩阵称酉矩阵(U矩阵)或么正矩阵。矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示上述性质简单证明：只要满足矢量长度不变(即)就行。

………(a)………(b)按前述变换方阵的定义：其转置为：矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示代入(a)式得：由此可见，如果满足，必须：D(R)T

D(R)=E与逆矩阵D(R)-1

D(R)=E的关系比较，即必须：D(R)T=D(R)-1，才能满足矢量长度不变的条件。这正是正交矩阵的性质。这一性质有利于求一矩阵的逆矩阵，即只要转置一下此正交矩阵的行和列就得出其逆矩阵，而在正交坐标变换下的真转动和非真转动的矩阵都是正交矩阵。矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示三、不同坐标系中表示方阵的关系对于同一空间，如选取不同的坐标系，表示方阵也会不同。也就是说，对同一晶体，选取不同的坐标系，坐标变换也会有区别。设一体系在对称操作R作用下，P点变换到P’点，即：R操作下对OXYZ坐标系(基本矢量为)，则………(1)D(R)为OXYZ坐标系中的坐标变换方阵。对O

坐标系(基本矢量为)………(2)D’(R)为O

坐标系中的坐标变换方阵。ZXY

OP’PR矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示试问这两种坐标系中的坐标变换方阵D(R)和D’(R)有什么区别或联系?

坐标系的基本单位矢量和之间的变换关系，从线性代数可知：………(3)这就是O

坐标系的基本单位矢量在OXYZ坐标系中的表示形式。式中各个系数aij为各相应基本单位矢量的方向余弦(i、j=1，2，3)如。(3)式也可以写成矩阵形式，即：………(3’)矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示式中S就为基本单位矢量的变换方阵。这就是说，不同坐标系的基本单位矢量是由其变换方阵S联系的。下面再来了解P点的矢量在两个坐标系中的变换关系。依上图，在不同坐标系中，矢量的表达式为：将(3)式代入此式并合并同类项得：与对比，可得：

………(4)

矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示此式可表示为矩阵形式，即为：………(4’)此系数方阵正是(3’)式中基本矢量变换方阵的逆，因此(4’)式可写成：

………(4’’)由此：………(5)同理：………(6)矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示这就是说，同一矢量在不同坐标系中的坐标值是由基本单位矢量的变换方阵S联系的。在R操作下，P点变换为P’点。现来讨论不同坐标系中的坐标变换方阵D(R)和D’(R)的关系。可利用(5)、(6)式代入(1)、(2)式导出。将(5)、(6)式代入(2)式得：又利用(1)式，则得：此式两边左乘S的逆S-1，则：矿物物理1第二节对称操作的矩阵表示所以得：D(R)=S-1

D’(R)S………(7)或：D’(R)=S

D(R)S-1

………(7’)结果说明：不同坐标系中的坐标变换方阵D(R)和D’(R)是通过S由相似变换联系的。由上面的讨论可知，D(R)和D’(R)是同一空间(或同一对称体系)的同一矢量在相同的对称操作作用下，在不同坐标系中得到的坐标变换方阵。它们的方阵形式可以是不同的，但本质上是一样的，因此我们可以认为这两个变换方阵是等价的。从数学意义上说，它们是通过适当的方阵S作相似变换(见(7)和(7’)式)联系的，因此称由相似变换联系起来的两个坐标变换方阵(即表示方阵)为等价方阵。如果一个点群的不同表示方阵存在(7)和(7’)式的关系，即对此群的每一操作R的表示方阵D(R)都可用同一矩阵做作相似变换，则这两个表示方阵是等价的。要证明两个表示方阵是等价的，关键在于找到合适的S方阵。对于两个直角坐标系，S方阵为方向余弦方阵。矿物物理1第三节群的表示理论一、什么叫“群的表示”普遍地说，如果对于n阶群G：{E，R2，R3，…，Rn}，能找到n个矩阵D(E)，D(R2)，D(R3)，…，D(Rn)分别与群G的元素相对应(Ri

D(Ri))，并且对于所有的元素对(Ri，Rj)都存在这样的对应关系，即：若Ri·Rj=Rk，则有D(Ri)·D(Rj)=D(Rk)，这样就称这个矩阵集合{D(Ri)}是群G：{Ri}的一个表示(或表象)。如上节计算过的，C3v群中各对称操作的坐标变换方阵组成的方阵群{D(E)，D(C3)，D(C32)，D(

v)，D(

v’)，D(

v”)}，就是此对称操作群的一个表示。再如同态群一节讨论过的，C3v点群存在下述同态群：{1，1，1，1，1，1}{1，1，1，-1，-1，-1}我们也可以把群中元素(1)或(-1)看作(1X1)的矩阵，则这些矩阵与C3v点群的各个操作也存在对应关系，且有对应的乘法关系，因此这两个同态群也可看作矩阵群，作为C3v点群的两个不同的表示。由此，群的表示的定义可以简述如下：与一个群G同态(或同构)的由矩阵组成的群称为群G的一个表示。矿物物理1第三节群的表示理论与群G的元素R对应的矩阵D(R)称为元素R的表示矩阵。如果矩阵群与G是同态的，则这个表示叫做不确实的表示，因为此矩阵群中元素的某些乘法关系在群G的相应元素之间并不存在。若矩阵群与G是同构的，则表示叫做确实的表示。在群的表示中，代表单位元素的矩阵是单位矩阵。单位矩阵的对角元素都是1，其它元素都是零，可写作：D(E)=(

ij)。

ij符号表示当i=j时，

ij=1；i

j时，

ij=0。群G的表示矩阵若是n阶的(即为n

n矩阵)，则称这个表示为G的n维表示。如上述C3v点群的三个表示中，二个为一维，一个为三维的表示。矿物物理1第三节群的表示理论二、表示的基结晶学点群的三维表示的方阵是这样得出的，即把点群的对称操作作用在

矢量上，由相应的坐标变换得出坐标(x，y，z)的变换方阵：这些坐标变换方阵集合{D(R)}就可作为该点群的一个三维表示。坐标x，y，

z或矢量就叫做这个表示的基。矿物物理1第三节群的表示理论选择不同的基，可以得出一个群的各种不同的表示。例如C3v点群，它是使一个等边三角形复原的对称操作的集合。如果我们用等边三角形的右、上、左三个角的号码1、2、3为基，在C3v点群操作作用下看这个基的变换，就可以得出各对称操作以为基的表示方阵，从而得出点群的另一个表示。在C3v点群的对称操作作用下，基的变换如下：132矿物物理1第三节群的表示理论由此得出的表示方阵：组成的群，也是与C3v点群同构的，因此，也是C3v点群的一个三维表示。该表示标记为C3v群的

4表示。还可以选择由更多的数量构成的有序数组作为表示的基，得出点群的更高维数的表示。还是以C3v点群为例，我们可以选择等边三角形的三个顶点的坐标(x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3)九个量作为表示的基，由C3v的对称操作对九个坐标的变换得出相应的变换方阵，作为对称操作的表示方阵。例如：矿物物理1第三节群的表示理论等等。这样得出的六个九维方阵构成C3v点群的一个九维表示。矿物物理1第三节群的表示理论还可以用等边三角形绕Z轴的微小转动RZ作为表示的基，如图。我们画出作RZ

转动时，三角形各顶点的瞬时微小位移。分析C3v点群的对称操作对RZ的作用。在

E、C3(Z)、C32(Z)作用下，顶点的位移图象没有变化，因此：

ERZ=RZ，C3RZ=RZ，C32RZ=RZ由此，以RZ为基时，D(E)=D(C3)=D(C32)=1。RZ

v

v’

v’’矿物物理1第三节群的表示理论其它操作的作用(以

v为例)：由

v镜面的反射，各顶点的位移方向反向，因此使旋转倒向，即

vRZ=-RZ同样可得：

v’RZ=-RZ，

v’’RZ=-RZ因此以RZ为基时：D(

v)=D(

v’)=D(

v’’)=-1这样，得出C3v点群以RZ为基的表示：{1，1，1，-1，-1，-1}。这个表示记作C3v点群的

2表示。还可以单独以坐标z为基，得出C3v点群的另一个表示。

E

z=z，C3

z=z

，C32

z=z，

v

z=z，

v’

z=z，

v’’

z=z这个表示即为：{1，1，1，1，1，1}。我们称它为C3v点群的

1表示。RZ

v

vRZ矿物物理1第三节群的表示理论不能单独以坐标x或y为基得出C3v点群的表示。因为除E和

v’操作外，其它操作都将使坐标x和y互相混合，如：即：因此，只能以(x，y)为基，得出C3v点群的一个二维表示，它是与C3v点群同构的矩阵群：该表示为C3v点群的

3表示。综上，C3v点群的表示中，

1为以坐标z为基的表示；

2为以RZ为基的表

示；

3为以为基的表示；

4为以为基的表示；……。由此可见，选择不同的基，可以得出某一个点群的各种不同的表示。还可看到，一个群实际上可以有无穷多个表示。矿物物理1第三节群的表示理论但根据群的表示理论可知：一个点群的各种表示都可约化为少数几个维数较低(不超过三维)的表示，这几个特殊表示的数目对某一个点群来说是一定的，就等于点群中类的数目。表示的等价以相似变换联系起来的两个矩阵是等价矩阵。群G的同构群中，各元素之间有一对一的对应关系。如果对它们的每一个对应操作R的表示方阵用同一矩阵S作相似变换，都存在前述(7)、(7’)式所表示的等价关系。于是我们称这两个矩阵群所代表的群G的表示为等价表示。矿物物理1第三节群的表示理论如前述，以(x，y，z)为基得出的C3v点群的表示为：而以(1，2，3)为基得出的C3v点群的三维表示为：矿物物理1第三节群的表示理论这两组表示矩阵是不同的，但它们是“相通”的。它们是对同一对称体系、同样的矢量空间，用不同的三维坐标表象的结果。在相同的对称操作下，不同的三维坐标系的表示方阵形式可以不同，但如果找到相应的S矩阵，即可通过S矩阵对一组(各种操作Ri下的)表示方阵作相似变换，就可得出另一组表示方阵。也就是说，可以从一组三维的表示得出另一组三维的表示。于是，可以说，以(x，y，z)为基与以(1，2，3)为基的两种C3v群的三维表示是等价的。可以导出，C3v点群的S矩阵为：如：即：S-1D’(C3)S=D(C3)即D’(C3)与D(C3)是等价的。其余操作的表示方阵可自行运算。矿物物理1第三节群的表示理论三、可约表示与不可约表示一个群G在任意选择坐标系(任意的基)时，所得表示方阵也是随意的。可以有一维、二维、三维、…，以至多维的表示。但是是否每一种表示都是最基本的呢?如前面分析过的C3v点群的表示中，就以选取过z、RZ、(x，y)、(x，y，z)、…等等基，它们在对称操作(Ri)作用下，所得表示方阵是一维、二维、三维、…，以至多维的。如果进一步分析以(x，y，z)为基的三维表示