2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题1.11 有理数章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列有理数章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋•江油市期末）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（3分）（2022秋•垦利区期末）在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（3分）（2022秋•石家庄期末）已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A． B． C． D．4．（3分）（2022•下城区校级模拟）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9 B．10 C．12 D．135．（3分）（2022秋•渝中区校级期末）一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（）A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转6．（3分）（2022秋•衢州期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（）A．2017 B．2016.5 C．2015.5 D．20157．（3分）（2022•台湾）小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（）A．36 B．37 C．38 D．398．（3分）（2022春•通州区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）（2022秋•江都区月考）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5；（2）当n是偶数时，结果是n2k（其中k是使例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（）A．1 B．2 C．7 D．810．（3分）（2022秋•安居区期中）若a，b，c均为正数，则a+b﹣c，b+c﹣a，c+a﹣b这三个数中出现负数的情况是（）A．不可能有负数 B．必有一个负数 C．至多有一个负数 D．可能有两个负数二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋•饶平县校级期末）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是．12．（3分）（2022秋•成都期末）已知，|a|＝﹣a，|b|b=-1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝13．（3分）（2022春•嘉兴月考）在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为平方米．14．（3分）（2022秋•天桥区期末）将数轴上一点P先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是．15．（3分）（2022秋•梁平区期末）某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（+1，﹣7），则车上还有人．16．（3分）（2022秋•普陀区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=45．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=78，10的“完美指标”是45，因为7三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋•荣成市期中）把下列各数填在相应的集合中：15，-12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π正数集合{…}；负分数集合{…}；非负整数集合{…}；有理数集合{…}．18．（6分）（2022秋•垦利区期末）计算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）-1（3）(5（4）-3119．（8分）（2022秋•井研县期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“﹣”表示出库）+21，﹣32，﹣16，+35，﹣38，﹣20（1）经过这6天，仓库里的货品是（填增多了还是减少了）．（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？20．（8分）（2022秋•简阳市期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a综上所述，|a|a【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求|a|a（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b21．（8分）（2022秋•渝中区校级期末）阅读理解把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素，所以{3，﹣2}是条件集合；例如：集合{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合．（1）集合{﹣4，12}条件集合；集合{12，-53，22（2）若集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，求m，n的和．22．（8分）（2022秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．23．（8分）（2022秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．第1章有理数章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋•江油市期末）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可得，a＝1，b＝﹣1，c＝0，则a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．故选：B．2．（3分）（2022秋•垦利区期末）在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据绝对值、有理数的乘法、相反数解决此题．【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确．②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确．③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确．综上：正确的有④，共1个．故选：D．3．（3分）（2022秋•石家庄期末）已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A． B． C． D．【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．【解答】解：已知a+b+c＝0，A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．故选：D．4．（3分）（2022•下城区校级模拟）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9 B．10 C．12 D．13【分析】三个顶角分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．【解答】解：三边之和是3s，等于1+2+...6+三个顶点的值．而三个顶点的值最大是4+5+6，当三个顶点分别是4，5，6时，可以构成符合题目的三角形．所以s最大为（1+2+3+4+5+6+4+5+6）÷3＝12．故选：C．5．（3分）（2022秋•渝中区校级期末）一台机器有大、小齿轮用同一传送带连接，若大小齿轮的齿数分别为36和12个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（）A．1.5×106转 B．5×105转 C．4.5×106转 D．15×106转【分析】大、小齿轮用同一传送带连接，则大小齿轮转的距离相等，大齿轮每分钟2.5×103，每小时转60×2.5×103转．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）＝4.5×106转．故选：C．6．（3分）（2022秋•衢州期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（）A．2017 B．2016.5 C．2015.5 D．2015【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，2018除以3余数为2，根据余数可知点B在数轴上，然后进行计算即可得解．【解答】解：如图，由题意可得，每3次翻转为一个循环组依次循环，∵2018÷3＝672…2，∴翻转2018次后点B在数轴上，∴点B对应的数是2018﹣1＝2017．故选：A．7．（3分）（2022•台湾）小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（）A．36 B．37 C．38 D．39【分析】若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数了，所以要减去2．【解答】解：根据题意小嘉和班长两次都数了，所以17+21﹣2＝36．故选：A．8．（3分）（2022春•通州区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】理解绝对值的定义，如|a﹣2|表示数轴上点a到2的距离；|a|＝|a﹣0|表示a到原点的距离；【解答】解：∵比a小2的数用b表示，∴b＝a﹣2，∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣2|，那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，显然这个点就是在0与2之间，当a在区间0与2之间时，|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，∴|a|+|b|的最小值为2，故选：C．9．（3分）（2022秋•江都区月考）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5；（2）当n是偶数时，结果是n2k（其中k是使例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（）A．1 B．2 C．7 D．8【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题；【解答】解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1…以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2017次运算结果8，故选：D．10．（3分）（2022秋•安居区期中）若a，b，c均为正数，则a+b﹣c，b+c﹣a，c+a﹣b这三个数中出现负数的情况是（）A．不可能有负数 B．必有一个负数 C．至多有一个负数 D．可能有两个负数【分析】本题可采用假设法，当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，这样有一个负数，排除A，当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，再假设有两个负数，则设a+b＜c①，b+c＜a②，得出结果矛盾与已知条件，排除D，采用排除法选出答案．【解答】解：显然当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，所以排除A．当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，对于D，若假设有两个负数，则不防设：a+b＜c①，b+c＜a②由①+②可得：b＜0，矛盾于已知条件，∴假设错误，不可能有两个负数，同理a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a中不可能有3个负数，故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋•饶平县校级期末）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是120．【分析】根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数．【解答】解：因为墨迹最左端的实数是﹣109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个．故答案是：120．12．（3分）（2022秋•成都期末）已知，|a|＝﹣a，|b|b=-1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝﹣2c【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|b=-1，|c|＝∴a为非正数，b为负数，c为非负数，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案为：﹣2c13．（3分）（2022春•嘉兴月考）在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为234平方米．【分析】利用平移的知识，将图中阴影部分转化为宽2，长（20+15﹣2）的长方形．【解答】解：根据题意可得，耕地面积为20×15﹣2×（20+15﹣2）＝234平方米．答：耕地面积为234平方米．14．（3分）（2022秋•天桥区期末）将数轴上一点P先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时它表示的数是4，则原来点P表示的数是6．【分析】设开始点P表示的数为x，由于在数轴上的点向左移时点表示的数要减小，向右移动时，点表示的数要增大，于是得到x+3﹣5＝4，然后解一次方程即可．【解答】解：设点P原来表示的数为x，根据题意，得：x+3﹣5＝4，解得：x＝6，即原来点P表示的数是6，故答案为：6．15．（3分）（2022秋•梁平区期末）某公交车原坐有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），（﹣5，+6），（﹣3，+2），（+1，﹣7），则车上还有12人．【分析】根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由题意，得22+4+（﹣8）+6+（﹣5）+2+（﹣3）+1+（﹣7）＝12（人），故答案为：1216．（3分）（2022秋•普陀区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=45．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=78，10的“完美指标”是45，因为7【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”．【解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数，完美指标：（1+2+3+4+6）÷12=414的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数，完美指标：（1+2+7）÷14=515的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数，完美指标：（1+3+5）÷15=316的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数，完美指标：（1+2+4+8）÷16=1518的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数，完美指标：（1+2+3+6+9）÷18=7由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1，所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．故答案为：16．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋•荣成市期中）把下列各数填在相应的集合中：15，-12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π正数集合{15，0.81，227，171，3.14，π负分数集合{-12，﹣3.1，﹣1.6非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，-12，0.81，﹣3，227，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，﹣1.6【分析】根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可．【解答】解：正数集合{15，0.81，227，171，3.14，π负分数集合{-12，﹣3.1，﹣1.非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，-12，0.81，﹣3，227故答案为：15，0.81，227，171，3.14，π；-12，﹣3.1，﹣1.6⋅；15，171，0；15，-118．（6分）（2022秋•垦利区期末）计算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）-1（3）(5（4）-31【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可；（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法、最后算加法即可；（3）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律计算即可；（4）先将带分数化为假分数，然后根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）＝（﹣5）+（﹣4）+（﹣101）+9＝﹣101；（2）-＝﹣1×（4﹣9）+3×（-4＝﹣1×（﹣5）+（﹣4）＝5+（﹣4）＝1；（3）(＝（512=512×36-＝15﹣28+24＝11；（4）-3=-196×7-=-19=-19=9519．（8分）（2022秋•井研县期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“﹣”表示出库）+21，﹣32，﹣16，+35，﹣38，﹣20（1）经过这6天，仓库里的货品是减少了（填增多了还是减少了）．（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？【分析】（1）将所有数据相加即可作出判断，若为正，则说明增多了，若为负，则说明减少了；（2）结合（1）的答案即可作出判断；（3）计算出所有数据的绝对值之和，然后根据进出的装卸费都是每吨5元，可得出这6天要付的装卸费．【解答】解：（1）21﹣32﹣16+35﹣38﹣20＝﹣50，即经过这6天，仓库里的货品是减少了；（2）由（1）得，这6天减少了50吨，则6天前仓库里有货品460+50＝510（吨）；（3）21+32+16+35+38+20＝162吨，则装卸费为：162×5＝810元．答：这6天要付810元装卸费．20．（8分）（2022秋•简阳市期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a综上所述，|a|a【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求|a|a（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：|a|a②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则|a|a（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴abc|abc|21．（8分）（2022秋•渝中区校级期末）阅读理解把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素，所以{3，﹣2}是条件集合；例如：集合{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合．（1）集合{﹣4，12}是条件集合；集合{12，-53，22（2）若集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，求m，n的和．【分析】（1）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论；（2）分情况讨论：若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；若﹣2n+4＝n，则n=43；若﹣m×（﹣2）+4＝﹣m，则m=-43；据此可得【解答】解：（1）∵﹣4×（﹣2）+4＝12，∴集合{﹣4，12}是条件集合；∵-53×∴集合{12，-53故答案为：是，是；（2）∵集合{8，10，n}和集合{﹣m}都是条件集合，∴若n＝﹣2×8+4，则n＝﹣12；若n＝﹣2×10+4，则n＝﹣16；若﹣2n+4＝8，则n＝﹣2；若﹣2n+4＝10，则n＝﹣3；若﹣2n+4＝n，则n=4若﹣m×（﹣2）+4＝﹣m，则m=-4∴m，n的和为：﹣1313，﹣1713，﹣31322．（8分）（2022秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．【分析】（1）根据“十三数”的特征，列出算式求解即可；（2）①设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），列式abab101计算可得10a+b②解法一：可以结合①，101（10a+b）是13的倍数，根据a，b是1﹣9的整数，那么当a取得最大时，是9，对应的b是1，最小的话是a＝1，对应的b＝3，计算差可得结论；解法二：同理设出这个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），可知101b+9a是13的倍数，分别讨论可得结论．解法三：可借助于第一小问．4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91．从而可得结论；也可以从101（10a+b）是13的倍数，所以这样的四位数需是13×101的倍数．故最小为1313，最大为9191．【解答】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下：∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除，∴3253不是“十三数”，∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20∴254514是“十三数”；（2）①证明：设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），∵abab101=1000a+100b+10a+b101=∵a、b为整数，∴10a+b是整数，即任意一个四位“间同数”能被101整除；②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数，∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数，∴当a＝9，b＝1时，abab最大为9191，当a＝1，b＝3时，abab最小为1313，∴9191﹣1313＝7878；解法二：设任意一个四位“间同数”为abab（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），∵bab-∵这个四位自然数是“十三数”，∴101b+9a是13的倍数，当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313；当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626；当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939；当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252；当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565；当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878；当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191；综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313，9191﹣1313＝7878，则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878；解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878．23．（8分）（2022秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是1；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC＝6xBC＝4x，AB＝10，根据AC﹣BC＝AB，列方程即可得到结论；（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．故点P在数轴上表示的数是1；故答案为：1；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，则AC＝6xBC＝4x，AB＝10，∵AC﹣BC＝AB，∴6x﹣4x＝10，解得x＝5，∴点P运动5秒时，追上点R；（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP②当点P运动到点B左侧时（如图②），MN＝PM﹣PN=12AP-12BP=12（AP综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．专题2.1单项式与多项式【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1用字母表示数】 1【题型2单项式与多项式的概念】 2【题型3直接确定单项式的系数与次数】 3【题型4根据单项式的次数求参】 3【题型5直接确定多项式的项与次数】 4【题型6根据多项式的项与次数求参】 4【题型7单项式与多项式综合运用】 4【题型8单项式与多项式中的结论开放性问题】 5【题型9单项式中的规律探究】 5【题型10多项式中的规律探究】 6【题型1用字母表示数】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（）A．3m﹣n2 B．（m﹣3n）2 C．（3m﹣n）2 D．3（m﹣n）2【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是．【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a＞2b）（）A．ab-πa24 B．ab-πb22【知识点1单项式的概念】单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．【知识点2多项式的概念】多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【题型2单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m4n27、-12x2y、x2+y2﹣1、x、3x2y+3xy2+x4﹣1、32t3、2x﹣y，单项式的个数为a，多项式的个数为【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x2y，0，x+12，﹣22abc2，13x2，-14y，-A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a2b，3xy，﹣2y2，a+b2，4，﹣m，x+yz2，A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，-a3，2x2+3x﹣1，πx2y3单项式：{…}多项式：{…}．【知识点3单项式的系数】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.【知识点4单项式的次数】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．【题型3直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx2y3的系数为【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）-32x2y3【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣xa+2byb﹣a的次数是．【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式-34x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为【题型4根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2bm+2的次数相同，则m2﹣2m的值为．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．【知识点5多项式的项与次数】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．【题型5直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是次项式．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2+12x2y2﹣3的最高次项是，三次项的系数是，常数项是【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x﹣2的次数与项数之和为．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数为c，则a+b+c＝．【题型6根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次二项式，则m的值是【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12x|m|-(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是．【题型7单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式-13x2ym+1+xy2-3x3-6是五次四项式，单项式0.4x2【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y-12x2-16x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）x【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn＝．【变式7-3】有三个单项式：a2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【题型8单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【题型9单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为．【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：12a2b，-1（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a【题型10多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为．专题2.1单项式与多项式【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1用字母表示数】 1【题型2单项式与多项式的概念】 3【题型3直接确定单项式的系数与次数】 4【题型4根据单项式的次数求参】 5【题型5直接确定多项式的项与次数】 6【题型6根据多项式的项与次数求参】 7【题型7单项式与多项式综合运用】 8【题型8单项式与多项式中的结论开放性问题】 10【题型9单项式中的规律探究】 10【题型10多项式中的规律探究】 12【题型1用字母表示数】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，一汽车在A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n﹣1）＝（12n﹣7）km，故选：C．【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（）A．3m﹣n2 B．（m﹣3n）2 C．（3m﹣n）2 D．3（m﹣n）2【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m的3倍，再表示出与n的差，最后表示出平方即可．【解答】解：m的3倍与n的差的平方表示为：（3m﹣n）2，故选：C．【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是．【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简．【解答】解：个位数字是x，则十位数字是10﹣x，所以这个两位数是（10﹣x）×10+x＝100﹣9x．故答案为：100﹣9x【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a＞2b）（）A．ab-πa24 B．ab-πb22【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积．【解答】解：S矩形＝长×宽＝ab，S扇形=14•πb2•2=12S阴影＝S矩形﹣S扇形＝ab-π故选：B．【知识点1单项式的概念】单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．【知识点2多项式的概念】多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【题型2单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m4n27、-12x2y、x2+y2﹣1、x、3x2y+3xy2+x4﹣1、32t3、2x﹣y，单项式的个数为a，多项式的个数为【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答案．【解答】解：单项式有m4n27、-12x2y、x多项式有x2+y2﹣1、3x2y+3xy2+x4﹣1、2x﹣y，即b＝3，ab＝12，故答案为：12．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x2y，0，x+12，﹣22abc2，13x2，-14y，-A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【分析】根据单项式的定义判断即可．【解答】解：整式﹣0.3x2y，0，x+12，﹣22abc2，13x2，-14y，-13ab2-12a2b中单项式有﹣0.3x故选：B．【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a2b，3xy，﹣2y2，a+b2，4，﹣m，x+yz2，A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可．【解答】解：式子：2a2b，3xy，﹣2y2，a+b2，4，﹣m，x+yz2，ab-cn中，是多项式的有a+b故选：A．【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，-a3，2x2+3x﹣1，πx2y3单项式：{…}多项式：{…}．【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式，可得答案．【解答】解：单项式：{﹣2，x2y，-a3，πx多项式：{2x2+3x﹣1，2x-y5故答案为：﹣2，x2y，-a3，πx2y32，﹣y；2x【知识点3单项式的系数】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.【知识点4单项式的次数】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．【题型3直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx2y3的系数为π【分析】根据单项式的次数和系数进行解答．【解答】解：单项式πx2y故答案为π3【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）-32x2y3【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：（1））﹣12πxy2的系数是﹣12π，次数是3；（2）﹣22a2bc的系数是﹣4，次数是4；（3）-32x2y3z的系数是【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣xa+2byb﹣a的次数是4．【分析】先求出a与b的值，然后代入单项式中即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a+1＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴将a与b代入单项式中可得：﹣2xy3单项式的次数为：4故答案为：4【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式-34x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，即可得出答案．【解答】解：∵单项式-34x2y2的系数为m=-3∴mn的值为：-3故答案为：﹣3．【题型4根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝﹣2．【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：∵（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，∴a﹣2≠0，2+|a|+1＝5，解得：a≠2，a＝±2，则a＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2bm+2的次数相同，则m2﹣2m的值为0．【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+4＝2+m+2，再解即可得到m的值，进而可得答案．【解答】解：由题意得：2+4＝2+m+2，解得：m＝2，则m2﹣2m＝0．故答案为：0．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，∴2+|a|=5b+2=0解得：a=±3b=-2则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．【分析】利用单项式的定义得出m的值，进而利用单项式次数的定义得出n的值，进而得出答案．【解答】解：∵﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，∴m＝﹣8，且2+|n﹣3|＝10，解得：n＝11或﹣5，则m+n＝3或m+n＝﹣13．【知识点5多项式的项与次数】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．【题型5直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是三次四项式．【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数和项数的概念可知，该多项式是三次四项式．【解答】解：多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是三次四项式．故答案为：三，四．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2+12x2y2﹣3的最高次项是12x2y2，三次项的系数是2【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答案．【解答】解：多项式2x2y﹣x2+12x2y2﹣3的最高次项是：12x2故答案为：12x2y2【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x﹣2的次数与项数之和为7．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答案．【解答】解：多项式x2y﹣xy2+3xy﹣1的次数与项数分别是3和4，3+4＝7，故答案为：7．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数为c，则a+b+c＝﹣2．【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a、b、c的值，然后求和即可．【解答】解：∵多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，∴a＝﹣2，b＝5，c＝﹣5，∴a+b+c＝﹣2+5﹣5＝﹣2，故答案为：﹣2．【题型6根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次二项式，则m的值是4【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确定m、n的值，即可求解．【解答】解：由多项式是关于x的四次二项式知：|m|＝4且m﹣4＝0，解得m＝4．故答案为：4．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝3．【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数．【解答】解：∵多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，∴1+m+1＝5，解得：m＝3．故答案为：3．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12x|m|-(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则【分析】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上两点可以确定m的值．【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是﹣3．【分析】直接利用多项式的定义得出|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，进而得出答案．【解答】解：∵（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，∴|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，解得：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型7单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式-13x2ym+1+xy2-3x3-6是五次四项式，单项式0.4x2【分析】根据多项式-13x2ym+1+xy2-3x3-6是五次四项式，得到【解答】解：∵多项式-1∴m+1＝3，∴m＝2，∵单项式0.4x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，∴2n+5﹣m＝5，∴n＝1，故答案为：2，1．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y-12x2-16x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）x【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案．【解答】解：∵单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y-12x2-16x2∴2+n＝5，2+m+3＝6，解得：m＝1，n＝3，∴（m+n）xmyn＝4xy3，系数是4，次数是1+3＝4，4+4＝8，即单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和是8．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn＝16．【分析】利用多项式的次数定义得出m的值，进而利用单项式的次数得出n的值，即可得出答案．【解答】解：∵多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，∴|m|+2＝6且m+4≠0，2n+6﹣m＝6，解得m＝4，n＝2，则mn＝42＝16．故答案为：16．【变式7-3】有三个单项式：a2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【分析】根据单项式和多项式的定义即可得出答案．【解答】解：根据题意得，组成的多项式有：a2+b+1；a2+b﹣1；a2﹣b+1；a2﹣b﹣1；a2b+1；a2b﹣1；﹣a2+b+1；﹣a2+b﹣1；﹣a2﹣b+1；﹣a2﹣b﹣1；﹣a2b+1；﹣a2b﹣1．【题型8单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是2xy2或2x2y（答案不唯一）．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2