南华大核反应堆物理讲义第5章 栅格的非均匀效应

南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材第五章栅格的非均匀效应在第四章中，我们讨论了均匀堆的临界扩散计算。在均匀堆中，燃料和慢化剂是均匀混合在一起的，例如，把铀和慢化剂制成铀盐溶液，因而在均匀系统内各处都具有相同的物理系数，如宏观截面、扩散系数等。但是，由于热工-水力、机械工程、堆物理、经济性等方面的原因，目前的动力反应堆几乎都是非均匀的，世界上建成的第一个反应堆也是非均匀的。在非均匀堆中，把燃料制成块状，如圆柱状（棒状）、环状、球状、片状（平板状）等，按一定的几何形式放置在慢化剂中，构成所谓栅格结构的堆芯。最常见的栅格结构是由棒状燃料构成的正方形栅格和三角形栅格（见图5-1）。通常，把组成栅格结构的基本单元叫做栅元，如正方形栅元和六角形栅格（见图5-1）。栅元的形状、燃料棒直径和燃料的之间的间距——栅距和包壳材料厚度等统称为栅格参数。在非均匀栅格中，各个子区（燃料、慢化剂等）具有不同的宏观截面和核参数，这就给计算带来许多困难。本章讨论反应堆堆芯内栅格的非均匀效应及均匀化问题。并介绍栅格的热中子利用系数，逃脱共振吸收几率和快中子倍增因子的计算方法。1．栅格的非均匀效应概述在非均匀堆内，由于燃料和慢化剂的吸收截面以及其它和性质显著地不同，燃料和慢化剂内的中子通量密度分布也就显著地不同，即使是一个无限大的非均匀堆，栅格内中子通量密度的空间分布也是不均匀。图5-2给出了裂变中子、共振中子和热中子三种不同能量的中子在燃料和慢化剂内的分布。先看热中子的分布（见图5-2中曲线1）。由于燃料的慢化能力比慢化剂的小得多，裂变中子主要在慢化剂内慢化，因而，热中子主要在慢化剂内。产生。另一方面由于燃料对热中子的吸收截面比慢化剂的大得多，热中子主要被燃料核吸收，因此，形成从慢化剂流向燃料块的热中子流。热中子进入燃料块后，首先为块外层的燃料核所吸收，造成燃料块里层的热中子通量密度比外层的要低，结果使燃料块里层的燃料核未能充分有效地吸收中子，就是说，块外层燃料核对里层燃料核起了屏蔽作用，通常把这种现象叫做空间自屏效应。正是这种空间空间自屏效应，在燃料和慢化剂核子数比值相同的条件下，非均匀结构使燃料吸收热中子的能力下降，亦即使热中子利用系数减小。这是非均匀堆的一个缺点。另一方面，同样由于空间自屏效应，燃料核吸收共振中子的能力也下降了。这是因为共振中子主要在慢化剂内产生、而后入射到燃料块上，故首先为块表层的燃料核所吸收，而燃料核的共振吸收截面很大，所以在燃料块内共振中子通量密度（图5-2中曲线2）降的更为急剧。例如，铀-238核对能量E为6.7电子伏的中子的吸收截面σ“是7000靶，这种能量的中子穿入铀块后，基本上在铀块表层全部就被吸收了。而热中子在铀块内的平均自由程约为0.003×10−2米，也就是说，这种能量的中子穿入铀块后，基本上在铀块表层全部就被吸收了。而热中子在铀块内的平均自由程约为2.5×10−2米，由此看出，对共振中子来讲，空间自屏效应是非常强烈的。此外，裂变中子主要是在慢化剂内慢化的，对于非均匀堆，尤其是当燃料块之间的间距足够大时，慢化到共振能量的中子与燃料核碰撞的几率就要比均匀系统的小，相对地讲，就是与慢化剂核碰撞的几率加大了。与慢化通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材剂核碰撞后，中子能量往往就直接降低到共振能量以下了，这就使的中子在慢化过程中有比较大的几率逃脱共振吸收。由于存在着这两个方面的原因（其中空间自屏效应是主要的就减少了燃料块对共振中子的吸收，而使逃脱共振几率增加，这是非均匀堆的一个主要优点。最后考虑快中子在栅格内的分布。在裂变中子中大约有60%的中子具有1.1兆电子伏以上的能量，具有这样的能量的中子与铀-238核相碰时，就有可能引起铀-238核裂变。燃料制成块状后，裂变中子在燃料块内产生，它在飞出块以前就可能与铀-238核碰撞，亦即增加了铀-238核快中子裂变的几率，而每次铀-238核裂变平均要释放出两个以上的快中子，结果使快中子倍增效应增加，亦即使快中子倍增系数增大。由于飞出燃料块的裂变中子在慢化剂内被慢化，因此，一般地讲，1.1兆电子伏以上的快中子通量密度分布如图5-2中曲线3所示，燃料块内的平均中子通量密度比慢化剂内的要高。综合上述可知，栅格内的中子通量密度分布是不均匀的。空间自屏效应对热中子的利用是不利的，但却对逃脱共振吸收有利。通过合理地选择燃料块的直径或厚度、燃料之间的间距（通常叫做栅距可使热中子利用系数与逃脱共振几率的乘积增加，亦即使无限介质增殖系数增加。例如，在1943年前后，当时可用做核燃料的只有天然铀，可用做慢化剂的有轻水和石墨。分析表明，由天然铀和轻水所组成的装置是不可能达到临界的，由于轻水的吸收截面比较大；同样，由天然铀和石墨所组成的均匀系统，无论怎样选择它们相互间的核子数之比，也都无法使无限介质增殖系数大于1，可达到的最大值约为0.85。因而天然铀-石墨均匀系统也是不可能达到临界的。但是，进一步分析表明，若将天然铀制成棒状，插入石墨块形成非均匀栅格结构，此时虽然热中子利用系数减少了，但却使逃脱共振几率增加了，如果设计得当，可以使无限介质增殖系数大于1，就是说，天然铀-石墨非均匀系统所做的分析是正确的。这就是为什么世界上第一个建成的反应堆是非均匀的原因。因此在有足够的富集铀（或重水）之前，建成的所有反应堆都是天然铀-石墨非均匀堆。上述因栅格的块结构所引起的效应，以及由其所产生的各种参数的变化，通常叫做非均匀效应，亦叫做块效应。在计算非均匀堆的参数时必须加以考虑。2.栅格的均匀化处理2.1栅格的均匀化在非均匀堆内，可以将中子通量密度的分布（如图5-3所示）看成是由两部分中子通量密度叠加而成的，一部分是沿整个堆变化的宏观的中子通量密度分布，另一部分为栅元内精细的中子通量密度分布。在堆为有限大小时，栅元交界面上的净中子流一般并不等于零。但是，如果堆内燃料块的数目足够大时，例如在一个电功率90万千瓦的压水堆内有4万多根燃料棒，亦即有4万多燃料栅元，那末，如略去栅元中子通量密度的起伏，宏观上看，非均匀堆内的中子通量密度分布和均匀堆内的相同（见图5-3）。因此，在实际计算时，均把非均匀堆先等效成一个均匀堆，然后进行等效均匀堆的能谱和临界计算。这样，前面几章所讨论的有关均匀堆的能谱计算、临界计算等理论和方法就可用于非均匀堆。但在这种等效均匀堆的参数时，它的有效截面或有效群常数，必须是考虑了栅元的非均匀效应后所得到的。即在计算各个能群的群常数时，都必须考虑到非均匀效应的影通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材响。因此，非均匀堆的计算分成两步进行：（1）计算非均匀栅格的物理参数，在计算这些参数时必须考虑到非均匀效应——这是本章要着重讨论的问题。（2）把非均匀系统等效成一个均匀系统，这个均匀系统具有上述考虑到了非均匀效应的物理参数或群常数，然后采用前几章所述的均匀堆的理论来计算能谱、临界大小、中子通量密度或功率分布等等。这样的处理方法叫做非均匀堆的均匀化处理。进行均匀化处理是所依据的原理是：均匀化后单位栅元的各种核反应的核反应率应与原非均匀栅元的保持相等。由此可见，非均匀反应堆临界计算的关键，在于考虑栅格的非均匀效应，求出等效均匀系统的有效截面和有关均匀化参数。2.2均匀化有效截面的计算在栅格的均匀化计算中，通常是取出一个代表性栅元来进行研究，由这个栅元计算所得到的物理参数或群常数就被看作为栅格中所有同类栅元的物理参数。根据上述核反应率保持相等的条件，等效均匀化系统内第I种元素核的吸收、裂变和散射等有效宏观截面由下式定义：<Σ>=单位时间应的次数（5-1）式中，x=a、f、s,分别表示吸收、裂变、散射；〈〉表示等效均匀系统的参数。在某一能群内，如在第g群内，∆Eg=Eg−1−Eg，第I种元素的x反应的有效宏〈Σ,g式中，V为栅元体积，Ni(r)为空间r处第i种元素的核密度，σ为第I种元素与中子发生x反应的微观截面。若栅元内的中子通量密度φ（r,E）可以表示成φ（r,E）=φ（r）ϕ(E),且认为栅元内各个区的中子能谱是相同的，则（5-2）式简化成Eσ(E)ϕ(E)dE〈Σ,g式中，N为第j区内第I中元素的核密度。定义通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001iσ(E)ϕ(E)dEσx,g≡ϕ(E)dE为第i中元素核的第g群x反应的平均微观截面。同时定义j为第j区内的平均中子通量密度。j=∫Vjφ(r)dV利用（5-4）和（5-5）式，将（5—3）简化成〈Σ,g而栅元的有效宏观截面为（以下为简便起见，略去群的标号g）〈Σx将（5—6）式代入（5—7）式，同时注意到j区的宏观截面Σx,j=Nσ〈Σxx,j−式中，V为栅元体积，φ为栅元的平均中子通量密度=r)dV（5—9）根据（5—7）和（5—6）式，栅元有效宏观截面〈Σx〉也可写成下面工程计算中常用的形式〈Σxiσgi（5—10）式中Ni为单位栅元体积内第I种元素的核子数，Ni=NVj/V，gi称为I种核gi（5—6）、（5—8）和（5—10）式便是均匀化栅元各通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001公式。对于均匀系统，对所有区φj/φ等于1，那么gi=1，因而（5-6）、（5-8）和（5-10）式便与均匀堆的一样了，这是可以预见的事。可以看出，均匀化计算的关键问题在于正确地求出非均匀栅元内各区的中子通量密度分布，这将在本章第3节和第4节以及下册有关章节中给予讨论。对于共振吸收效应，根据第三章第3节的讨论，表征共振吸收部分的群截面为N0ΣIeff,jN0ΣIeff,jln(Eg−1−Eg)Ugln(Eg−1−Eg)Ug式中i∈g表示对g能群内的所有共振峰求和，而总的吸收截面将等于共振吸收〈ΣaΣa0Σres〉但要注意到，实际上由于栅元内各区的材料和吸收截面及其核性质的不同，各区内的中子能谱是不同的，尤其是热中子的空间能谱分布。因此中子通量密度的能量、空间变量不能分离。即不能表示成φ（r,E)=φ(r)ϕ(E)的形式。所以，上面介绍的方法是一种近似处理办法。为了得到更精确的结果，必须直接求出热中子的φ（r,E)分布。目前往往应用输运方法，例如，碰撞几率法或Sn方法，求出栅元内热中子的φ（r,E)的分布或快中子和热中子的φ（r,E)的分布。这将在下册通常，轻水反应堆的堆芯是由燃料组件组成的，燃料组件内一般还包括燃料以外的其它一些材料，如构成控制棒、可燃毒物棒和测量导管等部件的材料。这时在对各种栅元作均匀化处理后，尚须进行以燃料组件为单位的均匀化计算（见图5-4以求得燃料组件的均匀化有效截面，然后才能用这些有效截面进行临界计算，求出堆内中子通量密度或功率分布等。因为，堆芯换料设计时往往是以组件为单位进行临界和燃耗计算的。燃料组件均匀化和栅元均匀化一样，一般要以组件为单位进行二维扩散或输运计算，求出组件内的中子通量密度分布φg(x,y)然后以此通量密度做权重函数类似（5-6）式那样求出组件的热群或少群的有效截面。应该指出，在非均匀堆内，特别是在石墨气冷反应堆内，中子沿平行于燃料块方向和沿垂直于燃料块方向的扩散或输运是不一样的。因此，在非均匀堆内，扩散系数是和方向有关的量，精确计算扩散系数是应考虑这个问题。由前面分析知道，中子能量不同，所产生的非均匀效应也是不同的。下面分别讨论热中子能区、共振中子能区和快中子能区内中子的非均匀效应，目的在于通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材求得这些能量中子的有效截面或有效群常数。应当指出，对于快中子，由于其平均自由程比较大，因而除共振吸收外其它的非均匀效应并不严重，一般近似地可以不加考虑而把系统当作均匀介质处理，而对于热中子及共振吸收，栅格的非均匀效应则是重要的而必须考虑的。3.扩散理论的应用，不利因子和热中子利用系数前面分析指出，栅元均匀化有效截面计算的关键在于精确求出各区的中子通量密度分布。在非均匀堆内，栅元内热中子通量密度的分布是不均匀的，如图5-5示。但是由于栅元中燃料块是强吸收中子的物质，严格讲，燃料块内以及燃料块周围2-3个中子平均自由程内，扩散理论是不适用的，或且说，对这些区域，扩散理论不能给出正确的中子通量密度分布。这也正是均匀化计算的困难所在。因而目前工程设计中通常要使用更精确的中子输运理论方法来计算，如求函数法、Sn方法、碰撞几率方法和蒙特卡罗方法等。其中以碰撞几率法和Sn方法在工程上应用比较广泛。遗憾的是，所有这些精确方法的计算都是非常繁的，并需借助于数值方法。尽管扩散理论在精度上不够理想，误差较大，但它却是最简单的方法，并可用解析方法求解在反应堆发展的早期，扩散理论广泛应用于栅元的热中子利用系数计算。因而对它的介绍与了解还是具有重要的意义。本节讨论应用扩散理论计算栅元内热中子通量密度的分布。3.1中子不利因子和热中子利用系数概念根据（5-8）式，栅元的有效截面可以写成〈ΣaΣx,f+ΣΣx,jjVj 式中，φj和φF分别表示第j中物质和燃料区内的平均中子通量密度[见（5-5）式]，Σx,j和Σx,F分别为第j以外所有物质进行的。为简单起见，若栅元只含燃料和慢化剂两种材料，则式中ζΣx,F+Σx,M(VMVF)ζMVF)ζ−−（5-16）通常把ζ叫做热中子不利因子，它表示栅元内热中子分布的不均匀性。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材下面讨论热中子利用系数的计算，根据其在第一章的定义，热中子利用系数f定义为栅元内燃料吸收的热中子数与栅元内被吸收的热中子总数之比，即燃料吸收的热中子数燃料、慢化剂、包壳……燃料、慢化剂、包壳……吸收的热中子总数FΣaFφ(r)dVFΣaFφ(r)dV+jΣa,jφ(r)dV−式中分母中的求和是对除燃料以外的所有区域进行的。若用φj表示第j中物质内热中子通量密度的平均值，则（5-17）式便写成M0(kMr)=I0(kMr)+K0(kMr)（5-29）DFr=a=DMr=a（5-30）式中a为铀棒半径。将（5-25）和（5-28）式代入（5-30）式，解后得=I0(kFa)−DF(a),A=IFaM1(kMa)−M0(kMa),式中，M1(kMa)=I1(kMa)−K1(kMa)（5-31）而=φ(r)dV=AF2πrI0(kFr)drπa2=（5-32）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001所以，热中子不利因子ζ为ζ=φMφFVΣ=F(ka)+VFΣa,F[E(kMa,kMb)FVΣ,MaM,式中F(kFa)=k)E(kMa,kMb)=根据（5-20）式，得热中子利用系数f为−1=F(kFa)+E(kMa,kMb)−1现在来分析一下ζ和f计算式中的F和(E-1)的意义。根据图5-5，可以把(5-20)式改写成a)，为燃料块表面上的热中子通量密度。由于空间自屏效应，燃料块内中子通量密度的分布是不均匀的，且φF(a)>。根据（5-25）和（5-32）式很容易证明F(kFa)就是燃料块表面上的中子通量密度与燃料块内的平均中子通量密度之比φF(a)F，它是反映燃料块自屏效应大小的一个量，通常叫屏蔽系数，并用F表示之。由此可见5-38）式右端的第一项是表示由于自屏效应——有时也称为块内效应所引起的燃料块内吸收的减小。再看（5-38）式右端第二项的物理意义。由于慢化剂的扩散系数总是有限值，因此慢化剂内的平均热中子通量密度总是大于慢化剂内表面上的通量密度，即M>φM(a)，由此可见5-38）式的第二项是由于慢化剂内中子通量密度分布不均匀所引起的附加吸收（有人称它为块外效应所产生的附加吸收）。把（5-38）式与（5-37）式比较可以看出，这个附加吸收就等于[E(kM,kMb)−1]，它是一个很小的值。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材用类似的方法求的板状和球状燃料块的F和（E—1）值。见表5-1。几何形状F平板kFacthkFaMMMM球Fk2a2FthkFak3M(b3−a3)MMMab3kFa−thkFa实际上，栅元内除燃料、慢化剂外还有包壳等。在这种多区的情况下，分析方法与上述相似。最常见情况栅元是由燃料、慢化剂和包壳三区组成。由于一般包壳厚度很小，而且吸收性很弱，因而可假设包壳内的中子通量密度φc等于常数并等于燃料棒的表面通量φF(a)或假设是线性变化。在第一种情况下，=φF=F(kFa),F(kFa)为屏蔽系数。这样对于具有包壳的栅元的热中子利用系数为−1=F(kFa)+F(kFa)+E(kMa1,kMb)−1（5-39）式中a1为包壳的外径，其它符号及含义均和（5-37）式相同。计算F(kFa)和E(kMa1,kMb)−1时需用到许多特殊函数值，比较复杂，可以采用下列近似式：2（5-41）式中，x=kFa,y=kMa1和z=kMa；a,a1和b分别为燃料棒、包壳和栅元的外半径，米；kj=1Lj,j=F，M。4*.用碰撞几率方法计算ζ和f严格地讲，用扩散理论计算燃料块内中子通量密度分布是不合适的，与输运理论算得的f值相比，用扩散理论算得的f值偏高（通常高1—2%）。但采用输运理论（如采用下册介绍的方法进行计算虽然精度提高，但工作量增大，且太繁杂。以下介绍一种便于计算且精度较高的计算ζ和f的方法，这种方法叫输运-扩散近似方法，简称A.B.H.方法，它把输运理论和扩散理论结合起来。在处理慢化剂内的中子行径时，仍采用扩散理论，但此时采用了应用输运理论修正的通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材边界条件；而在处理燃料块内中子行径时，则采用基于积分输运理论的碰撞几率方法。4.1碰撞几率在用碰撞几率方法计算非均匀效应时，经常要用到各种几率，现简介如下：（1）首次飞行逃脱几率P0它表示某区域（体积为V，表面积为S）内均匀、各向同性产生的中子未经任何碰撞而逃出该区域的几率。考虑体积内位置r处、沿Ω方向运动的中子。设l(r,Ω)为中子从r处沿Ω方子，未经任何碰撞逃出该区域的几率为exp[一Σtl(r,Ω)]，其中，Σt为总截面。设中子在V内均匀各向同性地产生，源强为Q，那么，在r处体积元dV内、Ω附近dΩ立体角内产生的中子数为dΩdVQ/4冗，在整个体积V内产生的中子未经任何碰撞逸出该体积的平均几率，用P0表示，则有PeΣtl(r,Ω)Qd(5-42)(5-42)eΣt(,Ω)dΩdVP0就叫做首次飞行逃脱几率。如果把V分成许多与Ω方向平行的长条体，它的长度为l，l亦叫弦长，它的横截面为(n.Ω)dS，n为外表面上的单位外法线矢量，则dV=n.ΩdSdl。将它代入（5-42）式，对dl进行积分后得PtV.Ω(1eΣtl)dΩdS（5-43）式的具体计算是相当繁杂的。对于圆柱、平板、球形系统，P0的计算结果已制成图、表（见图5-8、表5-2以便于使用。现在讨论两个极限情况：当体积V很小时，即Σtl<<1时，则P0=1；当PtV通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材式中−l叫平均弦长，对于圆柱体，（5-45）（5-45）−l=2a，a为圆柱体的半径。当介质体积V很大时，可以用(5-44)式计算P0。此外，当介质为黑体时吸收截面很大，记为Σa,∞,而Σ=Σ,所以Σl>>1，S1(5-46)(5-46)04VΣa,∞lΣa,∞根据上述两个极限情况，提出了下列计算P0的近似内插公式，称为魏格纳有理近似公式：0011+lΣt(5-47)(2)逃脱几率P它表示某区域（体积为V，表面积为S）内均匀、各向同性产生的中子最终逃出该区域的几率；它除包括上述未经碰撞而逸出的几率之外，还包括在体积内经受碰撞（包括多次碰撞）后最终逃出该区域的几率。也就是说，它应为首次飞行逃脱几率与在该体积内各次碰撞后逃出该区域的几率之和。若用P0表示首次飞行逃脱几率，Pn表示中子在该体积内经第n次碰撞后逃出该区域的几率，则∞……=ΣPn……n=0(5-48)设中子在该区域内均匀地、各向同性地产生，且每次碰撞所产生的中子仍为均匀、各向同性地分布；把经第n次碰撞后的中子看作第n代中子，中子在该区域内散射碰撞的几率为ΣsΣt，令C=ΣsΣt，则)2C2P0……代入（5-48）式，得=通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(3)互易关系式设一个系统由若干个区组成，考虑其中两个区1和2（见图5-9）。它们的体积分别为V1和V2，表面积分别为S1和S2，宏观吸收截面分别为Σa,1和Σa,2。设在1区内有均匀、各向同性分布的中子源，源强为Q1，那么，在1区内r'处体积元dV1内的中子，对2区r处的中子通量密度的贡献为−r)dV1,（5-50）式中G(r'−r)为格林函数。若用P1→2表示均匀地各向同性地分布在区域1内的中子在区域2内被吸收的平均几率，则Σa,2φ2(r)dV2=2dV21G(r'−r)dV1（5-51）若用P2→1表示均匀各向同性分布在区域2内的中子在区域1内被吸收的平均几率，同理可证明：PdV12G(r'−r)dV2（5-52）由于格林函数是它宗量的对称函数，即G(r'这一关系式也叫互易定理。利用互易定理，比较（5-51）与（5-52）式，得=Σa,2V2P2→1（5-54）这个关系式叫互易关系式。用同样的方法可证明下列互易关系式：=Σt,2V2P2→1（5-55）式中Σt,1、Σt,2分别为介质1和2的总截面，此时P为总的或首次碰撞几率，而不再是被吸收的几率。利用互易关系式可以推导出其它一些几率的表达式。在计算非均匀栅格的共振吸收时就要用到这个关系式。(4)吸收几率考虑介质1，其体积为V1，表面积为S1；其周围的介质叫介质2，它的体积为V2，内表面积为S1。介质1（或2）的吸收几率Γ1（或Γ2）定义为各同向性地入射到V1（或V2）表面上的中子在V1（或V2）内被吸收的几率。若用P1、P2分通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材别表示均匀各向同性地分布在V1和V2内的中子逃出V1和V2的几率，用Σa,1和a,2Σ分别表示介质1和介质2a,2的，即从V2逃出的中子全部都打到S1面上，则中子从V1逃出而在V2内被吸收的几率为P1Γ2，中子从V2逃出而在V1内被吸收的几率为P2Γ1。根据互易关系式（5-54）有Σa1V1P1Γ2=Σa2V2P2Γ1(5-56)我们可以预料，Γ1（或Γ2）与介质1（或介质2）的几何形状、尺寸、宏观吸收截面以及入射到介质1（或介质2）表面上的中子流的角分布有关。在V1表面上入射中子流为各向同性地分布的条件下，Γ1只和介质1的几何形状、尺寸、宏观吸收截面有关，而与它周围介质的性质无关。因此，这里不妨假设介质2为黑体，即假设Σa,2=Σa,∞,Γ2=1。这样，根据（5-46）式，介质2内的逃脱几率P2为VPV将（5-57）式代入（5-56得1Σa,1P1(5-57)(5-58)同理，不妨假设介质1对中子吸收来讲为黑体，而V2为一般的吸收中子的介质，采用同样的方法可证明22Σa,2PPl2Σa,22P(5-59)式中，l1和l2分别为介质1和介质2的平均弦长，它只和介质的几何形状、尺寸有关。从（5-58）和（5-59）式可以看出，吸收几率Γ和该介质的平均弦长、宏观吸收截面及逃脱几率有关，而与其周围介质的性质无关。4.2用A.B.H.方法计算ζ和f仍讨论最简单的情况，设栅元仅仅由燃料和慢化剂组成，假设：所有中子具有同一能量；热中子只在慢化剂内均匀地各向同性地产生，源强为Sth。设慢化剂的体积为VM，那么单位时间栅元内产生的热中子数为SthVM。在稳态情况下通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材单位时间栅元内吸收的热中子总数也应为SthVM。根据热中子利用系数的定义，f为燃料块吸收的热中子与栅元内吸收的热中子总数之比。在A.B.H.方法中，利用碰撞几率法求燃料块内吸收的热中子数。设PM表示慢化剂内均匀地、各向同性地产生的中子逃出慢化剂的几率，在栅元仅由燃料和慢化剂组成的简单情况下，它也就是从慢化剂逸出首次入射到燃料块上的几率。那末，单位时间从慢化剂逸出，首次入射到燃料块上的中子数就是PMSthVM。这些中子进入燃料块后大部分为燃料块所吸收。但燃料块对热中子来说并不是绝对黑体，也就是说，必然还有一小部分中子从燃料块逸出又返回到慢化剂内。而其中有一部分又逸出慢化剂再次进入燃料块内。这样，首次进入燃料块内的中子有可能多次穿过燃料块和慢化剂的交界面，而最终为燃料块或慢化剂所吸收。因此，燃料块只是吸收逸出慢化剂首次进入燃料块的那些中子中的大部分，而不是全部。设Γ0表示入射到燃料块上的中子被燃料块吸收的几率。若用N表示在慢化剂内产生的中子逸出慢化剂而首次进入燃料块的中子数（N就等于PMSthVM而这个中子的经历表示如下：NΓ0N(1—N(1—N(1—N(1—0Γ)0Γ0)Γ1首次进入燃料块并被吸收逃出燃料块第一次返回慢化剂内在慢化剂内被吸收逸出慢化剂第二次进入燃料块Γ0第二次进入燃料块并被吸收……燃料块吸收的中子数应为各次进入燃料块为燃料块所吸收的中子数之和，即燃料块所吸收的中子数=NΓ0+N(1—Γ0)（1—Γ1）Γ02Γ0+……==PMSthVM根据热中子利用系数的定义，得Γ ΓΓ0Γ1通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材FFf=PMSthVM0+]或根据（5-16）式得热中子不利因子ζ为ζ==(+)S,aFS,=a,MPM（5-61）式中PF和PM分别为燃料块和慢化剂的逃脱几率，SF为燃料块的表面积。将（5-64）和（5-65）式代入（5-63）式，便得到热中子不利因子ζ为ζ=−+热中子利用系数f为 −1=, −1=,+,faFVFPF,1−PM,1−PM,VPM,MaVPM,1−PM−4a,MVMPSMPS可以证明，燃料块的逃脱几率PF与屏蔽系数F之间存在着下列关系：F=a,F把（5-67）式和前面求得的（5-37）式作一比较。从前面讨论知道，在一般情况下，E接近于1，附加吸收项（E—1）是个很小的量。因此函数E对f值影响很小，另一方面，f对函数F的值却是灵敏的。这些结论同样地使用于目前通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材情况，f对PM计算值并不灵敏，而对PM值却是灵敏的。因此对PM计算精度的要求可以比PF的低，即可以采用近似的方法来计算PM，亦即采用近似的方法来计算（5-67）式中的附加吸收项，而不会带来大的误差。在假设每次碰撞后中子在块内系均匀分布和向同性时，PF可按（5-49）式计算。实际情况并非如此，在A.B.H.方法中，考虑到首次碰撞后中子在块内并非为均匀分布，对于半径为的圆柱形燃料棒，近似求得PF为((|l ,ΣaF ,ttF,−aΣt,F ,ΣsF ,ttF,+β2+aΣa,F|)−1|〉J|0表示燃料块的首次飞行逃脱几率；α、β为系数，已制成表，它是aΣt,F的函数，见图5-10。缺（214-215）5.快中子倍增效应快中子倍增的空间效应在非均匀栅格内，裂变中子实在燃料块内产生，这便增加了它与铀-238和碰撞的几率。因此，与均匀系统相比，快中子倍增效应有所增加。这个效应的大小与栅元快中子的空间分布有关。因为裂变中子一旦进入慢化剂内，很快就慢化到铀-238核的快中子裂变阀以下，所以在较高的能量范围内（如在0.8—10兆电子伏内一般地讲，燃料块内的快中子通量密度高于慢化剂内的通量密度。在快谱计算中，例如在快群常数计算程序MUFT中，在前10群（0.821至10兆电子伏）内应考虑铀-238核的快中子倍增效应。但是快谱计算时假设系统是均匀的，即认为燃料和慢化剂内的中子通量密度是相同的，显然，这就低估了快中子的倍增效应。为了考虑非均匀效应对快中子倍增效应的影响，在对非均匀栅格进行均匀化处理时，应该象在前面第4节中所讨论的那样，考虑到快中子通量密度分布的不均匀性。实际上，计算时须知道燃料块内快中子平均通量密度与慢化剂内快中子平均通量密度之比。为此，和考虑热中子空间分布的不均匀性一样，定义ζF(E)=φF(EφM(E)φj(E)由（5-5）式定义（这里仍以一个栅元为研究对象，并认为栅元仅由燃料块通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ζF(E)叫做快中子有利因子，因为对快中子倍增来讲，非均匀效应是有利的。类似于热中子利用系数，可以定义一个快中子利用系数（对某一能群其定义为燃料内快中子从该能群的逸出率与栅元内快中子从该能群总的逸出率之比，若fF中子逸出截面，则表示某一能群的快中子利用系数，ΣR,F表示某一能群的快RFFFRFFF（5-74）fF=RFFFRMMRFFFRMMM