4.1 因式分解 浙教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)

第4章因式分解单元大概念素养目标单元大概念素养目标对应新课标内容会用提公因式法因式分解能用提公因式法进行因式分解(指数为正整数)【P55】会用公式法因式分解能用公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)【P55】4.1因式分解基础过关全练知识点1因式分解的定义1.(2023浙江绍兴诸暨期末)下列各等式从左到右的变形中,是因式分解的是()A.(3-x)(3+x)=9-x2B.8x=2×4xC.x2+4x+4=(x+2)2D.x2-2x+1=x(x-2)+12.(2023山东济宁中考)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是()A.(a+3)2=a2+6a+9B.a2-4a+4=a(a-4)+4C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)3.根据如图所示的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:.

4.【新独家原创】多项式x2-2024x+n可分解为(x-2023)(x+m),那么n的值为.

5.【教材变式·P99例题】检验下列因式分解是否正确.(1)3x3y-3xy3=3xy(x+y)(x-y);(2)2a2-4=(2a+2)(2a-2);(3)x2-3x+2=(x-1)(x-2).知识点2利用因式分解进行简便运算6.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,下列正确的是()A.99×(57+44)=99×101=9999B.99×(57+44-1)=99×100=9900C.99×(57+44+1)=99×102=10098D.99×(57+44-99)=99×2=1987.利用因式分解简便计算:7.292-3.712=.

能力提升全练8.【易错题】下列从左到右的变形中,是因式分解的有()①2x2y=4x·6xy;②x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;③x4m+xm=xm(x3m+1);④x2+1=xx+⑤x2-9y2=(x+3y)(x-3y).A.1个B.2个C.3个D.4个9.若4x2+mx+1=(2x-1)2成立,有下列说法:①从左到右的变形是因式分解;②从左到右的变形是整式的乘法;③m=4.其中正确的说法是()A.①B.②C.③D.①③10.(2023浙江宁波镇海一模,6,★★☆)如果x3+ax2+bx+8能被x2+3x+2整除,则ba的值是(A.2B.12C.3D.11.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则a+b=.

12.仔细阅读下面的例题,并解答问题:例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式及m的值.解法一:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n),∴x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴n+3=-4,m∴另一个因式为x-7,m的值为-21.解法二:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n),当x=-3时,x2-4x+m=(x+3)(x+n)=0,即(-3)2-4×(-3)+m=0,解得m=-21,∴x2-4x+m=x2-4x-21∵(x+3)(x-7)=x2-4x-21,∴另一个因式为x-7,m的值为-21.问题:请用两种方法解答下列问题.已知多项式x2-4x+■中,常数项被墨迹污染了,只知道因式分解后有一个因式为x-3,求另一个因式及■的值.13.要将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),请求出原多项式.14.研究下列算式,你发现了什么规律?1×3+1=4=22,2×4+1=9=32,3×5+1=16=42,4×6+1=25=52,……将你发现的规律用字母n表示出来,并利用规律计算下列算式:(1)99×101+1;(2)2023×2025+1.素养探究全练15.【运算能力】[提出问题]你能把多项式x2+5x+6因式分解吗?[探究问题]如图1所示,a,b为常数,由面积相等可得(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用就可以对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).观察多项式x2+(a+b)x+ab发现,其特征是二次项系数为1,常数项为两数之积,一次项系数为这两数之和.[解决问题]x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+3)(x+2).[运用结论](1)[基础运用]把多项式x2-5x-24进行因式分解.(2)[知识迁移]对多项式4x2-4x-15进行因式分解时还可以这样思考:如图2,将二次项4x2分解成2x与2x的乘积,再将常数项-15分解成-5与3的乘积,图2中两条对角线上式子的乘积的和为-4x,即4x2-4x-15的一次项,所以4x2-4x-15=(2x-5)(2x+3),这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”.请用十字相乘法对3x2-19x-14进行因式分解.图1图2

答案全解全析基础过关全练1.CA.从左到右的变形是整式的乘法,不是因式分解;B.8x不是多项式,故本选项不符合题意;C.把一个多项式转化成几个整式的积的形式,是因式分解;D.没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式,不是因式分解.故选C.2.C选项A、B的右边都不是积的形式,不是因式分解,故不符合题意;C.右边=5a(x2-y2)=5ax2-5ay2=左边,故符合题意;D.右边=a2+2a-8≠左边,故不符合题意.故选C.3.答案x2+2x+4x+8=(x+4)(x+2)解析由题图得x2+2x+4x+8=x2+6x+8=(x+4)(x+2).4.答案2023解析∵(x-2023)(x+m)=x2+mx-2023x-2023m=x2+(m-2023)x-2023m,∵x2-2024x+n=(x-2023)(x+m),∴x2-2024x+n=x2+(m-2023)x-2023m,∴m-2023=-2024,n=-2023m,∴m=-1,n=2023.5.解析(1)因为3xy(x+y)(x-y)=3xy(x2-y2)=3x3y-3xy3,所以因式分解3x3y-3xy3=3xy(x+y)(x-y)正确.(2)因为(2a+2)(2a-2)=4a2-4≠2a2-4,所以因式分解2a2-4=(2a+2)(2a-2)不正确.(3)因为(x-1)(x-2)=x2-3x+2,所以因式分解x2-3x+2=(x-1)(x-2)正确.6.B57×99+44×99-99=99×(57+44-1)=99×100=9900.故选B.7.答案39.38解析7.292-3.712=(7.29+3.71)×(7.29-3.71)=11×3.58=39.38.能力提升全练8.B③⑤中,等号左边是多项式,右边是几个整式的积的形式,符合因式分解的定义,且等号两边相等,故选B.9.A若4x2+mx+1=(2x-1)2成立,则4x2+mx+1=4x2-4x+1,∴m=-4,故③错误;①将一个多项式转化成几个整式的积的形式叫因式分解,故①正确;②从右到左的变形是整式的乘法,故②错误.故选A.10.A∵x3+ax2+bx+8能被x2+3x+2整除,∴x3+ax2+bx+8=(x2+3x+2)(x+m)=x3+(3+m)x2+(2+3m)x+2m,∴3+m=a,2+3m=b,2m=8,∴ba=2.故选11.答案15解析甲看错了b,但a是正确的,他分解的结果为(x+2)(x+4)=x2+6x+8,∴a=6.同理,乙看错了a,但b是正确的,他分解的结果为(x+1)(x+9)=x2+10x+9,∴b=9,∴a+b=15.12.解析解法一:设另一个因式为x+n,则x2-4x+■=(x-3)(x+n),∴x2-4x+■=x2+(n-3)x-3n,∴n-3=-4,-3n=■,解得∴另一个因式为x-1,■的值为3.解法二:设另一个因式为x+n,则x2-4x+■=(x-3)(x+n),当x=3时,x2-4x+■=(x-3)(x+n)=0,即32-4×3+■=0,解得■=3,∵(x-3)(x-1)=x2-4x+3,∴另一个因式为x-1,■的值为3.13.解析设原多项式为ax2+bx+c(其中a、b、c均为常数,且abc≠0).∵一位同学看错了一次项系数,∴二次项系数和常数项是正确的,2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18,∴a=2,c=18.同理,另一位同学看错了常数项,∴二次项系数和一次项系数是正确的,2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16,∴b=-12.故原多项式为2x2-12x+18.14.解析规律:n(n+2)+1=(n+1)2(n为正整数).(1)