2023年新高考高考模拟测试卷01（解析版）高中数学

2023年上海市高考模拟测试卷01

一、填空题

1.已知集合A={H-l<x≤l},β={x∣x(x-3)≤θ},则AUB=；

【答案】((X)T<x≤3)/(-1,3]

【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合8,根据并集运算的法则，即可得答案.

【解析】由题意得B={x∣x(x-3)≤0}={x∣0≤x≤3},

所以AUB={x|-l<x≤3}.

故答案为:(-1,3]

2.函数/(%)=联工+1)+—1的定义域为_____________.

X-I

【答案】(-U)(l,+∞)

【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.

【解析】因为函数因力=Ig(X+1)+」7

X-I

fx+l>O,

则八，解得X>—1且XWl

[x-l1≠0

所以函数的定义域为(τ,l)[(l,y)

故答案为：(-1,1).(1,-W))

3.已知X服从正态分布N(2,『)，且尸(l≤X≤2)=0.4,则P(X>3)=.

【答案】0.1

【分析】由正态分布的对称性求解即可.

【解析】解析：由题知：〃=2,故P(XN2)=0.5,又P(2≤X≤3)=P(l≤X≤2)=0.4,

故尸(X>3)=P(XN2)-P(2≤X≤3)=0∙5-0.4=0.1.

故答案为：0.1.

4.已知α>0,i>>0,且出?=α-b+3,则α+匕的最小值为.

【答案】2√2

【分析】利用等式必=6+3求解b,代入计算，结合基本不等式，即可求得α+b的最小值.

【解析】因为ab=a-6+3,解得：&=塔=1+义，

α+la+∖

则4+Z?=〃+1+-----≥2V2

〃+1

当且仅当α=JΣ-1，/?=1^+1时，"="成区

故答案为：2√Σ∙

5.若函数/（%）=sin2x-2cos2χ的最小值为7，则“=.

【答案】-√Σ-1∕-1-√Σ

【分析】根据三角恒等变换化简整理得〃X）="足（21-；）-1,结合正弦函数求最值.

【解析】0/（ɪ）=sin2x-2COS2X=sin2x-cos2x-1=>∕2sin2x-ɪ-1,

回函数/（X）的最小值为机=-√Σ-l,

ITTTTT

此时2x——=2kπ—,⅛∈Z,即x=⅛π—,Z∈Z.

428

故答案为：-√I-1.

6.已知向量“=G九2）,h=（2,3m）,若α与〃共线且方向相反，则∣2α+同=.

【答案】^∕∣√io

33

【分析】根据向量共线且方向相反可构造方程求得〃7,利用向量模长的坐标运算可求得结果.

【解析】〃力共线，，§〃?・3m=2x2,解得：〃?=2或m=一2；

又4,Z?方向相反，」.m<0,即机=一2,二.〃=（一∣∙,2}b=（2,-6）,

2a+h=^,-2^,.∙,∣2a+⅛∣=^74=^.

故答案为：逆.

3

7.在（2/+1）卜-：J的展开式中X的系数为.

【答案】-120

【分析】利用二项式通项公式写出展开式中X的项，即可得解.

【解析】（2/+1）卜_：）=2∕（x-∙∣）+卜一胃的展开式中X的项为

+(4√=-160x+40x=-120x,

所以展开式中X的系数为T2O∙

故答案为：-120.

8.已知｛q｝是等差数列，论,｝是公比为2的等比数列，且4-％=%*=y4，则鲁=.

【答案】⅛9

【分析】根据题意和等差数列、等比数列的通项公式可得1=2々、2al+5d=∖2bl,进而得q=a=?,即可

求解.

【解析】设等差数列仅“｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为4，

2

由小一/=%一"，^ax+d-bλq=al+2d-blq,

即d=α相=44_2仇=24①：

3

由“3一4=々-4，得q+2d-丽2=btq-al-3d,

2

即2al+52=府+blq=12bl（2）,

由①②，得i=g,

所唠9

16

9

故答案为：—.

Io

9.已知四棱锥P-ABa）的底面是边长为及的正方形，侧棱长均为√L若点A8,C,。在圆柱的一个底面

圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为.

【答案】2π

【分析】画图求出圆柱体的底面圆的半径及高，利用圆柱体体积公式计算即可.

【解析】如图所示：连接ACBD交于点。，连接PO,

因为四棱锥P-A5C。的底面是边长为正的正方形，侧棱长均为百，

所以Po上面A88,

因为点A,8,C,。在圆柱的一个底面圆周上，

所以圆柱底面圆的半径为：r=DC2+BC2=l×^(√2)2+(>^)2=1,

又点尸在圆柱的另一个底面内，

所以圆柱体的高为PO=-JPD2-OD2=^(√5J2-I2=2，

所以圆柱体的体积为：V=nr^h=π×I2×2=2π>

故答案为：2兀.

22

10.已知1，尸2是双曲线「：2=l(α>0∕>0)的左、右焦点，点M是双曲线r上的任意一点(不是

顶点)，过月作NEg的角平分线的垂线，垂足为N,线段KN的延长线交M居于点。，。是坐标原点，

若IOM=区周，则双曲线r的渐近线方程为

【答案】y=±2√2Λ-

【分析】根据MN是N耳M鸟的角平分线，RN入MN,推出IKMl=IMQI,∣ON∣=g∣❷Q∣,结合IOM=守

22

以及双曲线的定义推出c=3a,再根据/=c∙2-a^9a-4=&?推出=2√2,即可得到双曲线的渐近线

a

方程.

【解析】因为MN是NEME的角平分线，F1N^MN,

所以EMQ是等腰三角形，I片MI=IMQI,N为耳。的中点，

又。为耳心的中点，所以QN是△石心。的中位线，

所以IoNl=!∣KQ∣,因为IONl=哼1,

26

当点M在双曲线的右支上时，Ik心∣=6∣ON∣=3∣R2∣=3(∣MQ∣-∣M段)=3(∣Λf耳ITM心|)=6%

6a

当点M在双曲线的左支上时，出周=6∖ON∖=3∣F2Q∖=3（悭闾TMQI）=3（|SHM制）=，

所以2r=6々，即c=34,

所以。2=c2—a2=9cι2—a2=Sci2，

所以2=20,

a

所以双曲线r的渐近线方程为y=±2χ=±20x.

a

故答案为：y-±2V∑x.

ft

11.已知2∙=3,3=4,c=ln"In',则在IOg“力，k)g“c,logfta,Iog6c,log,,a,IOg/这6个数中,值

a-h

最小的是.

【答案】log〃C

537.ab

【分析】首先利用对数的性质得到*＜/＜屋且加2,构造y=lng-%并利用导数研究其在

a

(i,+∞)上的单调性可得也二普<-⅛,进而有o<c<也<3<∕><3<q<2,,结合6个数的正负只需判断

a-byjab2424

log,a、log”c大小，作商法譬9=1。8,”108,2-108；。判断与1的大小关系，即可得答案.

log/

【解析】由log?=(<匕=Iog34<l0g3∙7∑7=I=log,-Js<a=Iog23<Iog2<^28=ɪ,

且H=log?3xlog34=log?3x警=2,

Iog23

所以3<0<:<"<二，故=>1,

424b

19

贝∣J∕")=21nf-r+;,则/'(f)=±

--1r

所以/"⑺在―）上递减，故fQ）＜∕（l）=O,故Int<J即如二她</==也;

/£a-b^Jab2

yi^h

Λ<⅛μnΛ∕25,37

2424

0lc

6个数中，正数有log,"、log/,负数有logj<log,为<0、>0gw=~Γ^—>l°g∕"="T

IograIogrb

loga2

所以只需比较log,。、log/,C大小，又1——=IogaIog⅛,而IOgCb=IOge_=log,2_IogCa,

l°g⅛ccca

1c2

所以=IOgCa×∣ogt.2-log；a=-(∣ogtα-Iogc+°^<=log：√2,

log,,c∖z44

由IOg比点=T<log,0<O,故嗨立<ι,即0<警£<1,ɪog,.a>Iogz)c.

2lθSbc

综上，值最小的是log,C.

故答案为：log〃C

【点睛】关键点点睛：由对数的性质得到g<6<:<α<二且必=2,利用对数均值不等式确定C=见上等

424a-b

的范围，结合不等式性质找到最小数.

12.对于函数f(X)和g(x),设机<巾(X)=θ},"e{x∣g(x)=θ},若存在机，〃，使得∣"L”∣≤1,则称/(x)

和g(x)互为"零点关联函数”，若函数，(尤)=e"2+ln(X-I)-I与g(x)=x(lnx-5)-2互为"零点关联函数”,

则实数”的最小值是.

【答案】-2

【分析】首先根据函数/(x)=e*-2+ln(x-l)-1为单调递增函数，/(2)=0,得/(x)仅有唯一零点χ=2,结

合”零点关联函数”的定义得出函数g(x)=x(lnx-⑪)-2的一个零点为〃,则有∣2-”∣≤1,gpi≤n≤3,构造

函数用导数解决问题.

【解析】由函数/(x)=e"2+ln(x-l)T为单调递增函数，/(2)=0,得“力仅有唯一零点χ=2,

设函数g(x)=x(lnx-αv)-2的一个零点为〃，则有∣2-n∣Vl,即1≤"≤3,

所以由题知，g(x)=x(∣nx-困-2在［1,3］有零点，即方程乎-∙∣="在［1,3］有解，

构造函数MX)=Y-蛾，Zf(X)=…r4,

S(X)=X-XlnX+4,√(x)=-lnx<0,S(X)在［1,3］单调递减，S(X)≥s(3)>0,

所以xe［l,3］,A,(x)>O,MX)单调递增,且力(1)=-2,咐=孚-1

要使方程*-j="在［1,3］有解，则-2≤a≤迎|二，所以实数。的最小值是-2.

故答案为：-2.

二、单选题

13.在AABC中，"A>［"是"sinA>L，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合正弦函数的性质由sinA>g,可得[<A<等，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

2oo

【解析】在43C中，A∈(0,π),

由sinA>一,口J得2<4<~τ^，

266

所以"A>"是"sinA>[”的必要不充分条件.

O2

故选：B.

14.已知正方体ABCD-AgCP,则下列选项不正确的是()

A.直线AB与BC所成的角为60°B.ABIOB1

C.力81平面4CRD.βlC!β,D

【答案】D

【分析】运用作平行线求得异面直线所成角可判断A项，运用线面垂直判定定理及性质可判断B项、C项,

运用同一个三角形的内角不可能有两个直角可判断D项.

【解析】如图所示，

对于A项，如图，因为AB//.C,所以异面直线AB与BC所成的角为⑷CBl或其补角.

又因为“BCR为等边三角形，所以ZOCq=60。，故A项正确；

对于B项、C项，因为四边形ABCD为正方形，则AC180.

又因为，平面ABa),

所以BqJ.AC.

又因为BDU平面BBa881<=平面8Α。。，BDnBBl=B,

所以ACL平面阴口。.

又BQU平面BBQ。，

所以ACLOM.

同理：ADt±DB1,DBL

又ACU平面ACA,AAU平面ACR,ACIAD1=A,

所以。用，平面ACR,故B项、C项正确；

对于D项，EIOdiBCCg,

SDC±CBl,即：在SDCB1中，ZDCB1=90',

由三角形内角和可知，ZCBlE><90∖故D项错误;

故选：D.

15.己知x,yeR*,满足2x+y=2,贝IJX+J717的最小值为()

A.-B.-C.1D.

553

【答案】B

【分析】先求出点。关于线段2x+y=2的对称点C的坐标，且有JX?+y2=IPOI=IPCI.根据几何意义,结

合图象，即可得出取最小值时，点P的位置，进而得出答案.

【解析】

如图，过点。作点。关于线段2x+y=2的对称点C,则IPOHPcI.

%∙X(-2)=-18

Au

设C(XO,%),则有，,解得∙所以C

2×⅛⅛=2

+3

22

设P(XM,则IPOl=JX2+>2,所以"77=∣PQI=IPCI,

又x,),eR+,所以点尸到y轴的距离为X,

所以，X+正。可视为线段2x+y=2上的点P(x,y)到y轴的距离和到C(K)的距离之和.

过P作PQ_LX轴，显然有Ipq+1PCI≥∣cq,当且仅当C,P,。三点共线时，和有最小值.

过点C作C"，X轴，则∣α∕∣即为最小值，CH与线段AB的交点片，即为最小值时产的位置.

因为ICM=2，所以x+而17的最小值为；

故选：B.

16.已知一42&（〃=1,2,3,.）是直角三角形，A,是直角，内角4也,C“所对的边分别为凡也,ς,,面积为

S..若4=42=3/*=*产，4+1=应宜，则下列选项错误的是（）

A.｛$2“｝是递增数列B.K2,,j是递减数列

C.数歹I」也-%｝存在最大项D.数列｛d-C,,｝存在最小项

【答案】B

【分析】根据已知条件可得矶=4,即得k+d=25,由Se=得5；=尊-当Xkr，由数

21616∖9J

列的单调性可判断选项A,B;由关系式可得"=Jg+gχ"“’,.从而可判断

数列也-c4的最大项和最小项.

【解析】由题意知"+C；,所以点=⅛+l+襦==2。,所以=屋，即矶=4,

所以”,用=6=",ι==%=q=5,贝IJa：=.；+c：=25,故%∣="灯；）；Cg.,点=%翼；％=之寸”.,

由！=为"得（2S,,jW.乎2夕+25忆）+儒,

即Os,,"=丝至产£,所以跖吟+.，则喘-磊中年《），而

5423249

'44××-⅞T?

故s,γ-≡×r->ι-≡×r

所以双=空-yXaʃ,由于随着〃的增大而减小，

所以SM=与-与XITr'随着〃的增大而增大,

1616∖9J

由题意可知与”＞。，所以数歹U｛$2,,｝是递增数列，故选项A正确;

同理氏T=当-当XkY-随着«的增大而增大,数列N1是递增数歹U,

1616∖9J

故选项B错误；

一Cj-b：-c；,由于“+1+廉|=25/；+4=25,且环—：=7,所以数列轨”c：｝是首项为

又唱

“333

,结合，+d=25,”>0,c,,>0,可以解得

,(ZeN*)随着的增大而增

大，所以数列他I-C•”_｝(%∈N*)随着k的增大而减小，故々为数列也一％｝(%∈N*)中所有正项中最大

的，同理数列｛%eN*)随着k的增大而增大，故H-C2为数列色-%泯eN*)中所有负项中最小

的.综上所述，数列｛〃-q,｝仅eV)的最大项为4-q,最小项为4-C2.故选项C,选项D均正确.

故选：B.

【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时

要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.

三、解答题

17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=AAt=4,Aβ=5,点。为AB的中点.

C1

⑴求证3。口平面4。4；

⑵求二面角At-CD-Bl的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）确定ACIBC,ACLCG得到4CL平面BCGBI,得到AC,Be∣,再根据BCl_LBC得到线

面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面ACC和平面BC。的法向量，根据向量的夹角公式计

算得到答案.

【解析】（1）AC=3,BC=4,AB=5,则AC?+BC?=AB?,所以AC人8C,

CG，平面ABC,且ACU平面ABC,则AC,CG

BCCCq=C,BC,CGu平面BCe向，故AC平面SCC田，

又BGU平面BCG耳，所以4CLBC∣,

由于四边形8CC4为正方形，所以BC，

ACnBlC=C,4。,&（7（::平面4（?片，故BGI.平面ACB一

（2）以C为原点，C4为X轴，CB为了轴，CG为Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

可知C(0,0,0),4(3,0,4),DlS(0,4,4),

8=[∣,2,θ),C41=(3,0,4),CB1=(0,4,4),

3

/、n∙CD=-x+2γ=0

设％=α,*,zj为平面ACQ的法向量，l21,

π1CA1=3x1+4z1=O

令石=4,可得力=(4,-3,-3)；

z.n2-CD=-X2+2y2=O

设”=(Z，必，Z2)为平面MCO的法向量，2

n2CBl=4y2+4z2=0

令士=4,可得%二(4,-3,3),

J6ɪɪ

所以，

CoS8"J=HL=34^17,

Q

又因为二面角A-CQ-4为锐角，故二面角A-co-q的余弦值为与

18.已知正项数列｛4｝,其前〃项和为5.，35,,=4¾-l（n∈N∙）.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）设〃=3（〃+笳+1）,求证：数列抄“｝的前〃项和北（J

【答案】⑴凡=4"-∣（n∈N∙）

⑵证明见解析

【分析】（1）由S,与%的关系计算即可求得通项；

（2）利用裂项相消可得（=:（3-不菅），利用单调性即可证明.

【解析】（1）因为当“=1时，4=1,

当〃≥2时，有3S,τ=4αzlτ-l,又3SΛ,=M,-1,

两式相减得3《,=4<zn-40,,.l,则有all=4απ.l,

所以数列｛%｝是以1为首项、4为公比的等比数列.

所以数列｛%｝的通项为《=4"T,（n∈N∙）.

（2）由（1）矢口数歹∣J｛4｝的前"项和S,,=欠二！，

b=______⅛______=_______£_______Jp________

,|(¾+2)×3(S,,+l)(4^-'+2)×(4,,+2)314^+24,'+2j

所以(=a+d++bn

irp___QP___0.,,0___L)]

=3[U0+24'+2；+14∣+242+2J++∣,4,'^l+24π+2jj

易知4"+2e[6"),贝岛U故患篇)'

所以数列他,｝的前〃项和

19.下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量x(4≤x≤20,xeZ)(件)与相应的生产成本V(万元)

的四组对照数据.

X46810

y12202884

⑴试建立X与y的线性回归方程；

⑵研究人员进一步统计历年的销售数据发现.在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化.经分析,

每件产品的销售价格夕（万元）是一个与产量X相关的随机变量，分布为

qIoo-X90T80—%

ɪɪ

Pɪ

4^24

假设产品月利润=月销售量X销售价格一成本.（其中月销售量=生产量）

根据（I）进行计算，当产量X为何值时.月利润的期望值最大？最大值为多少？

【答案】⑴y=—X—~（X∈[4,2θ],%∈Z）

（2）x=20时，月利润的期望值最大，最大值为雪.

【分析】（1）由线性回归方程计算公式可得答案；

（2）由题可得月利润的期望值表达式/（x）,后由/（x）单调性可得答案.

λZxiyi-4xy

【解析】(I)设X与y的回归方程为；=ix+。，则Z=上=——

£¥-4x

r=l

4—1

又∑κ∕=48+120+224+840=1232,χ=-(4+6+8+10)=7,

i=l4

14

I=L(12+20+28+84)=36,^x,2=16+36+64+100=216.

4/=I

∑%%-4xy

λ1232-4×7×3656^—λ—56212

则b=ʒ..............——.a=y-bx=36-1γ×7=...-,则回归方程为:

216-4X49

∑Λ2-4X

/=I

y=X-(X∈[4,2θ],X∈Z).

（2）设月利润的期望值为/（x）,则由题可得:

/

(X

\

嘤则/（X）在［4,20］上单调递增,

55

则当X=20时，〃x）最大，/（x）rχ=/（20）=

即X=20件时，月利润的期望值最大，最大值为等万元

20.已知椭圆C：：+>2=ι（r>ι）的左、右焦点分别为％K，直线/：y=丘+〃?（机HO）与椭圆C交于欣

N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E

⑴当Z=2时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△人耳乙的周长;

⑵当f=3且直线/过点。（T,0）时，设EM=2OM,EN=μDN,求证：几+“为定值，并求出该值；

⑶若椭圆C的离心率为白，当k为何值时，|QM『+|ON/恒为定值；并求此时ZXMQV面积的最大值.

【答案】（l）2√Σ+2

（2）证明见解析，λ+μ=3

⑶左=±g;1

【分析】（I）八46鸟的周长为2∙+2c∙,计算得到答案.

（2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到2+"=ξ⅛∙+∙⅛,

人］ILʌɔI1

代入化简得到答案.

（3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到妹2_i=o,计算点到

直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值.

【解析】（1）当f=2时，椭圆C：y+∕=l,△然6的周长为IA娟+∣AR+寓用=20+2；

（2）当t=3且直线/过点仇TO）时，椭圆C：y+√=l,直线斜率存在，y=Z（x+l）,

联立，了+y=I,消去y得：(3严+l)χ2+6廿x+3d-3=0,

J=&(x+l)

△=(6/7-4(3公-3乂3左2+1)=24左2+12>0恒成立，

6k1

=

ɪl÷X2-----；----

设Ma，乂)，N(X2,当)，则,2"+1，

JKɔ

由EM=/IOM,EN="ON,点E的横坐标为0,

考虑向量横坐标得到X=2(Λ+1),x=χ∕(x+l),从而丸+〃=^+,

122.V∣I1X。+1

------ɔ------H2

11x+X+2

λ+μ=2———+—1223.+1

(百+1x+i)xx+x+x+13/-36公

212l2—ɔ----------ʒ—+1

3fc2+l3⅛2+l

2

=2一三=3,所以场〃为定值3；

y=kx+m

(3)e=等ɪ=*,解得f=4,故椭圆方程9+V=1,联立,

2

X，1'

一+v-=1

4

消元得(4标+1)犬+8knx+4>-4=0,

Δ=CAk2m2-16(4Z:2+l)(w2-1)>O,Bp4⅛2-w2+l>0,

-Shn2

设，贝∣4m-4

Ma,χ),N(X2,%)!]X+X2=4fc2+l'ʌ'ʌ2-4⅛2+l

贝IJlOΛ/12+1ON∣2=x；+1一手+x；+1_号=2+q［（4+%）2_2不马］

_2+24］波-6/+24公+6_2+6—（4G-1）+60/+1）

（4%，+I）*（4/2+I）。

当IoMI2+10N『为定值时，即与疗无关，故4∕τ=0,得及=土；，

22tn2

此时IMNI=∖∣k+ɪʌʃ（ɪ,+ɪɔ）-4XIX2=4，公+1X彳=ʌ/ʒ×√2-m

,∖m∖2∣∕n∣

又点。到直线/的距离d=请UT='，

2r

所以SAMON=gXdxIMN∣=∣m∖yjl-m<"―1——=1»

当且仅当∣小∣=√Ξ二7，即m=±1时，等号成立,

经检验，此时A>0成立，所以AMON面积的最大值为1.

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力，转

化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，

是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握.

21.已知函数/(x)=lnx-,nx+"K,"∈R).

(1)求F(X)的单调区间；

(2)若/