2024年济南历下区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

年九年级学业水平第一次模拟考试数学试题（2024.3）考试时间120分钟满分150分第1卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2024的绝对值是（）A.12024B.﹣12024C.20242.如图，是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A.B.C.D.3．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划(2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨／日以上．数字2900000用科学记数法表示为（）A.0.29x107B.2.9x106C.29x105D.290x1044.将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数是（）A.26°B.28°C.30°D.36°（第4题图）(第6题图)5.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.6.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b=0，则下列结论中正确的是（）A.a<bB.2a>2bC.ab>0D.a<-17.有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有"前"、"程"、"朋"、"鹬"四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成"墨朋"的概率是（）A.12B.14C.168.某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，弧AB、弧CD所在圆的圆心为点O，点C、D分别在OA和OB上．已知消防车道宽AC=4m，∠AOB=120°，则弯道外边缘AB的长与内边缘CD的长的差为（）A.4π3mB.8π3mC.16π3m（第8题图）（第9题图）9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，分别以点A、C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别BC和AC于点D、E，连接AD．以下结论不正确的是A.∠BDA=72°B.BD=2AEC.CDCB=5－12D.CA210.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的"n阶方点"，例如，点（1，3）与点（12，2）都是函数y=2x+1图象的"3阶方点"．若y关于x的二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象存在"n阶方点"，则n的取值范围是A.1≤n≤65B.65≤n≤2C.2≤≤3第II卷（非选择题共110分）二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.分解因式：xy-y2=.12.若分式3x+1有意义，则x的值可以是13.如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8，一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为（结果保留π）（第13题图）（第14题图）（第15题图）（第16题图）14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，∠A=90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BC，以BC为直径作半圆弧BFC，则阴影部分的面积为。15.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB=EC，连接ED交BC于点F，则EF=cm。16.如图，已知矩形ABCD，AB=6，AD=8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是。三．解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分6分）计算：﹣2-(π-2)0+(13)18.（本小题满分6分）解不等式组：3（19.（本小题满分6分）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E和F.求证：BE=CF.20.（本小题满分8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办"垃圾分类知识竞赛"活动，分为笔试和展演两个阶段。已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）:A:70≤x<75，B:75≤x<80，C:80≤x<85，D:85≤x<90，E:90≤x<95，F:95≤x≤100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：请根据以上信息，完成下列问题：(1)在扇形统计图中，"E组"所对应的扇形的圆心角是;(2)n=，并补全图2中的频数分布直方图；(3)在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是分；(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2:3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得"环保之星"称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得"环保之星"称号？请通过计算说明理由．21.（本小题满分8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940,cos70°≈0.342,tan70°≈2.747,3≈1.732)22.（本小题满分8分）如图，AB为⨀O的直径，点D为⨀O上一点，点E是弧AD的中点，连接BE和AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE、AD相交于点F.(1)求证：∠ADE=∠CAE;(2)若∠ADE=30°，AE=3，求BF的长．23.（本小题满分10分）"体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．"为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A、B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．(1)求A、B两种跳绳的单价；(2)如果班级计划购买A、B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上，AB=AC．反比例函数y=kx（x>0）的图象与边AC交于点E(1，4)和点F(2，M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE、OF，OM和ON.(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标；(2)求△OEF的面积；(3)求△OMN面积的最大值．25.（本小题满分12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD=DC=4cm，∠ADC=60°，AB=BC，点E是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想。经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．(1)如图2，小明发现："当∠DAB=90°，m=32时，点H与点A恰好重合，HF+32BE的值是定值"．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是HF+32BE的值是(2)如图3，小华发现："当AD=AB，m=33时，HF+3【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值，老师肯定了小聪结论的准确性，若AB=7，请直接写出m的值及HF+mBE的定值.26.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M:y=ax2(1)如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；(2)在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC=∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)定义抛物线N:y=bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P(t，p)，点Q(t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p<q<1，求a的取值范围．答案一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2024的绝对值是（C）A.12024B.﹣12024C.20242.如图，是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（D）A.B.C.D.3．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划(2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨／日以上．数字2900000用科学记数法表示为（B）A.0.29x107B.2.9x106C.29x105D.290x1044.将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数是（A）A.26°B.28°C.30°D.36°（第4题图）(第6题图)5.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（C）A.B.C.D.6.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b=0，则下列结论中正确的是（A）A.a<bB.2a>2bC.ab>0D.a<-17.有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有"前"、"程"、"朋"、"鹬"四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成"墨朋"的概率是（B）A.12B.14C.168.某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，弧AB、弧CD所在圆的圆心为点O，点C、D分别在OA和OB上．已知消防车道宽AC=4m，∠AOB=120°，则弯道外边缘AB的长与内边缘CD的长的差为（B）A.4π3mB.8π3mC.16π3m（第8题图）（第9题图）9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，分别以点A、C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别BC和AC于点D、E，连接AD．以下结论不正确的是A.∠BDA=72°B.BD=2AEC.CDCB=5－12D.CA210.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的"n阶方点"，例如，点（1，3）与点（12，2）都是函数y=2x+1图象的"3阶方点"．若y关于x的二次函数y=(x-n)2+n2-6的图象存在"n阶方点"，则n的取值范围是A.1≤n≤65B.65≤n≤2C.2≤≤3第II卷（非选择题共110分）二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.分解因式：xy-y2=y（x－y）.12.若分式3x+1有意义，则x的值可以是013.如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8，一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为3π32（结果保留π（第13题图）（第14题图）（第15题图）（第16题图）14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，∠A=90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BC，以BC为直径作半圆弧BFC，则阴影部分的面积为8。15.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB=EC，连接ED交BC于点F，则EF=16316.如图，已知矩形ABCD，AB=6，AD=8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是102。三．解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分6分）计算：﹣2-(π-2)0+(13)=2－1+3－4=018.（本小题满分6分）解不等式组：3（解：解不等式①，得x>-1解不等式②，得x<3∴原不等式组的解集是﹣1<x<3∴它的所有整数解有：0，1，219.（本小题满分6分）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E和F.求证：BE=CF.证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F∴∠AEB=∠AFD=90°在△ABE与△ADF中∠B∴△ABE≌△ADF(AAS)∴AE=AF20.（本小题满分8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办"垃圾分类知识竞赛"活动，分为笔试和展演两个阶段。已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）:A:70≤x<75，B:75≤x<80，C:80≤x<85，D:85≤x<90，E:90≤x<95，F:95≤x≤100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：请根据以上信息，完成下列问题：(1)在扇形统计图中，"E组"所对应的扇形的圆心角是;(2)n=，并补全图2中的频数分布直方图；(3)在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是分；(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2:3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得"环保之星"称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得"环保之星"称号？请通过计算说明理由．解：(1)20；54°(2)略(3)85.5(4)甲：92×22+3乙:90×22+3∴乙将获得"环保之星"称号21.（本小题满分8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940,cos70°≈0.342,tan70°≈2.747,3≈1.732)解：(1)如图，作BM⊥AD于M∵AB=4m，∠BAD=70°∴在Rt△BAM中，sin∠BAM=BMAB=∴BM=sin70°×4=0.940×4=3.76m答：遮阳篷前端B到墙面AD的距离约为3.76m(2)解：如图3，作BM⊥AD于M，CH⊥AD于H，延长BC交DE于K，则BK⊥DE∴四边形BMIIC，四边形HDKC是矩形,由(1)得BM=3.76m∴DK=HC=BM=3.76m在Rt△ABM中，cos∠BAM=AMAB=∴AM=cos70°x3≈0.342x4=1.368m由题意得:DF=2.76m∴FK=DK﹣DF=3.76-2.76=1m在Rt△CFK中，tan∠CFK=CKFK=∴CK=1xtan60°≈1x1.732=1.732m∴BC=AD﹣AM﹣CK=3.5-1.368-1.732=0.40m答:挡沿部分BC的长约为0.40m.22.（本小题满分8分）如图，AB为⨀O的直径，点D为⨀O上一点，点E是弧AD的中点，连接BE和AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE、AD相交于点F.(1)求证：∠ADE=∠CAE;(2)若∠ADE=30°，AE=3，求BF的长．解：(1)∵AC与⊙O相切于点A∴AB⊥AC∴∠BAE+∠CAE=90°∵AB是直径∴∠AEB=90°∴∠BAE+∠ABE=90°∴∠ABE=∠CAE∵弧AE=弧AE∴∠ABE=∠ADE∴∠CAE=∠ADE(2)∵E是弧AD的中点∴AE=DE∴∠DAE=∠ADE=30°∵∠AEB=90°∴∠AFE=60°在Rt△AEF中，AE=3∴AF=2∵∠ABE=∠ADE=30°∴∠BAF=60°-∠ABE=30°∴∠BAF=∠ABE∴BF=AF=223.（本小题满分10分）"体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．"为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A、B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．(1)求A、B两种跳绳的单价；(2)如果班级计划购买A、B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？解：(1)设A种跳绳的单价为a元，B种跳绳的单价为b元由题意可得3a+b=1055a+3b答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元(2)解：设购买A型跳绳m根∵班级计划购买A、B两型跳绳共48根∴购买B型跳绳（48-m）根．根据题意得：48-m≥2m解得：m≤16.设购买跳绳所需费用为w元，则w=25m+30(48-m)即w=-5m+1440∵-5<0∴w随m的增大而减小∴当m=16时，w取得最小值，最小值＝-5x16+1440=1360.答：购买跳绳所需最少费用是1360元．24.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C在x轴上，顶点A在y轴上，AB=AC．反比例函数y=kx（x>0）的图象与边AC交于点E(1，4)和点F(2，M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE、OF，OM和ON.(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标；(2)求△OEF的面积；(3)求△OMN面积的最大值．解：(1)将点E(1，4)代入反比例函数y=kx将F(2，n)代入y=4x设直线AC的表达式为y=kx+b，将E(1，4)，F(2，2)代入，可得k=-2，b=6∴A的坐标为（0，6）(2)如图，作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G，易得S△EOH=S△FOG=2S△EOF=S△EOF+S△FOG﹣S△EOW=S梯形FGHE=（∵EH=4，FG=2，HG=OG﹣OH=1∴S△OEF=3（3）1725.（本小题满分12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD=DC=4cm，∠ADC=60°，AB=BC，点E是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE