理论力学chapt.5课件

第五章分析力学(analyticalmechanics

)5.1约束(constraint)与广义坐标(generalizedcoordinate

)

（1）约束的概念和分类1、力学体系有相互作用，运动彼此关联的物体系统。2、约束约束是指对一个力学系统运动空间和运动方式的限制。约束往往可以用约束方程来表示。3、约束的种类（１）完整约束(holonomicconstraint

)

完整约束又叫做几何约束，是指约束方程（条件）只与体系各质点的坐标及时间有关的约束。约束方程可以表示为1凡完整约束，都可以通过约束方程，用代数的方法将不独立的坐标消去。每一个完整约束方程可以消去一个不独立的坐标。如果体系受到个完整的约束，即则可以消去个不独立的坐标，剩余的独立坐标数为其中是体系质点的个数，叫做体系的自由度2（２）非完整约束(nonholonomicconstraint

)

如果不能通过约束方程将不独立的坐标直接消去，这种约束成为非完整约束。这种约束方程中往往含有坐标和时间的微分，单从约束方程本身不能通过积分的方式将微分消除。另外，用不等式表示的所谓可解约束也属于非完整约束。（2）广义坐标

建立一个力学体系动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标广义坐标可以充分地表达一个力学体系的空间位形

对于完整约束体系，广义坐标的个数与体系的自由度相同3

但若体系所受约束中有非完整约束，广义坐标的个数将大于自由度对于完整约束体系设个广义坐标分别为则个质点组成的力学体系全体个坐标，均可用下式表示上式称为变换方程5.2虚功原理(principleofvirtualwork

)（1）实位移与虚位移41、实位移：质点按照运动定律真实发生的位移。表示成2、虚位移：在当前约束许可的情形下虚拟发生的位移。表示成3、虚功：4、理想约束(idealconstraint

)设体系所受到的约束力为，满足以下关系则构成理想约束5光滑曲面，刚性连杆，不可伸长轻绳等都可视为理想约束5、虚功原理理想约束下的力学体系，当处于平衡状态时，全体主动力的虚功之和为零。即虚功原理在表达力学平衡体系时是完备的，这表现在它与牛顿定律的等价性按照牛顿定律，平衡体系应满足6取上式的虚功，有质点虚位移与全体广义坐标的变更的关系，可以通过变换方程获得，即将上式代入虚功原理有即上式称为虚功原理7上式中

称为广义力(generalizedforce

)。又考虑到广义坐标的独立性，虚功原理可以进一步表达为通过求解

个由广义坐标表达的体系的平衡方程，得到体系的平衡位形注：1、广义力属于整个主动力系，但与某广义坐标相关

2、具有功的量纲83、由于约束的作用已经在虚功原理中消除，只能求得平衡位形，而不能求得约束力。这既是优点也是缺点。约束力可以通过用解除约束的方法求得，但操作也因此繁琐。5.3拉格朗日方程(Lagrangeequation

)（1）基本形式的拉格朗日方程一、达朗伯(dAlembert

)——拉格朗日方程在理想、完整约束下的力学体系，由牛顿定律或写成9上式中的理解为一种“倒转有效力”，上式是一种形式上的广义平衡方程，因此可以建立与此相等效的“广义虚功原理”，即上式又称为达朗伯方程。考虑体系的约束，体系的位形改由全体广义坐标表示，有上式经完成第一重求和后简化为10即其中两个预备公式：（１）（２）证明：（１）11（２）

所以12将（１）、（２）两个预备公式代入上式，得但注意到由以上结果得13即注：使上式有意义的是须经变换方程完成。上式即基本形式的拉格朗日方程其中称为广义速度，称为广义动量，是广义力其定义仍是且满足14而上式也是求得广义力的有效途径之一（2）有势力系(potential

system

)的拉格朗日方程1、有势力系的定义及与保守力系的区别

若力场满足则该力场称为有势力场，仅当时，该力场称为保守力场。力场仅有势而非保守时，不满足机械能守恒。这是因为由15得所以2、有势力系的拉格朗日方程有势力系，对其势函数满足由于16定义拉格朗日函数则基本形式的拉格朗日方程变为上式就是有势力系的拉格朗日方程

173、拉格朗日方程的初积分１）广义动量积分（循环积分）广义动量：循环坐标（可遗坐标）：中不显含的广义坐标广义动量积分：如是循环坐标，则可得广义动量积分２）广义能量积分当不显含时间，即时，要求势函数18，则有势力系成为保守力系则有以下结果移项，得令19则上式称为广义能量积分，称做哈密顿函数(Hamiltonianfunction

)３）广义能量积分意义的讨论ⅰ、用广义坐标、广义速度表达的动能上式中20ⅱ、意义的讨论结合上式，因此ⅲ、广义能量积分的意义21当时，即与皆不显含时间时，变换方程仍有显含时间的可能，此时，一般因而

广义能量守恒并非一般意义下的机械能守恒。部分原因是由于约束不稳定，约束力作为非保守力要作功。此时的广义能量积分将与某非惯性系“机械能守恒”相对应。只有当变换方程不显含时间时，这时22体系机械能守恒。但是作为一个机械能守恒系统，未必因为此时我们若采用某种动坐标系，同样会使得变换方程显含时间，这样补例１：半径为的光滑圆圈，以其竖直直径为轴均匀转动，圈上套有小环，讨论小环的能量积分。分析：圆圈作为约束，由于自身存在转动，属于不稳定约束。此系统自由度为1，选为广义坐标，变换方程为23所以动能上式中显然所以24上式的物理意义，在惯性系中是无法理解的，但留意在转动的圆圈参考系中，上式中的第一项为动能，第二项为惯性离心力势能，最后一项为重力势能，正好组成了转动系中的“机械能”，表达了一种在非惯性系中的“机械能守恒”。例２：令例１中圆圈静止，小环自由滑动，械能守恒，然而若选用显然小环机如图所示的为广义坐标，则相对旋转坐标系的变换方程为25由于变换方程含有时间，因此无法得到5.5哈密顿正则方程（canonicalequation

）

、普遍勒让德变换设独立变量的特性函数为其全微分为其中作以替代的变换，变换后的特性函数也由成为1、勒让德变换（legendretransformation

）26上述变换称为普遍勒让德变换。简单证明如下：27二、部分勒让德变换以替代，设相应的特性函数成为，则上述变换称为部分勒让德变换。简单证明如下：其中

，

28三、哈密顿正则方程由拉格朗日函数及广义动量

取拉格朗日函数的全微分若以全体替代全体，则应按照部分勒让德变换代之以，且29上式正是哈密顿函数。于是利用拉格朗日方程30上述方程可以改写为其中前两式称为哈密顿正则方程，最后一式实际为恒等式四、正则方程的广义能量积分和广义动量积分１、广义能量积分31由哈密顿表达式，得将正则方程用于上式，得因此若中不显含，则有只有当变换方程不显含时间时，上式才成为机械能守恒。否则只说明系统存在一个具有能量量纲的守恒量，它的意义一般可以是某非惯性系中的“机械能守恒”。32２、广义动量积分当函数中不显含某个广义坐标，即时，由正则方程得因此，所谓循环坐标对和是共同的335.6泊松括号与泊松定理１、泊松括号（Poissonbracket）设有任意两个用全体正则变量和时间表示的函数和，定义泊松括号为以下计算２、用泊松括号表示的正则方程对函数求对时间的全微商34结合正则方程，上式可成为利用泊松括号的定义，上式可表示成将上式中的和分别代之以，可得到用泊松括号表达的正则方程355.7哈密顿原理（Hamiltonprinciple

）

（1）变分（variation）运算的几个法则1、泛函（functional）极值问题与欧勒方程

数学上的变分法源于力学上的最速落径问题：在铅直的平面内固定两点A、B，在所有的连接A、B的曲线中找出初速度为零，仅在重力作用下无摩擦滑下用时最短的曲线。AB设曲线方程为，质点下落速度，则由下式36下落时间可表示为显然，上式是函数的函数，其形式就是泛函。最速落径问题就是求上式的最小值或泛函的极值问题。37泛函取极值的条件是利用变分运算的规则对如下形式的泛函取其变分，并注意，有38上式第一项显然由于两个端点固定而为零，由于第二项中的任意，所以上式称为欧勒方程，是泛函取极值的条件39若式中的不显含，则欧勒方程将有初积分证明如下：证毕402、哈密顿原理将上述讨论中的，代之以拉格朗日函数不难发现拉格朗日方程恰好是泛函取极值的条件。即41其物理意义是：在固定的时刻和之间，可能发生的各种运动过程，只有满足上式要求的运动是真实发生的。上式中的称为哈密顿作用量，该式则称为哈密顿原理应当指出，哈密顿原理、拉格朗日方程与哈密顿正则方程是等价的。用哈密顿原理同样可以推出哈密顿正则方程。根据拉格朗日函数与哈密顿函数的关系，我们有42代入哈密顿原理，有上式中的第一项积分可改写为注意到43所以积分最后可以表示为

根据

和都是独立变量，则必有

而这正是哈密顿正则方程

44补：多自由度体系小振动（smallvibration

）分析

1、振动方程完整的稳定、理想约束的保守系统，在稳定平衡位置附近的微振动

体系的势能函数可表示成

设体系稳定平衡的位置处于

当体系有微小偏离平衡位置发生时，可将势能函数在

45处作泰勒展开，即可取注意到在平衡位置处因此势能函数最低次项近似式为46作为稳定平衡系统，上式属于正定二次型体系在微偏离平衡位置时的拉格朗日函数为

代入拉格朗日方程

这是s个线性、齐次、二阶常微分方程组472、振动的解本征频率和本征振动

解具有如下形式

代入微分方程组得这是关于Aβ的线性齐次方程组，有解的条件是48方程是关于本征圆频率λ2的s次方程，其解为，，…，

对应任一组

，可解得一组

共s组，通解形式为49根据T，V均为正定对称型，λ2具有小于零的解，即，或利用欧拉定理，解可表示成

结果表明，具有s个自由度的体系在稳