2022-2023学年河北省秦皇岛市青龙县九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

绝密★启用前

2022-2023学年河北省秦皇岛市青龙县九年级（上）期中数学

试卷

学校：—姓名：一班级：——考号：一

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.x2—i=oB,y2+x=lC.2x+l=0D.x+[=1

2,一组数据3,-1,0,2,x的平均数是1,贝k的值为（）

A.-2B.-1C.0D.1

3.某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动,班长将捐款情况进行了统计，并绘制

成了如图所示的统计图（不完整）.根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（）

A.20元B.30元C.50元D.100元

4.如果两个相似三角形对应边的比是3：4,那么它们的对应面积的比是（）

A.3：4B.2C.9：16D.3：7

5.已知线段a、b、c、d是成比例线段，Q=1,b=2,c=4,那么d的值是（）

A.\B.2C.3D.8

6.若x=1是方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n-2等于（）

A.-7B.6C.1D.-3

7.如图，在△ABC中,DE//BC,AD=6,DB=3,AE=4,则4c的长

为（）

A.2B.4C.6D.8

8.如图，在RtA/lBC中，4c=90。，AB=5,AC=3,则sinB等于（）

A.1C.?D.1

4545

9.若;=?,则苗的值为（）

A.|3B.25C，23D.|3

10.若关于x的方程“2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）

A.a<1B,a>1C.a<1D.a>1

11.方程2/+（/c+1）%—6=0的两根和是一2,则k的值是（）

A・k=3B.k=-3C.k=0D.k=1

12.如图，。是△ABC的边8。上的一点，那么下列四个条件中，不能够判

定^ABC^j^4相似的是（）

A."=4BAD

B,乙BAC=Z-ADB

—ACAD

BCAB

D.AB2=BDBC

13.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得

苗高（单位：的）的平均数与方差为：%甲=%丙=13,%乙=x丁=15：sa=s"=3.6,s；=

s金=6.3.则麦苗又高又整齐的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

14.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（-L2）,以点。为圆心，

将线段。4逆时针旋转，使点4落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横

坐标为（）

A.一V~3

B.O

C.一门

D.<5

15.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像

的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中

b为2米，则a约为（）

A.1.24米

B.1.38米

C.1.42米

D.1.62米

16.在如图所示的网格中，以点。为位似中心，能够与四边形ABCD是位似图形的为（）

B

A,四边形NGMFB,四边形NGMEC,四边形NHMFD,四边形NHME

第n卷（非选择题）

二、填空题(本大题共10小题，共20.0分)

17.计算：2sin60°=

18.若关于x的方程(a-l)x2+x-2=0是一元二次方程，则a满足的条件是

19.一组数据的方差可以用式子s2=景Q1-50)2+(与-50)2+•••+Q10-50)2］表示,

则这组数据的平均数是.

20.如图，在△ABC中，点。在4B上，请再添一个适当的条件，使小

ADC^LACB,那么可添力口的条件是.

21.设一元二次方程/一3%-1=0的两根分别是乙、0，计算好+*=

22.A、B、C、D、E五个城市某天的温度数据折线统计图如本数据

图所示，则这组温度数据的中位数是

I。

»

6

1

O•••■■♦

ABCDE

项

23.已知％=2是一元二次方程％2+mx+几=。的一个根，则4血2+4mn+M的值为

24.一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，若两次降价的百分率

相同，求平均每次降价的百分率.如果设平均每次降价的百分率是％,根据题意，可列方程为

25.如图，△4BC中，DE//BC,G为BC上一点,连结4G交DE于点尸，若

AF=2,AG=6,AE=3,贝!|4C=.

26.如图，小明站在一盏路灯下，他在这盏路灯下的影子AD的长度和其

身高DE的长度相等，测量出他距路灯电杆的距离CD为3.8米，已知他的身

高。E为1.7米，试计算路灯灯泡的高度8C约为米.

三、解答题（本大题共5小题，共48.（）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

27.（本小题10.0分）

某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读1〜4本书，活动结束后

从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据41本；B-.2本；C：3本；

D：4本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）请根据统计图解

答下列问题：

（1）写出这次调查中。类型学生人数并补全条形统计图；

（2）直接写出被调查学生读书数量的众数和中位数；

（3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？

28.（本小题10.0分）

计算：

（l）sin600-cos300+sin2450—tan450.

（2）用适当的方法解方程：2/+3%-1=0.

29.（本小题8.0分）

某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活

动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有

一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60。，在平台上的

点E处测得大树的顶部的仰角为30。.测量可知平台的纵截面为矩形CCFE,DE=2米，DC=20

米，求大树力B的高.

（精确到1米，参考数据：lAl.yTS«1.73,<6®2.45）.

30.(本小题8.0分)

某商场经销的太阳能路灯，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按

标价收费；一个次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但最低单价不

能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元厕该顾客实际购买了多少

个路灯？

31.(本小题12.0分)

如图，在RtAHBC中，Z.C=90°,BC=8,AC=6,动点P从点4开始，沿边AC向点C以每

秒1个单位长度的速度运动，动点。从点4开始，沿边AB向点B以每秒弓个单位长度的速度运动，

且恰好能始终保持连结两动点的直线POJ■4C,动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个

单位长度的速度运动，连结PQ.点P,D,Q分别从点A,C同时出发，当其中一点到达端点时，

另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t20).

(1)当t=3时，求PC的长？

(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为44BC面积的一半？

(3)是否存在t的值，使四边形POBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理

由.

A'

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

8.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；

C该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；

。.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：A.

根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一

个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.

2.【答案】D

【解析】解：•••数据3,-1,0,2,x的平均数是1,

(3—1+0+2+x)+5=1,

解得x=1.

故选：D.

根据算术平均数的定义得出(3-1+0+2+x)+5=1,解之即可.

本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映

数据集中趋势的一项指标.

3.【答案】B

【解析】解：捐款30元的人数为50—6-13-8-3=20,

••・30出现的次数最多，出现了20次，

•••捐款金额的众数是30元.

故选:B.

先求出捐款30元的人数，再根据众数的定义即可得出答案.

此题考查了众数，熟练掌握众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•••两个相似三角形对应边的比是3：4,

.•.它们的对应面积的比是：9：16.

故选：C.

根据相似三角形面积的比与相似比的关系可得结论.

本题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解决本题的关

键.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意得a：b=c：d,

即1：2=4：d,

解得d=8.

故选：D.

利用成比例线段的定义得到a：b=c：d,然后根据比例的性质求d的值.

本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另

两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段.

6.【答案】D

【解析】解：把x=1代入/+n=0,得

1+m+n=0,

则m+n=—1,

所以m+n—2——■—1—2=-3.

故选：D.

把x=1代入已知方程可以求得（m+n）的值，然后整体代入所求的代数式进行求值即可.

本题考查了一元二次方程的解的定义.注意解题过程中的“整体代入”数学思想的应用.

7.【答案】C

【解析】解：•••DE//BC,

±DA64

-即

on--=-

oE3

FC

解得：EC=2,

:.AC=AE+EC=4+2=6.

故选c.

根据平行线分线段成比例求出EC,即可解答.

本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理.

8.【答案】D

【解析】解：在RtZiABC中，•••ZC=90°,AB=5,AC=3,

.AC3

•,,初8n=而=F

故选：D.

根据锐角三角函数的正弦定义进行解答即可.

本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切定义是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：•••：=!，

yy22

故选：0.

先把亨化成:-1,再代值计算即可得出答案.

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，把亍化成是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

根据根的情况得出判别式A=炉-4ac<0,代入求出不等式的解，即可得到答案.

此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式4

的关系：

(1)21>0O方程有两个不相等的实数根；

(2”=0=方程有两个相等的实数根；

(3)21<0O方程没有实数根.

【解答】

解：•••关于》的方程*2+2x+a=0不存在实数根,

•••A—b2-4ac=22—4xlxa<0,

解得：a>1.

故选：B.

11.【答案】A

【解析】解：根据题意得一警=一2,

解得k=3,

故选：A.

根据根与系数的关系得到-竽=-2,则解一次方程可得到k=3.

本题考查了根与系数的关系：若xi，七是一元二次方程a-+bx+c=0(a#0)的两根时，匕+

bc

X2=-->X1X2=--

12.【答案】C

【解析】解：由图得：乙B=乙B

=/-BAD^LABAC=乙408或券=整即482=8。・8。时，△ABC与△DBA相似；

DCDC

C选项中4B不是成比例的两边的夹角.

故选：C.

已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.

此题考查了相似三角形的判定：

①有两个对应角相等的三角形相似；

②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；

③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

13.【答案】D

【解析】解：%乙=%丁>刀甲=x丙，

•••乙、丁的麦苗比甲、丙要高,

.•・甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，

综上，麦苗又高又整齐的是丁，

故选：D.

方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集

中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可.

此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这

组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平

均数越小，数据越稳定.

14.【答案】C

【解析】解：

0A=VI2+22=A/-5,

由旋转的性质可知，OB=0A=V-5.

B（一厅0）.

故选：C.

利用勾股定理求出04可得结论.

本题考查之比与图形变化-旋转,解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出。4即可.

15.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义.

根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,因为图中b为2米，即可求出a的值.

【解答】

解：••,雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,

小0.618，

•••b为2米,

ax0.618x2«1.24米.

故选：A.

16.【答案】A

【解析】解：如图,

A

四边形4BCD的位似图形是四边形NGMF.

故选：A.

利用图形，判断4、。、N共线，C、。、M共线，D、。、F共线，B、0、G共线，然后根据位似的

定义进行判断.

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边

互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.位似图形必须是相似形；

对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线.

17.【答案】口

【解析】解：2sin60°=2x詈=「.

根据特殊角的三角函数值计算.

本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、

填空题为主.

【相关链接】特殊角三角函数值：

sin30°=cos30°=三三tan300=1，cot30°=

N/3

sin450=—.cos45°=—>tan45°=1,cot450=1；

sin60°=―，cos60°=tan60°=V-3>cot60°=

18.【答案】a力1

【解析】解：若关于x的方程9一1)产+%-2=0是一元二次方程，则a满足的条件是a—1#0,

解得aHl.

故答案为：a41.

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式

方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为a/+bx+c=0(aR0)的形式，则这个方程就为

一元二次方程.

19.【答案】50

【解析】解：根据方差的计算公式s2=；［(Xi-［)2+(X2-I)2+“・+(Xn—1)2］,可知式中S?=

表［01-50)2+(孙-50)2+...+(X1O_50)2］表50即是3

则这组数据的平均数是50.

故答案为：50.

由方差的计算公式即可得到答案.

此题考查方差的计算公式，解题的关健是理解、掌握公式中字母所代表的意义.

20.【答案】乙40c=44cB(答案不唯一)

【解析】解：•••/-DAC=/.CAB,

.♦•当乙4DC=乙4cB时，可得△ADC”△力CB.

vZ-DAC=Z-CAB，

当44co=48时,可得

vZ-DAC=Z-CAB,

当=时，即黄=每寸，可得△ADCsAHCB

故答案为：N/1DC=乙4cB(答案不唯一)

已知△4OC和AACB中有一个公共角，我们可以再添加一个角，从而利用有两组角对应相等的两

个三角形相似来判定其相似，还可以利用两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定

其相似.

这是一道开放性的题，答案不唯一.

21.【答案】11

【解析】解：•.•一元二次方程》2—3x—1=0的两根分别是右、0，

=

%1+X23>X「X2=-1，

22

xl+X2=(%1+x2)—2xrx2=3—2X(-1)=11.

故答案为：11.

根据根与系数的关系求出Xl+0=3,巧々2=-1，再代入整理后的式子即可求解.

本题主要考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-2,两根之积等于乃是解题的关键.

aQ

22.【答案】9

【解析】解：把数据从小到大排列：4,8,9,11,12,

所以中位数是9.

故答案为：9.

根据中位数的定义进行解答即可.

此题主要考查了折线图以及众数，关键是掌握中位数的定义.

23.【答案】16

【解析】解：把x=2代入/+mx+n=0,得22+2m+n=0.

所以27n+n=-4.

所以4巾2+4znn+n2

=(2m+n)2

=C-4)2

=16.

故答案为：16.

根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到2m+71=-4,然后整体代入所求的代数式求

值即可.

本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解.

24.【答案】60(1-x)2=48.6

【解析】解：根据题意得60(1-无尸=48.6,

故答案为：60(1-*)2=48.6.

利用经过两次降价后的价格=原价x(1-平均每次降价的百分率¥，即可得出关于x的一元二次方

程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

25.【答案】9

【解析】解：vDE//BC,

AFAE23

:.—=—,即Hn一=—,

AGAC6AC

・・・4C=9,

故答案为：9.

根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.依据平行线分线段成比例定

理，即可得到AC的长.

本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边

的延长线)，所得的对应线段成比例是解答本题的关键.

26.【答案】5.5

【解析】解：AD=DE,^ADE=90°,

NA=45°,

•••乙ACB=90°,

NA=NB=45°,

AC=BC,

•••AD=DE=1.7米，CD=3.8米，

BC=AC=AD+CD=1.7+3.8=5.5(米)，

故答案为：5.5.

由AD=DE可知，AC=BC,从而解决问题.

本题主要考查了中心投影，等腰直角三角形的性质，证明AC=BC是解题的关键.

27.【答案】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为80+40%=200（人）,

。类人数=200x10%=20（人）；

（2）被调查学生读书数量的众数为2本，中位数为2本；

（3）被调查学生读书数量的平均数为：肃x（1x40+2x80+3x60+4x20）=2.3（本），

2.3x1500=3450（本），

答：估计全校1500名学生共读书3450本.

【解析】（1）由两个统计图可知，B类人数为80人，占40%可得抽查总人数，进而求出。类的学生

人数；

（2）根据中位数、众数的意义求解即可；

（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.

28.【答案】解：（1）原式=?x?+（?）2—i

1

-4*

(2)2x2+3%—1=0,

•・•a=2,b=3,c=—1,

・・・4=32—4x2x(-1)=17>0,

._-3±\nr7_-3±vnr7

X=~~~~=">

2X24

_-3+717_-3-VH7

•*,X1=4，X2=4•

【解析】（1）根据特殊角锐角三角函数的值即可求出答案;

（2）利用公式法即可求出答案.

（D此题考查了特殊角的三角函数值，熟知各特殊值直接代入计算即可；（2）此题考查了公式法解

一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键.

29.【答案】解：延长EF交AB于点G,

则。E=CF=4G=2米，OC=EF=20米，CA=FG,DA=EG,4EGB=90。,

设C4=FG=x米，

EG=DA=DC+AC=(20+x)米，

在RtUBC中，^BCA=60°,

AB=AC-tan600=Cx(米)，

BG=AB-AG=(AT3X-2)米，

^.RtBEGZ.BEG=30°,

x=10+A/-3，

经检验：x=10+是原方程的根，

AAB=yflx=ioq+3x20（米），

二大树4B的高约为20米.

【解析】延长E尸交AB于点G,则OE=CF=AG=2米，OC=EF=20米，C4=FG,DA=EG,

乙EGB=9。。,然后设CA=FG=x米，则EG=（20+x）米，在RtaABC中，利用锐角三角函数的

定义求出48的长，从而求出BG的长，最后在出△BEG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的

方程，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅

助线是解题的关键.

30.【答案】解：设该顾客实际购买了x个路灯，则购买路灯的单价为4000-80-80)=(4640-

8©阮/个)，

依题意得:x(4640-8%)=516000,

整理得