2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题17.1勾股定理及其逆定理【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1勾股定理的运用】 1【题型2直角三角形中的分类讨论思想】 2【题型3勾股定理解勾股树问题】 2【题型4勾股定理解动点问题】 4【题型5勾股定理的验证】 5【题型6直角三角形的判定】 7【题型7勾股数问题】 8【题型8格点图中求角的度数】 9【题型9勾股定理及其逆定理的运用】 10【知识点1勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=【题型1勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A．32 B．74 C．2 【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是．【题型2直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（）A．24或84 B．84 C．48或84 D．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A．30 B．119+17 C．119+17或30【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为．【题型3勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184 B．86 C．119 D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A．225 B．250 C．275 D．300【题型4勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．62596或252 B．25C．62596或24或12 D．62596或【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝s时，△BPC为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【知识点2勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=【题型6直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45cB．三边长的平方之比为1：2：3 C．三内角之比为3：4：5 D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1 B．2 C．3 D．4【题型7勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162 B．200 C．242 D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．专题17.1勾股定理及其逆定理【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1勾股定理的运用】 1【题型2直角三角形中的分类讨论思想】 5【题型3勾股定理解勾股树问题】 7【题型4勾股定理解动点问题】 10【题型5勾股定理的验证】 14【题型6直角三角形的判定】 19【题型7勾股数问题】 22【题型8格点图中求角的度数】 24【题型9勾股定理及其逆定理的运用】 27【知识点1勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=【题型1勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE=B∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，即（x+2）2＝x2+42，解得x＝3，∴AC＝3．故选：C．【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A．32 B．74 C．2 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD＝AD，故AB＝BD+AD＝BD+CD，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，∴BC＝6，∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝6.25．∴BD＝8﹣6.25＝1.75=7故选：B．【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝．【分析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴CE＝8，∴AD=A设∠CAD＝x，则∠CAD＝3x，∵AE⊥BC，AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝2x，∴∠EAD＝∠DAC，∴DE＝DF，设CD＝a，则DE＝8﹣a，∵CD⋅AE2∴a×62解得a＝5，即CD＝5，故答案为：5．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是．【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC=BD2−CD2=24k，在Rt△ACB中，由AC2+BC2＝AB2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出k=34，BC＝18，由△ADH≌△BDC，推出AH＝BC＝18，由S△ABD=12•BD•AH=12•AD•【解答】解：如图作AH⊥BD交BD的延长线于H，设AD＝BD＝25k，CD＝7k，在Rt△DCB中，BC=BD2在Rt△ACB中，∵AC2+BC2＝AB2，∴（32k）2+（24k）2＝302，∴k=3∴BC＝18，在△ADH和△BDC中，∠ADH=∠BDC∠H=∠C=90°∴△ADH≌△BDC，∴AH＝BC＝18，∵S△ABD=12•BD•AH=12•AD•PF+1∴PE+PF＝AH＝18，故答案为18．【题型2直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（）A．24或84 B．84 C．48或84 D．48【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，DC=A∴BC＝BD+DC＝14，BC＝DC﹣BD＝4，∴△ABC的面积=12×故选：A．【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．42或37【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=A∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝9，在Rt△ACD中，CD＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．综上所述，△ABC的周长是42或32．故选：C．【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A．30 B．119+17 C．119+17或30【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12是斜边或x为斜边两种情况讨论．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x=5②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=122综上所述，该三角形的周长为30或119+故选：C．【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为．【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC=A当点P在CA延长线上时，∵BP＝6，BC＝6，∴CP=BP2∴AP＝CP﹣AC＝33−当点P在AC延长线上时，∵BP′＝6，BC＝3，∴CP′＝33，∴AC+CP′＝4+33，综上所述，线段AP的长为33−4或33故答案为：33−4或33【题型3勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故选：C．【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184 B．86 C．119 D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023．故选：D．【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A．225 B．250 C．275 D．300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可．【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x，由勾股定理得：AB=AC2∵△ABC的周长为12，∴3x+4x+5x＝12，解得：x＝1，∴AC＝4，BC＝3，AB＝5，第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50，第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50，第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50，……第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300，故选：D．【题型4勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．62596或252 B．25C．62596或24或12 D．62596或【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=25②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2tcm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=625综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或故选：D．【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝s时，△BPC为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：①当∠BCP为直角时，②当∠BPC为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB=BC2如图，作AB边上的高CD．∵S△ABC=12AB•CD=12∴CD=AC⋅BCAB=①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．综上，当t＝25或16秒时，△BPC为直角三角形．故答案为：25或16．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【分析】（1）由勾股定理可直接求解；（2）过点P作PD⊥AB，结合题意，由角平分线的性质可推得BP，PD，BD的长，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC=A故答案为：6；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图．∵AP平分∠BAC，BC⊥AC，PD⊥AB，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．∴PD＝PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴AD＝AC＝8，∴BD＝2．在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得t=20故答案为：203【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．【解答】解：（1）由题意可得，BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），∵∠B＝90°，∴PQ=BP2+BQ即PQ的长为413cm；（2）当BQ⊥AC时，∠BQC＝90°，∵∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，∴AC=AB2∵AB⋅BC2∴16×122解得BQ=485∴CQ=BC2∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+36当∠CBQ＝90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2＝16（秒）；由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．【题型5勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12∴12ab+12b2+12ab=12ab+12∴a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：12c2+12（b﹣a）（a+b）=12c2+12∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2=12c2+12（b2∴b2=12c2+12b2∴12a2+12b2=∴a2+b2＝c2．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+12（a2+b2）＝ab+12c2，即可证得a2+b2【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=12（a+b）（b+a）＝ab+12（a2利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADE=12ab+12c2+12ab∴ab+12（a2+b2）＝ab+1∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，12=1＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y=40∴S2＝x+4y=40故答案为：403【知识点2勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=【题型6直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，不是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A＝∠B=12∠∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形；⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，是直角三角形；⑥∵a：b：c＝5：12：13，∴52+122＝132，∴a2+b2＝c2，是直角三角形；故选：C．【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45cB．三边长的平方之比为1：2：3 C．三内角之比为3：4：5 D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项A、选项B和选项D；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C．【解答】解：A．∵a=35c，b=∴a2+b2=925c2+1625c2∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵三边长的平方之比为1：2：3（1+2＝3），∴此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵三角形的三内角之比为3：4：5，三角形的内角和等于180°，∴最大角的度数是53+4+5∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，c2＝（1+n2）2＝1+2n2+n4，∴c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形【分析】根据已知条件可得a2+c2＝b2，即可判定△ABC的形状．【解答】解：∵（a﹣c）2＝b2﹣2ac，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，故选：B．【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；②∵△ABC的三内角之比为3：4：7，∴△ABC中最大角的度数为：180°×7∴△ABC是直角三角形；③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3，∴设三边的平方分别为k，2k，3k，∵k+2k＝3k，∴△ABC是直角三角形；④∵三角形三边之比为3：4：5，∴设三边分别为3a，4a，5a，∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，∴△ABC是直角三角形，所以，上列是直角三角形的有4个，故选：D．【题型7勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162 B．200 C．242 D．288【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，c依次为10，17，26，37，50，…，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288．故选：D．【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k，4k，5k（k是正整数）是不是一组勾股数；（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，即可判断ak，bk，ck（k是正整数）是不是一组勾股数．【解答】证明：（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数，∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数；（2）ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数，∴ak，bk，ck是三个正整数，∵a2+b2＝c2，∴（ak）2+（bk）2＝a2k2+b2k2＝（a2+b2）k2＝c2k2＝（ck）2，∴ak，bk，ck（k是正整数）是一组勾股数．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；（2）把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得（n2+1）2﹣（2n）2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；（3）先计算B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2，计算可得（n2+1）2，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．【解答】解：（1）A+B＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，当n＝1999时，原式＝（1999+1）2＝20002＝4×106；故答案为：4×106；（2）A2﹣B2＝（n2+1）2﹣（2n）2＝（n2）2+2n2+1﹣4n2＝（n2）2﹣2n2+1＝（n2﹣1）2；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：∵B2+C2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2，∴B2+C2＝A2，∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．【题型8格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【分析】先连接EF，然后根据勾股定理可以求得AE、EF、AF的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△AEF的形状，再根据AE和EF的关系，即可得到∠EAF的度数．【解答】解：连接EF，如右图所示，设每个小正方形的边长为1，则AE=12+22=5∴AE2+EF2＝（5）2+（5）2＝5+5＝10＝（10）2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，又∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，故答案为：45°．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝°．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案为：45．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝．【分析】连接AE，PE，求出∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE，根据勾股定理求出AP、PE、AE，根据勾股定理的逆定理求出△PAE是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得出即可．【解答】解：如图所示：连接AE，PE，则△PCD≌△EAF，所以∠PCD＝∠EAF，∴∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAF＝∠PAE，∵由勾股定理得：AP2＝PE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，∴AP2+PE2＝AE2，∴△PAE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝45°，即∠PAB﹣∠PCD＝∠PAE＝45°，故答案为：45°．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，最后根据平角的定义可得结论．【解答】解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°，∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°，故答案为：45°．【题型9勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；（2）由三角形内角和定理求出∠C＝31°，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC＝31°，则可得出答案．【解答】解：（1）AB⊥BD．理由：∵AC＝8，AD＝17，BD＝15，∴AC2+BD2＝82+152＝289，AD2＝289，∴AC2+BD2＝AD2，∴∠DBA＝90°，∴AB⊥DB；（2）∵∠D＝28°，∠DBC＝121°，∴∠C＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝31°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝31°，∴∠DAB＝∠C+∠ABC＝31°+31°＝62°．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；（2）根据中点的定义和勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3，∴AC＝6，BC＝8，∵AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，∴AC2+CD2＝AD2，BC2+CE2＝BE2，∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，∴CD=12BC，CE=∴AC2+（12BC）2＝36，BC2+（12AC）∴54AC2+54∴AC2+BC2＝80，∴AB=AC2【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解方程即可得出CE的长．【解答】解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE=D∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．【分析】（1）连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积；（2）作DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线BD的长．【解答】解：（1）连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵CD＝10，AD＝102，∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（102）2＝200，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积是：AB⋅BC2即四边形ABCD的面积是74；（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB，在△ABC和△CED中，∠ABC=∠CED∠CAB=∠DCE∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE，BC＝ED，∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，∴BD=BE2专题17.2勾股定理的应用【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1勾股定理之大树折断模型】 1【题型2勾股定理之风吹荷花模型】 3【题型3勾股定理之蚂蚁行程模型】 4【题型4勾股定理之方向角问题】 5【题型5勾股定理之梯子问题】 7【题型6勾股定理之范围影响问题】 9【题型7勾股定理之选址使到两地距离相等】 13【题型8勾股定理应用之其他问题】 14【题型1勾股定理之大树折断模型】【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上米处折断．【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【题型2勾股定理之\o"勾股定理之风吹荷花模型"风吹荷花模型】【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是尺．【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【题型3勾股定理之\o"勾股定理之蚂蚁行程模型"蚂蚁行程模型】【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（3+13）cm B．97cm C．85cm D．109cm【题型4勾股定理之方向角问题】【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（）A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．【题型5勾股定理之梯子问题】【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为米．​​​​​​​【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【题型6勾股定理之范围影响问题】【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型7勾股定理之选址使到两地距离相等】【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是米．【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝．【题型8勾股定理应用之其他问题】【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：①该屏幕的长＝16寸，宽＝12寸；②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：5≈专题17.2勾股定理的应用【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1勾股定理之大树折断模型】 1【题型2勾股定理之风吹荷花模型】 3【题型3勾股定理之蚂蚁行程模型】 5【题型4勾股定理之方向角问题】 8【题型5勾股定理之梯子问题】 12【题型6勾股定理之范围影响问题】 14【题型7勾股定理之选址使到两地距离相等】 19【题型8勾股定理应用之其他问题】 22【题型1勾股定理之大树折断模型】【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上24米处折断．【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解．【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10故102+x2＝（50﹣x）2解得x＝24（米）故烟囱应从底部向上24米处折断．故答案为24．【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=AB2∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD=132即AD＝9m，则AC=AD2故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：这棵树原来的高度是19米．【题型2勾股定理之\o"勾股定理之风吹荷花模型"风吹荷花模型】【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是13尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）