北师大版高一数学必修第二册第六章复习及测试题

北师大版高一数学必修第二册第六章复习及测试题第六章立体几何初步【知识梳理】1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31.平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).空间中的平行关系1.平行直线(1)平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b3.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b空间的垂直关系1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列几何体是旋转体的是()①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④答案A2.已知在边长为1的菱形ABCD中,A=π3,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(A.32 B.34 C.66解析在菱形ABCD中,AB=1,A=π3,则菱形的面积为S菱形ABCD=2S△ABD=2×12×1×1×sin所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S=24S菱形ABCD=6答案D3.设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是()A.43π B.C.43π D.323π解析设正方体的棱长为a,由题意可知,6a2=24,所以a=2.设正方体外接球的半径为R,则3a=2R,所以R=3,所以V球=43πR3=43π答案C4.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有以下四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A.①② B.③④ C.②④ D.①③解析若α∥β,l⊥α,则l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,故①正确;若α⊥β,l⊥α,m⊂β,则l与m可能异面,所以②不正确;若l∥m,l⊥α,则m⊥α,又m⊂β,则α⊥β,所以③正确;若l⊥α,l⊥m,m⊂β,则α与β可能相交,故④不正确.综上可知,选D.答案D5.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故选答案A6.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“禾盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为(A.15750 B.258 C.237解析设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长L=2πr,所以r=L2π,所以V=13πr2令L2h12π=7264L2h,得答案D7.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”,下列四个命题:①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是()A.①③ B.③④ C.①② D.①④解析由“垂直于同一直线的两个平面平行”知,①是“可换命题”;由“垂直于同一平面的两平面未必平行”知,②不是“可换命题”;由“平行于同一平面的两个平面平行”知,③是“可换命题”;由“平行于同一平面的两直线未必平行”知,④不是“可换命题”.综上所述,故选A.答案A8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30° B.60° C.90° D.120°解析如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.因为M为A'C的中点,所以MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM所以∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.因为AC=1,MC=MA=22,所以∠CMA=90°,故选C答案C二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.下列四个命题中,是真命题的有()A.若直线a,b互相平行,则直线a,b确定一个平面B.平行于同一条直线的两条直线互相平行C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面解析C项中,若两直线无公共点,这两直线平行或异面.其他选项正确.答案ABD10.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题不正确的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,A错;因为l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又因为l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,B对;例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选ACD.答案ACD11.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90°D.ON⊥PB解析连接BD(图略),显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确;由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.故选ABD.答案ABD12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9D.点C与点G到平面AEF的距离相等解析因为AD1∥EF,平面AEF即平面AEFD1,所以AD1∥平面AEFD1,故DD1与AF不垂直,故A错误.因为A1G∥D1F,A1G⊄平面AEFD1,DF⊂平面AEFD1,所以A1G∥平面AEFD1,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为98,故C正确.点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.故选BC答案BC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于cm,圆柱的体积是cm3.

解析设圆柱的底面圆的半径为rcm,则S圆柱表=2πr·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5cm.圆柱的体积V=52π×8=200π(cm3).答案5200π14.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是.

解析因为EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β,a⊂平面β,所以EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB,所以a∥l.答案平行15.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.

解析取AB的中点E,连接PE,EC.因为PA=PB,所以PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABC.连接CE,所以PE⊥CE.因为∠ABC=90°,AC=8,BC=6,所以AB=27,PE=PACE=BE2+BC2答案716.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.

解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).答案118.8四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在三棱锥A-BCD中,E,H分别是线段AB,AD的中点,F,G分别是线段CB,CD上的点,且CFBF=CG(1)四边形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.证明(1)因为E,H分别是边AB,AD的中点,所以EH∥BD,且EH=12BD又因为CFBF=CGDG所以FG∥BD,且FG=13BD,因此EH∥FG且EH≠FG,故四边形EFGH是梯形(2)由(1)知EF,HG相交,设EF∩HG=K,因为K∈EF,EF⊂平面ABC,所以K∈平面ABC,同理K∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,故EF和GH的交点在直线AC上.所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.18.(12分)如图,矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.(1)求证:平面AMB∥平面DNC;(2)若MC⊥CB,求证:BC⊥AC.证明(1)因为MB∥NC,MB⊄平面DNC,NC⊂平面DNC,所以MB∥平面DNC.因为AMND是矩形,所以MA∥DN.又MA⊄平面DNC,DN⊂平面DNC,所以MA∥平面DNC.又MA∩MB=M,且MA,MB⊂平面AMB,所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为AMND是矩形,所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN,且平面AMND∩平面MBCN=MN,所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN,所以AM⊥BC.因为MC⊥BC,MC∩AM=M,所以BC⊥平面AMC,因为AC⊂平面AMC,所以BC⊥AC.19.(12分)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中,∠MAB=90°,AB=AD,A1B1=A1D1.(1)证明:直线BD⊥平面MAC;(2)已知AB=1,A1D1=2,MA=3,且三棱锥A-A1B1D1的体积V=233,(1)证明由题意可知,平面ABM与平面DCP是底面为直角三角形且侧棱与底面垂直的棱柱,所以AD⊥平面MAB,则AD⊥MA.又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD,所以MA⊥平面ABCD,所以MA⊥BD.又AB=AD,所以四边形ABCD为正方形,得BD⊥AC.又MA∩AC=A,MA,AC⊂平面MAC,则BD⊥平面MAC.(2)解设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h,则三棱锥A-A1B1D1的体积V=13×12×2×2×h=23故该组合体的体积V=12×1×3×1+13(12+22+12×20.(12分)如图①所示的等边△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠,使平面ADC⊥平面BDC,如图②所示.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比.解(1)平行.理由如下:因为E,F分别为AC,BC的中点,所以AB∥EF,因为AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AB∥平面DEF.(2)以DA,DB,DC为棱补成一个长方体,则四面体A-DBC的外接球即为长方体的外接球.设球的半径为R,则a2+a2+3a2=(2R)2,所以R2=54a2于是球的体积V1=43πR3=556π又VA-DBC=13S△DBC·AD=36a3,VE-DFC=13S△DFC·12AD=324a21.(12分)如图,三棱柱ABC