人教版高一物理【圆周运动】全章教学资料

人教版高一物理【圆周运动】全章教学资料

1圆周运动

-线速度

1.线速度

(1)定义：如图所示，物体沿圆弧由M向N运动，弧长加

与时间4之比反映了物体在1点附近运动的快慢,如果加非常

非常小，部就可以表示物体在Z点时运动的强慢，通常把它称

为线速度的大小。

⑵表达式…=/

(3)方向：线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。

2.匀速圆周运动

如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等,这种运动叫作匀速圆周运动。

二角速度

1.定义：

如图所示，物体在△/时间内由4运动到8。半径(%在这段

时间内转过的角△，与所用时间加之比叫作角速度，用符号。表示。

2.表达式：ω=-»描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快

∆r

慢。

3.单位：在国际单位制中，时间的单位是秒，角的单位是弧度，角速度的单位是弧度每

秒,，符号是rad/s。

三周期

1.周期：做匀速圆周运动的物体，运动二周所用的时间叫作周期，用T表示。单位与

时间的单位相同。

2.转速：技术中常用转速来描述物体做圆周运动的快慢。转速是指物体转动的圈数与所

用时间之比，常用符号"表示，转速的单位为转每秒(r∕s),或转每分

3.周期和转速的关系：Z≡1("的单位为r/s时)。

n

四线速度与角速度的关系

1.推导：如图所示，若物体做圆周运动的半径为力由4运动到8的

时间为加，力8的长度为A-Z8对应的圆心角为△仇由于。=生，co=—f

Z∖t

当AO以弧度为单位时,Ae=暨，由此可得O=2;。

r

2.两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径

的乘积，即O=CW人

关键能力合作探究。

要点1描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系

探究导入(I)如图，电扇叶片上的每一点都做匀速圆周运动，这种运

动整体上具有什么特性？该用什么物理量来描述运动具有的这种特性？选择

电扇开关的不同挡位，电扇运动时的周期和转速有什么关系？你的猜想是什

么？

(2)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，

如图所示。若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点

角速度相同吗？线速度相同吗？

提示：(1)电扇叶片的转动具有周期性。周期性可以用周期或频率来描述。

选择的挡位不同，转动的快慢不同，挡位越高，周期越小，转速越大。其关

系满足T=J=I(转速n的单位为r∕s)o

√"

(2)篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时圆心、半径不同，由。

=5•可知不同高度的各点的线速度不同。

「探究归纳

1.匀速圆周运动

(1)匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，所以它是一种变速运动，这里的“匀速”

是指速率不变。

(2)匀速圆周运动是角速度不变的运动。

2.描述匀速圆周运动物理量

国际单位各物理量

大小

内(符号)在图中示意

ʌ,AB

线速度米每秒

V=——=∆z(m∕s)

Z^7⅛

Δ(9弧度每秒

角速度ω—-

(rad/s)

频率/=-赫兹(HZ)

T

T=2π=2π尸

周期秒⑸

ωV

rω

转速n=f=-转每秒(r∕s)

2π

3.(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由①=§=2兀及知，

角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定

了。

(2)线速度与角速度之间关系的理解：由。=①知L/一定时，υocω;0一定时，GOC1；

r

c

①一定时，υ°ro

典例

(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是()

A.因为O=GR,所以线速度。与圆周半径R成正比

B.因为①=3所以角速度①与圆周半径火成反比

R

C.因为口=2加，所以角速度CU与转速〃成正比

D-因为广黄所以角速度”与周期7成反比

［解析］只有3—定时，线速度。才与圆周半径R成正比，选项A错误；只有。一定时，

角速度。才与圆周半径R成反比，选项B错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转

速成正比，与周期成反比，选项C、D正确。

［答案JCD

针对国

1∙(多选)火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指

南针在IOS内匀速转过了约10。。在此IOS时间内，火车()

A.运动的路程为600m

B.加速度为零

C.角速度约为1rad/s

D.转弯半径约为3.4km

解析：在此IOS时间内，火车运动的路程S=Of=60XIOm=600m,选项A正确；火车

在弯道上运动，做曲线运动，一定有加速度，选项B错误；火车IOS匀速转过10。，南速度

2π×10

/9Tr7)60

to=-=360rad∕s=----rad∕s,选项C错误：由V=O)R可得转弯半径R=—=m≈3.4km,

t|0180ωɪ

180

选项D正确。

答案：AD

要点2圆周运动在传动装置中的作用

探究导入如图所示是自行车小齿轮和大齿轮的结构示意图，观察自行车匀速转动

时，大小齿轮边缘上的两点8和/的运动情况。

(I)4、8两点在相同的时间内，通过的弧长和转过的角度分别有什么特点？

(2)试分析8、C两点的角速度及线速度的关系。

提示：⑴在相同时间内，A,B两点通过的弧长相等，/点绕自己的圆心转过的角度比B

大。

(2)8、C两点的角速度相同，C点的线速度大。

「探究归纳

常见的传动装置及其特点

同轴转动皮带传动齿轮传动

力、8两点在同轴的一

两个轮子用皮带连接两个齿轮啮合，/、B

个圆盘上

(皮带不打滑)，小B两点分别是两个齿轮

OB

两点分别是两个轮子边缘上的点

装置

边缘上的点AB

8

AR

&

特点角速度、周期相同-线速度大小相等线速度大小相等

角速度与半径成反角速度与半径成反

线速度与半径成正

比：也=上周期与半比：也=枕。周期与

规律

比常丁COBRSBn

径成正比：n=K半径成正比：4=U

TBrTBΓ2

典例团如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一

起同轴转动，图中/、B、C三轮的半径关系为3以=2*=43。设

皮带不打滑，求三轮边缘上的点“、8、C的线速度之比、角速度之比、周期之比。

［思路点拨J解答本题时应注意以下两点：

(1)皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等;

(2)同轴转动的两轮上所有点的角速度相等。

［解析J由题意可知，A,8两轮由皮带传动,皮带不打滑，故VA=UB,B、。在同一轮

轴上，同轴转动，

故①B=①C

由V=ωr得VB：OC=m：rc=2:4=1：2

所以2：Ds：Vc=1：1：2

由CO=。得①/：3B=：『A=3:4

r

所以必：COB'∙CoC=3：4：4

由①可知，周期与角速度成反比，

即〃：7⅛：Tc=A：3：3。

［答案］1：1：23：4：44：3：3

针对

2.如图所示为“行星传动示意图”。中心“太阳轮

的转动轴固定，齿数为30,周围四个“行星轮”的转动轴固定，其齿

数为20,“齿圈”的齿数为70,A、B、C分别是“太阳轮”“行星

轮”“齿圈”边缘上的点，齿轮传动过程不打滑，那么()

A./点与8点的角速度相同

B.4点与8点的线速度相同

C.B点与C点的转速之比为7：2

D.A点与C点的周期之比为1：1

解析：/、8两点在相等的时间内通过的弧长相等，故/、8两点的线速度大小相等，但

方向不同，故B错误；由0=汝知，线速度相等时，角速度和半径成反比，故/、8两点角

速度不相同，故A错误；8点和C点的线速度大小相等，由。=sr=2τt"∙，•知B点和C点的

转速之比为〃8："c=∕∙c：肥=7：2,故C正确；由以上分析知4点和C点线速度大小相等，

根据o=nυ=r区知/点与C点的周期之比为TA:Tc=rA：rc=3：7,故D错误。

T

答案：C

3.“单车共享”是目前中国规模最大的近距离交通代步方案，为我\

«r亡

Θ√Q

们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的共享服务。如图所示是一辆共享单车，4、8、C

三点分别为单车轮胎和大小齿轮外沿上的点，其中处=2&=5&。下列说法中正确的是()

A.Z点和4点的线速度，VA=2VB

B.4点与C点的线速度，VC=VA

C.8点与C点的角速度，2ωβ=5ωc

D.4点与8点的角速度，2ωΛ=5ωβ

解析：大齿轮与小齿轮是同缘传动，边缘点线速度相等，即os=%,根据u=ωR及RA

=2RB=5RC可得"^=k=2,车轮和小齿轮同轴转动，角速度相同，即必=0>c,可得%=&■

ωcRB5VcRC

=-,—则％=’。综上可知，VA=5VB9vc=^-VΛ,5ωB=2ωc,2cυA=5ωsf故D正确。

1COj?2VB15

答案：D

要点3圆周运动的周期性和多解性

探究导入如图所示，某纸筒以角速度。绕轴。匀速转动，

从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹孔—

则子弹的速度须满足什么条件？二L....θ--J

提示：圆筒上只留下一个弹孔，说明子弹从进入的弹孔射出，子

弹在对应时间内匀速直线运动的位移为圆筒的直径，圆筒在对应时间内匀速圆周转过的弧度

为兀的奇数倍。

「探究归纳

周期性和多解问题

(1)问题特点

①研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。

②运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀

速直线运动等)。

③运动的关系：根据两物体的运动时间相等建立等式，求解待求物理量0

(2)分析技巧

①抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点——时间相等。

②先特殊后一般：先考虑第一个周期，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。

③分析时注意两个运动是独立的，互不影响。

典例国如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一点尸，飞镖抛出时与尸在

同一竖直面内等高，且距离P点为3当飞镖以初速度创垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆

盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g。若飞

镖恰好击中尸点，求：

L一。P…

(1)圆盘的半径；

(2)圆盘转动角速度的最小值。

［解析J(1)飞镖水平抛出后做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此飞行时间f

=-,飞镖击中尸点时，。恰好在最下端，则2r=1gf2,解得圆盘的半径为r=吗。

Vo24υo2

(2)飞镖击中P点，则P点转过的角度6满足6=π+2hr(k=0,l,2,…)故。=，=竺詈当A

=0,1,2,•••),圆盘转动角速度的最小值为等。

［答案J(1)岩(2年

［名师点评］

因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发

生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去,

一般∕="7(T为运动周期，”为运动圈数)。

针对酗

4.如图甲所示，生活中我们常看见在时钟表盘出现分针和时针相遇的情景,

其中的物理关系可以简化成图乙模型：有/、8两质点绕同一点。做匀速圆周运动，运动方

向相同，己知力的周期为北，8的周期为加，且7>>叫。若设力、8运动到图示位置为第一

次相遇，则两质点下一次相遇所用的时间为()

A.TA-TB

CTΛ~TB

,TATB

TA-TB

解析：由题设情景分析可知，/、B下一次相遇的条件为OB—‰—2π,即——t=2π,

TBTA

解得I=T*TB,A、B、C错误，D正确。

TA-TB

答案：D

5.如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方高人处沿

08方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g,要使球与盘只碰一次，且落点为

B,8为圆盘边缘上的点，求小球的初速度。的大小及圆盘转动的角速度。。

解析：设小球在空中运动的时间为此时间内圆盘转过。角，则R=",∕7=%Z2

故初速度大小V=R

由题意知，=∕r2π("=1,2,3,•••)

又因为J=M

则圆盘角速度3=华=2"π1,2,3,…）。

答案：R2〃兀、^（"=1,2,3,…）

课堂检测素养达标。

1.（多选）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

A.匀速圆周运动是匀速运动

B.匀速圆周运动是变速运动

C.匀速圆周运动是线速度不变的运动

D.匀速圆周运动是线速度大小不变的运动

解析：这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆

周运动实际上是一种线速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确。

答案：BD

2.（多选）走时准确的机械表的时针和分针做匀速圆周运动时（）

A.分针角速度是时针角速度的12倍

B.分针角速度是时针角速度的60倍

C.如果分针的长度是时针的2倍，那么分针端点的线速度是时针端点线速度的24倍

D.如果分针的长度是时针的2倍，那么分针端点的线速度是时针端点线速度的1.4倍

解析：时针每转一圈所用时间为12h,时针的角速度（υ∣="rad/h;分针每转一圈所用

12

ɔ-rr

时间为1h,分针的角速度g=丁rad∕h,所以口2:0=12：1。由于。=①尸，所以力：。1=（82—2）:

（ωι∏）=（12×2）:（1×1）=24：1»

答案：AC

3.如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转

动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为外、投、3当Z点的线速度大小为。时，C点

的线速度大小为（）

A∕⅛B.¾

rir3

C.r⅛D.¾

r∖r2

解析：传动过程中，同一链条上的4、8两点线速度相等，即8点的线速度大小为。，

根据3=4且8、C两点同轴转动，角速度相同，可得竺=匹，代入数据联立得OC=4，D

rn∏厂2

正确。

答案：D

4.某物体做匀速圆周运动，其速度的大小为3m∕s,l$内速度变化的大小为3k∕s,

则匀速圆周运动的半径和角速度分别为（）

A.3m和1rad∕5B.1侬和3rad/s

C.-m和匹rad/sD.?m和匹rad/s

兀6兀3

解析：物体做匀速圆周运动，其速度的大小为3m∕s,。S内速度变化的大小为3HΛ∕S,

根据几何关系可知，初速度、末速度和速度变化量三者组成矢量等边三角形，转动的角度。

=-,根据角速度的定义可知①=’=匹rad/s,根据线速度与角速度的关系式P=G尸可知，半

3t3

7）Q

径/=—=-m,故D正确，A、B、C错误。

ωπ

答案：D

5.（新情景题）为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、

B,盘A、B平行且相距2m,轴杆的转速为3600r∕min,子弹穿过两盘留下两弹孔八b,测

得两弹孔所在半径的夹角。=30。，如图所示，则该子弹的速度可能是（）

A.360m/sB.72。m/s

C.1440m∕5P.X6>8m/s

解析：子弹从A盘到B盘，人盘转过的南度。=2成+乙(/=0,1,2,i)，A盘转动的南速

6

度①=­=2于=2兀〃=2兀X^^^rad∕s=22Oτ”"d∕s,子弹在A、B盘间运动的时间等于A

盘转动的时间，即L=4所以0=或=144。m/s(Z=G，2,…),4=。时，彳=244。m/s;

Vωθ12⅛+1

攵=1时，υ¾110.77m∕5;Z=2时，k=S7.6nʌ/s,C正确。

答案：C

2向心力

第1课时向心力的分析及表达式的应用

一向心力

L定义：做匀速圆周运动的物体所受的指向圆心的合力。

v2

2.大小：Fn=m—或Fn=QliI五。

r

3.方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。

4.来源

(1)向心力是根据力的作用效果命名的。

(2)匀速圆周运动中向心力是由某个力或者几个力的合力提供的。

5.作用：改变线速度的方向。

二变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点

1.变速圆周运动的合力丕等王向心力，合力产生两个方向的效果，如图所示。

(1)跟圆周相切的分力招：改变线速度的大小。

(2)指向圆心的分力K：改变线速度的方向。

2.一般的曲线运动的处理方法

(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看作圆

周运动的一部分,分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处

理。

关键能力合作探究。

要点1对向心力的理解

探究导入如图所示，在线的一端系一个小球(请注意不要用较轻的球，如塑料球等),

另一端牵在手中。将手举过头顶，使小球在水平面内做圆周运动。

(1)运动中的小球受哪些力的作用？这些力的作用效果是什么？

(2)改变小球转动的快慢、线的长度或球的质量，小球对手的拉力如何变化？

提示：(1)运动中的小球受重力和绳子的拉力作用。这两个力的合力提供小球做圆周运动

的向心力。

(2)小球转动的越快，向心力越大，小球对手的拉力越大；线越长，向心力越大，小球对

手的拉力越大；小球的质量越大，向心力越大，小球对手的拉力越大。

探究归纳

1.向心力公式

(1)公式：Fn=In—=mω2r=tnωv

ro

(2)说明：对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴

住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率。的变化而变化，公式

表述的只是瞬时值。

2.向心力是效果力

向心力因其方向时刻指向圆心而得名，故它为效果力。向心力的作用效果是只改变速度

方向，不改变速度大小。它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力。

受力分析时不分析向心力。

3.向心力的来源

在匀速圆周运动中合力一定是向心力；非匀速圆周运动中，沿半径方向的合力提供向心

力。向心力是按力的作用效果命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,

也可以是各力的合力或某力的分力。应明确各种情况下向心力的来源。

角度1对向心力的理解

典例S关于向心力，下列说法中正确的是()

A.物体由于做圆周运动而产生一个向心力

B.向心力不改变物体做圆周运动的速度大小

C.做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力

D.所有圆周运动的物体所受的合力即为向心力

［解析J由于物体所受合力总是指向圆心，导致物体做圆周运动，按效果命名称之为向

心力，A错误；做匀速圆周运动的物体向心力大小不变，方向时刻在变，故向心力是变力，

它只改变速度方向，不改变速度大小，B正确，C错误；只有做匀速圆周运动的物体所受的

合力才为向心力，D错误。

［答案］B

角度2对向心力来源的分析

典例团（多选）用细绳拴着的小球做圆锥摆运动，如图所示。下列说法正确的是（）

A.小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用

B.小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力

2

C.向心力的大小可以表示为Fn=mrω,也可以表示为Fn=Wgtanθ

D.小球所受合力为恒力

［解析］因为向心力是效果力，并不是实际受力，受力分析时不分析，A错误：小球受

重力和绳子的拉力而做匀速圆周运动，所以小球做圆周运动的向心力是由重力和绳子的拉力

的合力提供的，B正确；根据向心力公式可知Fn=Wmo2,根据受力分析也可得到Fl1=OTgtanθ,

C正确；小球所受合力提供向心力，方向时刻指向圆心，力的方向一直在变，是变力，D错

!`■ɑ天o

［答案］BC

［名师点评J

分析向心力来源的几种典型实例

实例向心力示意图

用细线拴住的小球在竖直面内转细线的拉力和重力的合力提供向^0^

动至最高点时心力，FΛ=FT+G

用细线拴住小球在光滑水平面内

细线的拉力提供向心力，F向=FT

做匀速圆周运动

续表

实例向心力示意图

ω

物体随转盘做匀速圆周运动，转盘对物体的静摩擦力提供

且相对转盘静止向心力，F⅛=Ff飞

22

小球在细线作用下，在水平面重力和细线的拉力的合力提

内做圆周运动供向心力，F产Fm<

/-------

、-----'

木块随圆筒绕轴线做圆周运圆筒侧壁对木块的弹力提供

Ft

动向心力，F=FN

Ililmg

，---------------'S

---------J

针对旗1.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一

起转动而未滑动。当圆筒的角速度。增大以后，下列说法正确的是（）

A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大

B.物体所受弹力增大，摩擦力减小

C.物体所受弹力和摩擦力都减小

D.物体所受弹力增大，摩擦力不变

解析：物体在竖直方向上始终受力平衡，所以摩擦力不变。物体所受弹力提供向心力，

由于物体随圆筒转动的南速度增大，向心力增大，所以弹力增大。故D正确。

答案：D

2.（多选）如图所示，一小球用细绳悬挂于。点，将其拉离竖直位置一

个角度后释放，则小球以。点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向

心力是（）

A.绳的拉力

B.重力和绳拉力的合力

C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

解析：如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，

向心力是指向圆心方向的合力。因此，向心力可以说是小球所受合力沿绳

mg

方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确。

答案：CD

要点2匀速圆周运动的处理方法

探究导入如图所示，飞机在空中水平面内做匀速圆周运动：在光滑漏斗内壁上,

小球做匀速圆周运动。试分析：

(1)飞机和小球受到哪些力的作用？它们的向心力由什么力提供？

(2)若知道飞机和小球做圆周运动的半径，还需要知道哪些信息才能求得飞机和小球运动

的速度大小？

提示：(1)飞机受到重力和空气对飞机的作用力，二者的合力提供向心力；小球受漏斗内

壁弹力和重力作用，二者的合力提供向心力。

(2)计算飞机和小球的速度大小分别还需要知道飞机做圆周运动时机身倾斜的角度和漏

斗内壁的倾角。

U探究归纳

1.匀速圆周运动的分析

(1)向心力的来源：做匀速圆周运动的物体所需要的向心力由物体受到的合力提供，即尸

N=F台。

(2)匀速圆周运动的三个特点

①线速度大小不变、方向时刻改变。

②角速度、周期、转速都恒定不变。

③向心力的大小恒定不变，但方向时刻改变，沿半径指向圆心。

7

FN7NCOSθ=mg

/光滑Z;

F2

LJ→尸NSinθ=mωr

Ix

If(I)mgQ

或mgtanθ=mrω1

一…、、飞机FyFj|cosθ=mg

:、∙M/F升Sinθ=tnω2r

ω<≈ι∑LX>Xi^o

在水平面上或1

mgmgwgtanθ=mrω

A光

滑

FIFN

鲁一FN=ZHg

FIA\

二F拉=〃?Bg=加①2尸

%I

A%水平面上

典例如图所示，一质量为机的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平

面在水平面内。已知小球与半球形碗的球心。的连线跟竖直方向的夹角为仇半球形碗的半

径为R,求小球做圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小。

［解析］法一：正交分解法

根据小球做圆周运动的轨迹找圆心，定半径。由题图可知，圆心为，

运动半径为r=Hsin仇小球受重力机g及碗对小球弹力FN的作用，向心力为

弹力的水平分力。受力分析如图所示。

„2mg

由向心力公式Fn-m—得

尸NSinΘ-m

竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上所受的合力为零，即FNCOSθ=mg

解得FN=半②

COSθ

联立①②两式，可解得小球做匀速圆周运动的速度为o=7RgSin例an6。

法二：合成法

mg

如图为小球做匀速圆周运动时的受力情况，产N为碗壁对小球的弹力，则

τ=m乂

卜7N一©

COSθ

设小球做圆周运动的速度大小为0,则

■

产合="7gtanθ=m—

r

其中r=RsinΘ

联立解得V=7Rgsin例anθ°

［答案J4Rgsin-anθ上三

cosθ

［名师点评J

分析匀速圆周运动的步骤

0)确定研究对象卜［做圆周运动的物体］

回运动］析轨道平面、圆心

,(画出受力示意图，运用平行四边

受力分析一U形定则或正交分解法求出外界提

——r——厂供的向心力以

F^∙=τn-γ=mω2r=mr=mvω

1(4)列方程求解卜

选择一种形式确定物体所需要的

向心力

针对

强3.如图所示，一只质量为机的老鹰，以速率。在水平

面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重

力加速度为g)()

Cx

R

D.mg

解析:

mg

对老鹰进行受力分析如图所示，老鹰受到重力机g和空气对老鹰的作用力?。由题意可

知，力尸沿水平方向的分力仔提供老鹰做圆周运动的向心力，其沿竖直方向的分力尸2与重

力平衡，故Q=盛，Fz=mg,则尸'v2

(772g)2+(«?­)2=mF,A正

R

确。

答案：A

4.图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的

边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成

一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转

轴0。'转动，设绳长∕=10m,质点的质量加=60kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离1

=4.0m,转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖

直方向的夹角6=37。。不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37o=0.6,cos37o=0.8,g

¾10m∕s2,求质点与转盘一起做匀速圆周运动时:

甲

(1)绳子拉力的大小；

(2)转盘角速度的大小。

解析：(1)对质点进行受力分析，如图所示，有

Fcos37°—mg—0

解得尸==625N°

cos37°

(2)根据牛顿第二定律有Wgtan37o=mω2R

解得CO=逸运=*rad/sɔ

答案：(1)625N(2)也rad/s

要点3变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法

探究导入荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。

(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？

(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn=加幺=〃?①2厂还适用吗？

r

提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。

(2)小朋友运动到最低点时，，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，不指向悬

2

挂点L。公式凡="V一=加①2尸仍然适用。

r

探究归纳

1.变速圆周运动受力特点：变速圆周运动中的合力并不指向圆心，合力F可以分解为

互相垂直的两个力(如图所示)。

(1)跟圆周相切的分力产生切向加速度，改变线速度的大小。

(2)指向圆心的分力吊：产生向心加速度，改变线速度的方向。

2.变速圆周运动的向心力：变速圆周运动中，某一点的向心力大小仍可用F=m-=mω2r

nr

求解，只不过“。都是指这一点的瞬时速度。变速圆周运动物体的向心力是由物体合外力沿

半径方向的合力提供的。

3.一般曲线运动的处理方法：一段曲线运动轨迹可以分割成许多段不同半径的极小的圆

弧，这样一般曲线运动就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。

典例口

一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分,

即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上/点的曲率圆定义为:

通过/点和曲线上紧邻4点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作4点的曲率圆,

其半径P叫作/点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成ɑ角的方向以速度列抛出，如图乙所

示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()

VO2υo2sin2a

Aa.—D.

gg

C加COS2小D5)2CoS2》

ggsina

［解析J物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度。P=OoCOSG,最高点重

力提供向心力，则/Mg=W空，由两式得0=空=幽处

Pgg

［答案Jc

针对

5.如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中C

方向沿半径指向圆心，α方向与C方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正

确的是（）

A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为C

B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力

C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为α

D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为人

解析：转盘匀速转动时,物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运

动的向心力，故摩擦力方向指向圆心。点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块

P做加速圆周运动，不仅有沿C方向指向圆心的向心力，还有指向α方向的切向力，使线速

度大小增大，故摩擦力可能沿6方向，不可能沿α方向，C项错误；当转盘减速转动时，物

块P做减速圆周运动，不仅有沿C方向指向圆心的向心力，还有与“方向相反的切向力，使

线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。

答案：A

6.利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，从摆球离开左侧最高点工时开始，每隔

相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从“位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图

所示，其中摆球运动到最低点C时，摆线在。'点被一钉子挡住。对照片进行分析可知（）

C

A.摆球经过C点前后瞬间角速度大小不变

B.摆球经过C点前后瞬间绳中拉力大小不变

C.摆球在C点附近相邻位置的间隔大，说明在C点附近相邻位置间的运动时间长

D.摆球经过C点前后瞬间线速度大小不变

解析：摆球经过C点前后线速度不变，但半径发生了变化，根据（υ=g可知角速度发生了

r

变化，故A错误，D正确；根据Fr—机%可得绳上拉力FT=Wg+加％,摆球经过C

rr

点前后运动半径改变，则绳中拉力改变，故B错误；频闪照相时，在相邻两个位置间运动的

时间是相同的，摆球在C点附近相邻位置的间隔大可说明C点附近的线速度大，故C错误。

答案：D

课堂检测素养达标a-

L（多选）关于匀速圆周运动的说法正确的是（）

A.匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度

B.做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速

度

C.做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速（曲线）运动

D.匀速圆周运动的物体加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终指向圆心，加速度

的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动

解析：做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加

速度；句速圆周运动的加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终指向圆心，加速度的方向

时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不