广东省广州天河区七校联考2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

广东省广州天河区七校联考2023-2024学年数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列说法正确的是（）

A.所有菱形都相似B.所有矩形都相似

C.所有正方形都相似D.所有平行四边形都相似

2.使分式有意义的x的取值范是（)

A.巧£3B.x=3C.占£0D.x=0

3.已知一元二次方程1-（x-3）（x+2）=0,有两个实数根xi和X2（xi<X2）,则下列判断正确的是（）

A.-2<XI<X2<3B.XI<-2<3<xiC.-2<XI<3<X2D.XI<-2<X2<3

4.下列事件中，随机事件是（）

A.任意画一个三角形，其内角和为180°B.经过有交通信号的路口，遇到红灯

c.在只装了红球的袋子中摸到白球D.太阳从东方升起

5.下列二次根式中，与0是同类二次根式的是（）

A.瓜B.—Gc.VilD.V48

6.一个袋内装有标号分别为1、2、3、4的四个球，这些球除颜色外都相同.从袋内随机摸出一个球，让其标号为一

个两位数的十位数字，放回摇匀后，再从中随机摸出一个球，让其标号为这个两位数的个位数字，则这个两位数是偶

数的概率为（）

11

A.—B.-c

24-i。

7.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.心-1且kWOB.k\-1C.kWlD.kWl且k#()

8.如图，在正方形ABCD中，E为A3边上的点，连结EC,将ABCE绕点B逆时针方向旋转90°得到△胡方，连

结EF,若NBEC=76，则£）£F4的度数为（）

A.10°B.15°C,20°D.25°

9.对于二次函数y=（x—1>+2的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.对称轴x=lC.顶点坐标是（1,2）D.与x轴有两个交点

10.下列计算，正确的是（）

A.a1-ai=a（'B.3a2-a2=2C.a8-?a2=a4D.（a2）3=a6

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在半径为10c机的圆中，90°的圆心角所对的弧长是cm.

12.如图，NMON=90°，直角三角形ABC斜边的端点A,B别在射线OM,ON上滑动,BC=1,NBAC=30°,连接OC.

当AB平分OC时,OC的长为.

13.已知二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的图象与x轴交于（x“0）,且-IVxiVO,对称轴x=L如图所示，有下列

5个结论：①abc>0；②bVa+c；③4a+2b+c>0；④2cV3b；⑤a+b>m（am+b）（m,l的实数）.其中所有结论正确

的是（填写番号）.

14.反比例函数尸——的图象位于第二、四象限，则A的取值范围是

x

15.如图，在RiABC中，AC=4,3C=2,点”为AC的中点.将AABC绕点M逆时针旋转90得到DEF,其

中点8的运动路径为BE，则图中阴影部分的面积为

16.将二次函数y=27的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为

17.已知线段b满足2a=3b,则;=•

b

18.如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm,水面宽AB=80cm,则水深CD约为cm.

19.（10分）岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱.某海产品批发超市对进货价为40元/千克

的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所

示.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润X总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的

销售利润最大？最大利润是多少？

20.（6分）（定义）在平面直角坐标系中，对于函数图象的横宽、纵高给出如下定义：当自变量x在aWx<b范围内

时，函数值y满足c<y«d.那么我们称b-a为这段函数图象的横宽，称d-c为这段函数图象的纵高.纵高与横宽的

d—c

比值记为k即：k=-

b-a

(示例)如图1,当一1WXW2时；函数值y满足l<y<4,那么该段函数图象的横宽为2-(-1)=1,纵高为4-1=1.则

k=-=l.

3

(应用)(1)当l«xW3时，函数y=-2x+4的图象横宽为,纵高为；

(2)已知反比例函数y=2(n>0),当点M(l,4)和点N在该函数图象上，且MN段函数图象的纵高为2时，求k

X.

的值.

(1)已知二次函数yn-mx?+4mx的图象与x轴交于A点，B点.

①若m=l,是否存在这样的抛物线段，当aWxWb(axb)时，函数值满足2aKyV3b若存在，请求出这段函数图象

的k值；若不存在，请说明理由.

②如图2,若点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，3亚为半径作圆，当AB段函数图象的k=l时，抛物线顶点恰

好落在P上，请直接写出此时点P的坐标.

21.(6分)问题背景

如图1,在正方形ABCD的内部，作NDAE=NABF=NBCG=NCDH,根据三角形全等的条件，易得

△DAE^AABF^ABCG^ACDH,从而得到四边形EFGH是正方形.

类比探究

如图2,在正AABC的内部，作NBAD=NCBE=NACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合)

(1)AABD,ABCE,ZkCAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明.

(2)4DEF是否为正三角形？请说明理由.

(3)进一步探究发现，^ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a,AD=b,AB=c,请探索a,b,c满足的等量关系.

22.(8分)一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记

录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次.

(1)用树状图列出所有可能出现的结果；

(2)求3次摸到的球颜色相同的概率.

23.(8分)如图，已知45为。。的直径，是弦，且AB_LC£)于点E.连接AC、OC、BC.

(1)求证：ZACO=ZBCD.

(2)若EB=8cm,CD=24cm,求。。的直径.

24.(8分)如图，已知二次函数)，=-/+反+c(c>0)的图象与x轴交于A、8两点(点A在点B的左侧)，与)'轴交

于点C,S.OB=OC=3,顶点为用.

(1)求二次函数的解析式；

(2)点p为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ,垂足为。，若。。=机，四边形ACP。的面积为S,

求S关于”的函数解析式，并写出〃？的取值范围；

(3)探索：线段3M上是否存在点N,使△MWC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说

呀理由.

25.(10分)解方程：2x2-4x+l=l.

26.(10分)如图，已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.

(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中NABC的度数；

(2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可.

【详解】A.菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误；

B.矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误；

C.正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确；

D.平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

2、A

【解析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案.

【详解】分式有意义，则Lx#),

1

B—«

解得：X/1.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键.

3、B

【解析】设y=-(x-3)(x+2),y1=l-(x-3)(x+2)根据二次函数的图像性质可知力=1-(x-3)(x+2)的图

像可看做y=-(x-3)(x+2)的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.

【详解】设y=-(X-3)(x+2),yi=l-(x-3)(x+2)

•；y=0时，x=-2或x=3,

：.y=-(x-3)(x+2)的图像与x轴的交点为(-2,0)(3,0),

V1-(x-3)(x+2)=0,

/.yi=l-(x-3)(x+2)的图像可看做y=-(x-3)(x+2)的图像向上平移1,与x轴的交点的横坐标为xI、X2,

V-l<0,

二两个抛物线的开口向下，

Xi<-2<3<X2,

故选B.

【点睛】

本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.

4、B

【分析】由题意根据随机事件就是可能发生也可能不发生的事件这一定义，依次对选项进行判断.

【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°,是必然事件，不符合题意；

B、经过有交通信号的路口遇到红灯，是随机事件，符合题意；

C、在只装了红球的袋子中摸到白球，是不可能事件，不符合题意；

D、太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能

事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件是解题的关键.

5、A

【解析】试题分析：因为花=20,所以血与血是同类二次根式，所以A正确；因为与拒不是同类二次根

式，所以B错误；因为旧=26，所以巫与夜不是同类二次根式，所以B错误；因为J旎=46,所以J羽

与夜不是同类二次根式，所以B错误；故选A.

考点：同类二次根式

6、A

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为：

1232

4

123412312341234

共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是偶数的结果数为8,

Q1

所以成的两位数是3的倍数的概率=盘='.

Io2

故选：A.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果“，再从中选出符合事件A或B的结果

数目用，然后利用概率公式求事件A或3的概率.

7、A

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1#1且AMaZ/kx(-1)>1,然后求出两个不等式的公共部分即

可.

【详解】根据题意得k再且A=22-4kx(-1)>1,

解得应-1且导1.

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=l(arl)的根的判别式△=b?-4ac：当A>1,方程有两个不相等的实数根；当△=1,

方程有两个相等的实数根；当AVL方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

8、D

【分析】根据旋转的性质可知ZAFB=ZBEC,BF=BE,然后得出/EFB=45°,最后利用?EFA2AFB?EFB

即可求解.

【详解】VABCE绕点B逆时针方向旋转90,得到ABAF,

:.ZAFB=/BEC=70°,ZABF=NEBC=90°,BF=BE,

:.NEFB=45。,

A?EFA?AFB?EFB70?45?25?.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键.

9、C

【分析】根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，再根据顶点式得到顶点坐标，再根据对称轴为直线x=l和开口

方向和顶点，从而可判断抛物线与x轴的公共点个数.

【详解】解：二次函数y=2(x-1)2+2的图象开口向上，顶点坐标为(1,2),

对称轴为直线x=L抛物线与x轴没有公共点.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中，其顶点坐标为(h,k),

对称轴为x=h.当a>0时，抛物线开口向上，当aVO时，抛物线开口向下.

10、D

【分析】按照整式乘法、合并同类项、整式除法、塞的乘方依次化简即可得到答案.

【详解】A.a2-a3=as,故该项错误;

B.3a2“2=2a2,故该项错误；

C.a^a2=a6,故该项错误；

D.(a2)3=a6正确,

故选：D.

【点睛】

此题考查整式的化简计算，熟记整式乘法、合并同类项、整式除法、幕的乘方的计算方法即可正确解答.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、5万

n/rr

【分析】根据弧长公式：1=——即可求出结论.

180

【详解】解：由题意可得：弧长0=07黑7X卢10=5万57

180

故答案为：5n.

【点睛】

此题考查的是求弧长，掌握弧长公式是解决此题的关键.

12、2G

【分析】取AB中点F,连接FC、FO,根据斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质得到AB垂直

平分OC,利用特殊角的三角函数即可求得答案.

【详解】如图，设AB交OC于E,取AB中点F,连接FC、FO,

VZMON=ZACB=90°

.•.FC=FO（斜边上的中线等于斜边的一半）,

又AB平分OC,

.••CE=EO,AB1OC（三线合一）

在R9CBE中,BC=1,ZABC=90°-4AC=90°-30°=60°,

…0。=笠・

BC1

•••CE=y/3

二OC=26

故答案为：

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，构造

合适的辅助线是解题的关键.

13、（3XgX§）

【解析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题.

【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，则a<0,抛物线与y轴交于正半轴，则c>0,对称轴在y轴右侧，则与a

的符号相反，故b>0.

.,.a<0,b>0,c>0,

/.abc<0,故①错误，

当x=-l时，y=a-b+c<0,得b>a+c,故②错误，

••,二次函数y=ax2+bx+c（a邦）的图象与x轴交于（xi,0）,且“VxVO,对称轴x=L

.•.x=2时的函数值与x=0的函数值相等，

.♦.x=2时，y=4a+2b+c>0,故③正确，

时，y=a-b+c<0,--=1,

2a

.'.2a-2b+2c<0,b=-2a,

.,.-b-2b+2c<0,

.,-2c<3b,故④正确，

由图象可知，x=l时，y取得最大值，此时y=a+b+c,

a+b+c>am2+bm+c(mrl),

.".a+b>am2+bm

.*.a+b>ni(am+b),故⑤正确，

故答案为：③④⑤.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质

和数形结合的思想解答.

,1

14-.k<—

3

【解析】根据时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案.

【详解】•.•反比例函数产的图象位于第二、四象限，

x

.•.3A-1V0,

解得：

3

故答案为

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象和性质.根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键.

15、2乃一3

【分析】连接设AC、£>E交于点N,如图，根据题意可得4ME的度数和的长度，易证MN为DEF

的中位线，故MN可求，然后利用S阴影=S扇形MBE-SVBCM-SVMNE，代入相关数据求解即可.

【详解】解：连接8M,£70,设AC、OE交于点N,如图，由题意可知N5ME=90°,BC=CM=2,

二BM=丘BC=2A/2，

,:DFLAC,：.MN//EF,且“为。咒的中点，

:.MN为aDEF的中位线，：.MN=1EF=1,MF=-DF=2,

22

S阴影=Sa®MBE-SyBCM~^VMNE—_____(___-x2x2——xlx2=2兀-3,

36022'

H

【点睛】

本题考查了旋转的性质、三角形的中位线定理、扇形面积的计算等知识，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质、将所

求不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差是解题的关键.

16、y=2(x-2)2+3

【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式.

【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2(x-2)

2+3,

故答案为：y=2(x—2尸+3.

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律.

3

17、-

2

【解析】此题考查比例知识

3

3-h

•;2a=3b:.a=-b,ao3

2

bbl

3

答案:

2

18、1

【解析】连接OA,设CD为x,由于C点为弧AB的中点，CD±AB,根据垂径定理的推理和垂径定理得到CD必过

圆心0,即点O、D、C共线，AD=BD=-AB=40,在R3OAD中，利用勾股定理得(50-x)2+402=502,然后解方程

2

即可.

【详解】解：连接OA、如图，设。。的半径为R,

；CD为水深，即C点为弧AB的中点，CD±AB,

...CD必过圆心O,即点O、D、C共线，AD=BD=-AB=40,

2

在RtAOAD中，OA=50,OD=50-x,AD=40,

VOD2+AD2=OA2,

(50-x)2+402=502,解得x=l,

即水深CD约为为1.

故答案为；1

【点睛】

本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可

解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

三、解答题(共66分)

19、(1)j=-2x+140；(2)当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元

【分析】(1)直接利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；

(2)先求出利润与销售价格之间的关系式，然后利用二次函数的最值问题，即可得到答案.

【详解】解：(1)由图象，设函数解析式为y=h+b,把(60,20)、(70,0)代入，得

6Qk+b=2Q

<7Qk+b=Q

解得：k=-2,6=140,

函数解析式为y=-2x+140；

(2)设该品牌小黄鱼每千克的售价为x元，总利润为W元，根据题意，得

W=(x-40)-y

=(x-40)(—2x+140)

=-2/+220X-5600

当*=一2=55时，W有最大值=i.

2a4a

即当该种小黄鱼销售价定为55元/千克时，每天的销售利润有最大值1元.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练

掌握题意，正确求出关系式，从而进行解题.

20、⑴214；⑵—,2；(1)①存在，k=l；②(3——2^/^)或(3+2V^,3+2V5)或(―1,—1)

【分析】(1)当1WXW3时，函数y=-2x+4的函数值y满足—2Wy«2

从而可以得出横宽和纵高；

(2)由题中MN段函数图象的纵高为2,进而进行分类讨论N的y值为2以及6的情况，再根据题中对k值定义的公

式进行计算即可：

(1)①先求出函数的解析式及对称轴及最大值，根据函数值满足2a3b确定b的取值范围，并判断此时函数的

增减性，确定两个端点的坐标，代入函数解析式求解即可；

②先求出A、B的坐标及顶点坐标，根据k=l求出m的值，分两种情况讨论即可.

【详解】(1)当1WXW3时，函数y=-2x+4的函数值y满足一2Vy42,

从而可以得出横宽为|3-1|=2,纵高为|2—卜2|=4

故答案为：2,4；

(2)将M(1,4)代入，得n=12,

纵高为2,

令y=2,得x=6；令y=6,x=2,

.-.N,(6,2),N2(2,6),

一4-22,6-4.

..k[==，K~)­=2•

,6-33-3-2

(1)①存在，

m=l，

,解析式可化为y=-x?+4x,

，当x=2时，y最大值为4,

4

.-.3b<4,解得b«1<2,

,当aWxWb时，图像在对称轴左侧,

，y随x的增大而增大,

二当x=a时,y=2a；当x=b时，y=lb,将(a,*2*a),(b,*3*b)分别代入函数解析式,

解得a1=O,a2=2(舍)，b[=O(舍)，b2=1,

②R（3—2夜,3—2后），P2（3+2V2,3+2A/2）,P,（-L-l）,理由是：

y=-mx2+4mx

,A（0,0）,B（4,0）,顶点K（2,4m）,

AB段函数图像的k=l,

.[4m|-0

..-------1,

4-0

**.m=l或・1,

二次函数为y=xz-4x或y=-x?+4x,过顶点K和P点分别作x轴、y轴的垂线，交点为H.

i）若二次函数为y=-x2+4x,

如图1,设P的坐标为（x,x）,则KH=|4-X|,PH=|2-X|,

在Rt_PKH中，PH2+KH2=PK2»

即（4—x）?+（2—x）2=@也了

解得x=3±2正，

.•.6（3-2&,3-2⑹，P2（3+2立,3+2闾

ii）若二次函数为y=x2-4x,

如图2,设P的坐标为（x,x）,则KH=x+4,PH=2—x,

在Rt_PKH中，PH2+KH2=PK2

（4+x）~+（2-x）2=卜啦），解得x=-L

n-i）

【点睛】

K2

本题考查的是新定义问题，是中考热门题型，解题关键在于结合抛物线的图像性质、直角三角形的勾股定理以及题中

对于k值的定义进行求解.

21、⑴见解析；⑴ZkDEF是正三角形；理由见解析；(3)c1=a1+ab+bi

【解析】试题分析：(1)由正三角形的性质得NCAB=NABC=NBCA=6(r,AB=BC,证出NABD=NBCE,由ASA证

明4ABD^ABCE即可；、

(1)由全等三角形的性质得出NADB=NBEC=NCFA,证出NFDE=NDEF=NEFD,即可得出结论；

1R

(3)作AGJLBD于G,由正三角形的性质得出NADG=60。，在RtAADG中，DG=b,AG=b,在RtAABG中，

22

由勾股定理即可得出结论.

试题解析：(1)△ABDgABCEgACAF；理由如下：

VAABC是正三角形，

/.ZCAB=ZABC=ZBCA=60°,AB=BC,

VZABD=ZABC-ZLZBCE=ZACB-N3,N1=N3,

/.ZABD=ZBCE,

在4ABD^ABCE中，

<AB=BC,

[^ABD=2BCE

AAABD^ABCE(ASA)；

(1)△DEF是正三角形；理由如下：

VAABD^ABCE^ACAF,

ZADB=ZBEC=ZCFA,

...NFDE=NDEF=NEFD,

/.△DEF是正三角形；

(3)作AG_LBD于G,如图所示：

BaDG

•••△DEF是正三角形,

:.ZADG=60°,

在RSADG中，DG=±b,AG=、b,

22

：

在RSABG中，c*=(a+b)】+(b)I

22

.e.c^a^ab+b1.

考点：1.全等三角形的判定与性质；1.勾股定理.

22、（1）见解析；（2）—

4

【分析】（1）根据题意画树状图，求得所有等可能的结果;

（2）由（1）可求得3次摸到的球颜色相同的结果数，再根据概率公式即可解答.

【详解】（1）画树状图为:

共有8种等可能的结果数;

（2）3次摸到的球颜色相同的结果数为2,

21

3次摸到的球颜色相同的概率=

84

【点睛】

本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果.

23、（1）证明见解析；（2）。。的直径为26cm.

【分析】（1）由AB为。O的直径，CD是弦，且ABLCD于E,根据垂径定理的即可求得CE=ED,CB=DB，然

后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：ZACO=ZBCD.

(2)设。。的半径为Re"，得至!]OE=O8-EB=K-8,根据垂径定理得到CE=，。。=工x24=12,利用在Rt/CE。中,

22

由勾股定理列出方程，故可求解.

【详解】证明：(1)••.AB为。。的直径，C。是弦，且A8，C£)于E,

：.CE=ED,CB=DB，

：.NBCD=NBAC

•：OA=OC,

：.^OAC=ZOCA,

：.ZACO=ZBCD

(2)设。。的半径为Acs,贝！JOE=OB-E5=R-8,

CE=—CD=—x24=12

22

在Rt/CE。中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2

R2=(R-S)2+122

解得：R=13,

.♦.2R=2x13=26

答：00的直径为26c,〃.

【点睛】

此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想

的应用.

93

24、(1)y=-x2+2x+3；(2)S四边形ACPO=一/犷

【解析】(D可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解.先根据抛物线的解析式求出A点的

坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系

式.

(3)先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系

中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长,然后分三种情况进行讨论:①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN.根

据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标.