2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列专题6.7 一次函数章末题型过关卷（苏科版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列第6章一次函数章末题型过关卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2022•无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤42．（2022秋•太原月考）下列四个点中，恰好与点（﹣2，4）在同一个正比例函数图象上的是（）A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（2，4）3．（2022春•崇川区校级期中）在下列各图象中，y是x的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022春•黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x25．（2022•莲湖区模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（）A．10 B．8 C．5 D．36．（2022春•织金县期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y＝kx+b．则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（）A．与x轴交于（2，0） B．与y轴交于（0，﹣1） C．y随x的增大而减小 D．经过第一、二、四象限7．（2022•金牛区校级自主招生）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（）x﹣101y1m﹣5A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．8．（2022•雁塔区校级模拟）若点A（﹣2，a），B（b，）在同一个正比例函数图象上，则的值是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣9．（2022•益阳模拟）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A． B． C． D．10．（2022春•南乐县期末）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△PAB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（）A．36 B．54 C．72 D．81二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2022秋•瑶海区校级月考）函数y＝﹣2x+6，当函数值y＝4时，自变量x的值是．12．（2022春•碑林区校级期末）请写出一个一次函数满足以下条件：（1）y随x的减小而减小；（2）图象与x轴交在负半轴上．13．（2022春•碑林区校级期末）已知：一次函数y＝（a+1）x﹣（a﹣2）中，该函数的图象不过第四象限，则a的范围是．14．（2022•茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为．15.（2022春•碑林区校级期末）如图，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向右平移得到△O'A'B'，若点A的对应点A'落在直线y＝2x﹣1上，则点B与其对应点间的距离为．16.（2022春•浦东新区期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为．三、解答题（本答题共两小题，每题8分，满分16分）17．（2022春•碑林区校级期末）已知直线m与直线y＝2x+1平行，且经过（1，4）．（1）求直线m的解析式．（2）求直线m与x轴的交点．18．（2022春•碑林区校级期末）已知y﹣2与x+3成正比例，且x＝﹣4时，y＝0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）点P1（2m﹣2，2m+1）在（1）中所得函数的图象上，求m的值．19．（2022•澄海区校级一模）某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定的重量，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（千克）之间函数关系的图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系．（2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？20．（2022•常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．21．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D．（1）求直线CD的解析式；（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．22．（2022•佳木斯二模）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．终点起点甲城乙城A地100120B地11095（1）根据题意，应从B地调运（7﹣x）吨消毒液给甲城，从B地调运（x﹣2）吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．23．（2022•泰州一模）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h；（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．第6章一次函数章末题型过关卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2022•无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤4【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，4﹣x≠0，解得x≠4．故选：B．2．（2022秋•太原月考）下列四个点中，恰好与点（﹣2，4）在同一个正比例函数图象上的是（）A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（2，4）【分析】设正比例函数的解析式为：y＝kx，把（﹣2，4）代入得到关于k的一元一次方程，解之，即可得到正比例函数的解析式，依次把各个选项的横坐标代入求得的解析式中，求纵坐标，即可得到答案．【解答】解：设正比例函数的解析式为：y＝kx，把（﹣2，4）代入得：4＝﹣2k，解得：k＝﹣2，即正比例函数的解析式为：y＝﹣2x，A．把x＝4代入y＝﹣2x得：y＝﹣8，即A项错误，B．把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣4，即B项正确，C．把x＝﹣4代入y＝﹣2x得：y＝8，即C项错误，D．把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣4，即D项错误，故选：B．3．（2022春•崇川区校级期中）在下列各图象中，y是x的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用函数定义进行解答即可．【解答】解：第一个、第二个、第三个图象y都是x的函数，第四个不是，共3个，故选：C．4．（2022春•黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x2【分析】根据k＝3＞0时，y随x的增大而增大，从而可知x1、x2、x3的大小．【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣b中，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大；∵点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1），∴x1＜x2＜x3；故选：A．5．（2022•莲湖区模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（）A．10 B．8 C．5 D．3【分析】根据一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移k不变，可设平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，把点（﹣1，﹣2）代入即可求得n．【解答】解：∵若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度，∴平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，∵函数解y＝﹣2x+6﹣n的图象经过点（﹣1，﹣2），∴﹣2＝﹣2×（﹣1）+6﹣n，解得：n＝10，故选：A．6．（2022春•织金县期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位．再向上平移2个单位后，得到直线y＝kx+b．则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（）A．与x轴交于（2，0） B．与y轴交于（0，﹣1） C．y随x的增大而减小 D．经过第一、二、四象限【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：将直线y＝2x+1向右平移2个单位．再向上平移2个单位后得到直线y＝2x﹣1，A、直线y＝2x﹣1与x轴交于（2，0），错误；B、直线y＝2x﹣1与y轴交于（0，﹣1），正确；C、直线y＝2x﹣1，y随x的增大而增大，错误；D、直线y＝2x﹣1经过第一、三、四象限，错误；故选：B．7．（2022•金牛区校级自主招生）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（）x﹣101y1m﹣5A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，找出两对x与y的值代入计算求出k与b的值，即可确定出m的值．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，将x＝﹣1，y＝1；x＝1，y＝﹣5代入得：，解得：k＝﹣3，b＝﹣2，∴一次函数解析式为y＝﹣3x﹣2，令x＝0，得到y＝2，则m＝﹣2，故选：C．8．（2022•雁塔区校级模拟）若点A（﹣2，a），B（b，）在同一个正比例函数图象上，则的值是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，将A，B两点代入可计算ab的值，再将原式化简后代入即可求解．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，∵点A（﹣2，a），B（b，）都在该函数图象上，∴a＝﹣2k，bk＝，即k＝a，∴，∴ab＝﹣3，∴原式＝＝，故选：A．9．（2022•益阳模拟）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A． B． C． D．【分析】利用一次函数的图象性质依次判断可求解．【解答】解：A：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故A选项错误；B：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，故B选项正确；C：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故C选项错误；D：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，前后矛盾，故D选项错误；故选：B．10．（2022春•南乐县期末）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△PAB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（）A．36 B．54 C．72 D．81【分析】由题意及图形②可知当点P运动到点B时，△PAB面积为y，从而可知矩形的宽；由图形②从6到18这段，可知点P是从点B运动到点C，从而可知矩形的长，再按照矩形的面积公式计算即可．【解答】解：由题意及图②可知：AB＝6，BC＝18﹣6＝12，∴矩形ABCD的面积为6×12＝72．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2022秋•瑶海区校级月考）函数y＝﹣2x+6，当函数值y＝4时，自变量x的值是1．【分析】代入y＝4求出与之对应的x值．【解答】解：当y＝4时，﹣2x+6＝4，解得：x＝1．故答案为：1．12．（2022春•碑林区校级期末）请写出一个一次函数y＝x+1满足以下条件：（1）y随x的减小而减小；（2）图象与x轴交在负半轴上．【分析】根据题意可以写出一个符合要求的函数解析式，注意本题答案不唯一．【解答】解：y＝x+1满足条件y随x的减小而减小，图象与x轴交在负半轴上，故答案为：y＝x+1．13．（2022春•碑林区校级期末）已知：一次函数y＝（a+1）x﹣（a﹣2）中，该函数的图象不过第四象限，则a的范围是﹣1＜a≤2．【分析】根据一次函数y＝（a+1）x﹣（a﹣2）不过第四象限可得出关于a的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：∵一次函数y＝（a+1）x﹣（a﹣2）的图象不过第四象限，∴，解得﹣1＜a≤2．故答案为﹣1＜a≤2．14．（2022•茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为．【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．15.（2022春•碑林区校级期末）如图，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向右平移得到△O'A'B'，若点A的对应点A'落在直线y＝2x﹣1上，则点B与其对应点间的距离为．【分析】将y＝6代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点A'的坐标为（72，6），进而可得出△OAB沿x轴向右平移72个单位得到△O'A'B'，根据平移的性质即可得出点【解答】解：当y＝2x﹣1＝6时，x=7∴点A'的坐标为（72∴△OAB沿x轴向右平移72个单位得到△O'A'B∴点B与其对应点间的距离为72故答案为：7216.（2022春•浦东新区期中）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为y＝2.4x+6.8．【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的付费得出．【解答】解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．故答案为：y＝2.4x+6.8．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（2022春•碑林区校级期末）已知直线m与直线y＝2x+1平行，且经过（1，4）．（1）求直线m的解析式．（2）求直线m与x轴的交点．【分析】（1）设直线m为y＝kx+b，根据直线m与直线y＝2x+1平行，可得k＝2，把（1，4）代入即可求出函数解析式；（2）令y＝0，即可得到2x+2＝0，求得x＝﹣1，即可求得直线m与x轴的交点（﹣1，0）．【解答】解：（1）设直线m为y＝kx+b，∵直线m与直线y＝2x+1平行，∴k＝2，把（1，4）代入y＝2x+b得：b＝2，∴直线m的解析式为：y＝2x+2；（2）在直线m：y＝2x+2中，令y＝0，则2x+2＝0，解得x＝﹣1，∴直线m与x轴的交点为（﹣1，0）．18．（2022春•碑林区校级期末）已知y﹣2与x+3成正比例，且x＝﹣4时，y＝0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）点P1（2m﹣2，2m+1）在（1）中所得函数的图象上，求m的值．【分析】（1）根据题意，设出函数关系式，把x＝﹣4，y＝0代入求出待定系数，确定函数关系式；（2）把点P1（2m﹣2，2m+1）代入（1）求得的解析式，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设y﹣2＝k（x+3）（k≠0），把x＝﹣4，y＝0代入得，0﹣2＝k（﹣4+3），解得，k＝2，∴y﹣2＝2（x+3），即：y＝2x+8，（2）∵点P1（2m﹣2，2m+1）在y＝2x+8的图象上，∴2m+1＝2（2m﹣2）+8，∴m＝﹣，19．（2022•澄海区校级一模）某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定的重量，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（千克）之间函数关系的图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系．（2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？【分析】（1）由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求函数关系式；（2）旅客可免费携带行李，即y＝0，代入由（1）求得的函数关系式，即可知质量为多少．【解答】解：（1）设一次函数y＝kx+b，∵当x＝60时，y＝6，当x＝90时，y＝10，∴解之，得，∴所求函数关系式为y＝x﹣2（x＞15）；（2）当y＝0时，x﹣2＝0，所以x＝15，故旅客最多可免费携带15kg行李．20．（2022•常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．21．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D．（1）求直线CD的解析式；（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．【分析】（1）先把A（5，m）代入y＝﹣x+3得A（5，﹣2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y＝2x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；（2）先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，然后求出直线y＝2x+3与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）把A（5，m）代入y＝﹣x+3得m＝﹣5+3＝﹣2，则A（5，﹣2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（3，2），∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y＝2x+b，把C（3，2）代入得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，当y＝0时，2x+3＝0，解得x＝﹣，则直线y＝2x+3与x轴的交点坐标为（﹣，0），∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为﹣≤x≤2．22．（2022•佳木斯二模）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．终点起点甲城乙城A地100120B地11095（1）根据题意，应从B地调运（7﹣x）吨消毒液给甲城，从B地调运（x﹣2）吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以解答本题；（2）根据题意，可以得到y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）根据题意，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最低的调运方案，然后计算出最低运费．【解答】解：（1）由题意可得，从A地调运x吨消毒液给甲城，则调运（10﹣x）吨消毒液给乙城，从B地调运（7﹣x）吨消毒液给甲城，调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨消毒液给乙城，故答案为：（7﹣x），（x﹣2）；（2）由题意可得，y＝100x+120（10﹣x）+110（7﹣x）+95（x﹣2）＝﹣35x+1780，∵，∴2≤x≤7，即总运费y关于x的函数关系式是y＝﹣35x+1780（2≤x≤7）；（3）∵y＝﹣35x+1780，∴y随x的增大而减小，∵2≤x≤7，∴当x＝7时，y取得最小值，此时y＝1535，即从A地调运7吨消毒液给甲城时，总运费最低，运费最低为1535元．23．（2022•泰州一模）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h；（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．【分析】（1）先利用前0.5小时的路程除以时间求出一辆车的速度，再利用相遇问题根据2.7小时列式求解即可得到另一辆车的速度，从而得解；（2）点D为快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点D的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点D的纵坐标，从而得解；（3）分相遇前相距300km和相遇后相遇300km两种情况列出方程求解即可．【解答】解：（1）（480﹣440）÷0.5＝80km/h，440÷（2.7﹣0.5）﹣80＝120km/h，所以，慢车速度为80km/h，快车速度为120km/h；故答案为：80；120．（2）快车到达乙地（出发了4小时快车慢车相距360KM时甲车到达乙地）；∵快车走完全程所需时间为480÷120＝4（h），∴点D的横坐标为4.5，纵坐标为（80+120）×（4.5﹣2.7）＝360，即点D（4.5，360）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km．即相遇前：（80+120）×（x﹣0.5）＝440﹣300，解得x＝1.2（h），相遇后：（80+120）×（x﹣2.7）＝300，解得x＝4.2（h），故x＝1.2h或4.2h，两车之间的距离为300km．专题7.1全等三角形十六大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1全等图形的识别】 1【考点2全等三角形性质的运用】 2【考点3一次证明全等】 3【考点4两次证明全等】 4【考点5利用全等图形求网格中的角度和】 6【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】 7【考点7添加条件使三角形全等】 8【考点8灵活选用判定方法证明全等】 9【考点9尺规作图与全等的综合运用】 10【考点10证明全等的常见辅助线的作法】 11【考点11证一条线段等于两条线段的和（差）】 13【考点12全等中的倍长中线模型】 15【考点13全等中的旋转模型】 17【考点14全等中的垂线模型】 18【考点15全等中的其他模型】 20【考点16全等三角形的动点问题】 21【考点1全等图形的识别】【例1】（2022·全国·八年级单元测试）下列图形：①两个正方形；②底边相等的两个等腰三角形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022·全国·八年级单元测试）下列个图形中，是全等图形的是（

）A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c【考点2全等三角形性质的运用】【例2】（2022·山东·峄城区吴林街道中学七年级阶段练习）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（2022·广东湛江·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠B的度数为（）A．24° B．25° C．30° D．35°【变式2-2】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）实验学校七年级期中）如图所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一条直线上．(1)求证：AB∥(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度．【变式2-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC的面积．【考点3一次证明全等】【例3】（2022·广东·儒林中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB=CD,BF=CE,∠B=∠C．若∠A+∠D=144°，求∠D的度数．【变式3-1】（2022·重庆市第十一中学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形△CDE，∠DCE=90°，连接BE．试说明：(1)AD=BE；(2)BE⊥AD．【变式3-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC．(1)求证：△BCD≌△ACE．(2)图中AE、BD有怎样的关系？试证明你的结论．【变式3-3】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．【考点4两次证明全等】【例4】（2022·江苏南京·八年级阶段练习）如图，AC、BD相交于点O，AB=AD，BC=CD．求证：AC⊥BD．【变式4-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF．(1)说明：BG=CF；(2)若∠CFD=100°，∠EFD=35°，求∠BGE的度数．【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长．【变式4-3】（2022·四川·西川中学南区七年级期中）如图，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=100°，AB平分∠WAC．在线段AC上有一动点D，连接BD，E为直线AW上异于A的一点，连接BE、DE．(1)如图1，当点E在射线AW上时，若DE+AE=DC，直接写出：∠EBD=______；(2)如图2，当点E在射线AW的反向延长线上时，①若（1）中的结论仍成立，则DE、AE、DC应满足怎样的数量关系，请证明；②若S四边形ABDE-S△BCD=6，且【考点5利用全等图形求网格中的角度和】【例5】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠7-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【变式5-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式5-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．【变式5-3】（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】【例6】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【变式6-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．【变式6-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【变式6-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．【考点7添加条件使三角形全等】【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式7-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【变式7-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【变式7-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点8灵活选用判定方法证明全等】【例8】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有两个角对应相等的两个三角形B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形【变式8-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式8-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（

）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【变式8-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考点9尺规作图与全等的综合运用】【例9】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：△ABC≅△CDA的根据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式9-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______【变式9-3】（2022·北京·101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是______________．【考点10证明全等的常见辅助线的作法】【例10】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．【变式10-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（

）A．50∘ B．40∘ C．40∘或70【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求证：AD平分∠BAC.【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．【考点11证一条线段等于两条线段的和（差）】【例11】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【变式11-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，则四边形ABDC的周长为（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a+2b【变式11-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【变式11-3】（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若∠B=60°．①直接写出∠AFC的大小；②求证：AC=AD+CE．（2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF【考点12全等中的倍长中线模型】【例12】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，试问线段EF、BE、FD【变式12-1】（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，【变式12-2】（2022·山东·高唐县赵寨子中学八年级期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；

（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；

（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．【变式12-3】（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【考点13全等中的旋转模型】【例13】（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD【变式13-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为（A．36 B．21 C．30 D．22【变式13-2】（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，DB长______厘米．【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，试探索线段MN、AM、CN（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝12∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为【考点14全等中的垂线模型】【例14】（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式14-1】（2022·陕西省西安爱知中学七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【变式14-2】（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG=【变式14-3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【考点15全等中的其他模型】【例15】（2022·重庆八中七年级期中）如图：AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，连接BE与DC交于M，则：①∠DAC=∠BAE；②ΔDAC≌ΔBAE；③DC⊥BE；正确的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【变式15-1】（2022·全国·八年级单元测试）如图，已知ΔABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，则∠DCB的度数是_________．【变式15-2】（2022·山西阳泉·八年级期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2．【变式15-3】（2022·江苏南通·八年级期中）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.【考点16全等三角形的动点问题】【例16】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（

）A．x＝2，t＝74 B．x＝2，t＝74或x＝207C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝207，t＝【变式16-1】（2022·江苏·九华中学八年级阶段练习）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．(1)AB与DE有什么关系？请说明理由．(2)线段AP的长为________（用含t的式子表示）．(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为_______．【变式16-2】（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）长方形ABCD中，AB=6，AD=m，点P以每秒1个单位的速度从A向B运动，点Q同时以每秒2个单位的速度从A向D运动，点E为边CD上任意一点．(1)当m=8时，设P，Q两点运动时间为t，①若Q为AD中点，求t的值；②连接QE，若△APQ与△EDQ全等，求DE的长．(2)若在边AD上总存在点Q使得△APQ≌△DQE，求m的取值范围．【变式16-3】（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图①，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s；(2)当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求a的值；(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．专题7.1全等三角形十六大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1全等图形的识别】 1【考点2全等三角形性质的运用】 3【考点3一次证明全等】 7【考点4两次证明全等】 11【考点5利用全等图形求网格中的角度和】 18【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】 21【考点7添加条件使三角形全等】 24【考点8灵活选用判定方法证明全等】 28【考点9尺规作图与全等的综合运用】 33【考点10证明全等的常见辅助线的作法】 37【考点11证一条线段等于两条线段的和（差）】 45【考点12全等中的倍长中线模型】 56【考点13全等中的旋转模型】 66【考点14全等中的垂线模型】 73【考点15全等中的其他模型】 82【考点16全等三角形的动点问题】 88【考点13尺规作图作角平分线】 94【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】 97【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】 103【考点16角平分线的实际应用】 112【考点1全等图形的识别】【例1】（2022·全国·八年级单元测试）下列图形：①两个正方形；②底边相等的两个等腰三角形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各项说法作出判断即可．【详解】解：①两个正方形，但不一定全等，②底边相等的两个等腰三角形，但不一定全等，③每边都是2cm的两个三角形，是两个全等的等边三角形，④半径都是1.5cm的两个圆是全等形，其中是一对全等图形的有2个，故选B【点睛】本题考查了全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，熟练掌握基本图形的性质是解题关键．【变式1-1】（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有C中的两个可以旋转后重合，其它三个大小或形状不一致．【详解】解：由全等形的概念可知：A、B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断．【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合，将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形，故A、B、D中的三个图形全等，分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同．故选：C．【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键．【变式1-3】（2022·全国·八年级单元测试）下列个图形中，是全等图形的是（

）A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c【答案】D【分析】根据全等图形的概念求解即可．【详解】解：由图可知，a与c是全等图形，故选：D．【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键．【考点2全等三角形性质的运用】【例2】（2022·山东·峄城区吴林街道中学七年级阶段练习）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．【详解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；综上：正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．【变式2-1】（2022·广东湛江·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠B的度数为（）A．24° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，再求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝105°，∴∠ACB＝∠E＝105°，∠B＝∠D，∴∠ACF＝180°﹣105°＝75°，在△ACF和△DGF中，∠AFC＝∠DFG，∴∠D+∠DGB＝∠DAC+∠ACF，即∠D+66°＝16°+75°，∴∠D＝25°，∴∠B＝25°，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．【变式2-2】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）实验学校七年级期中）如图所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一条直线上．(1)求证：AB∥(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度．【答案】(1)见解析(2)BE=8.5【分析】（1）根据全等三角形的性质得∠B=∠C，根据平行线的判定即可得AB∥（2）根据全等三角形的性质得BE=CF，根据线段之间的的关系得CE=BF，可求出CE的长，即可得．（1）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B=∠C，∴AB∥（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，∴CE=BF，∵BC=10，EF=7，∴CE=BF=1∴BE=BC-CE=10-1.5=8.5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握这些知识点．【变式2-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)90°(2)8【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．（1）解：∵BD⊥DE，∴∠D=90°，∴∠DBA+∠BAD=90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA=∠CAE∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAC=90°；（2）解：∵△ABD≌△CAE，∴AC=AB=4，又∵∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=4×4÷2=8．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．【考点3一次证明全等】【例3】（2022·广东·儒林中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB=CD,BF=CE,∠B=∠C．若∠A+∠D=144°，求∠D的度数．【答案】72°【分析】由BF＝CE可得BE＝CF，然后利用SAS可得△ABE≌△DCF，即∠A＝∠D，最后代入∠A+∠D=144°计算即可．【详解】解：∵BF＝CE，∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF，在△ABE与△DCF中，AB=CD∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，∵∠A+∠D=144°∴∠D=72°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得△ABE≌△DCF是解答本题的根据.【变式3-1】（2022·重庆市第十一中学校七年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形△CDE，∠DCE=90°，连接BE．试说明：(1)AD=BE；(2)BE⊥AD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形CDE得出CD=CE，∠DCE=90°，结合∠ACB=90°可证∠ACD=∠BCE，然后根据“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出AD=BE；（2）由（1）知△ACD≌△BCE，则∠ADC=∠BEC，由∠DCE=90°可得∠CEB+∠BED+∠CDE=90°，从而求得∠ADC+∠BED+∠CDE=90°，即可得证．（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，又∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE；（2）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠DCE=90°，∴∠CED+∠CDE=90°，即∠CEB+∠BED+∠CDE=90°，∴∠ADC+∠BED+∠CDE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AD．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，通过“SAS”证明△ACD≌△BCE是解题的关键．【变式3-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC．(1)求证：△BCD≌△ACE．(2)图中AE、BD有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)AE=BD，AE⊥BD，理由见解析【分析】（1）根据AC⊥BC，DC⊥EC并结合图形可推出∠BCD=∠ACE，再根据AC=BC，DC=EC，结论即可得证；（2）如图，设BD交AC于点N，交AE于点O，由（1）的结论可推出∠B=∠A，BD=AE，由∠BNC=∠AND，∠B+∠BNC=90°，可得出∠A+∠AND=90°，可得∠AON=90°，由此即可解决问题．（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACESAS（2）解：结论：AE=BD，AE⊥BD．理由如下：如图，设BD交AC于点N，交AE于点O，∵△BCD≌△ACE，∴∠B=∠A，BD=AE，∵∠BNC=∠AND，∠B+∠BNC=90°，∴∠A+∠AND=∠B+∠BNC=90°，∴∠AON=180°-∠A+∠AND∴BD⊥AE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．【变式3-3】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BFC＝126°【分析】（1）先由∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE推导出∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABD≌△ACE；（2）由∠BAC=86°求得∠ABC+∠ACB=94°，再由全等三角形的对应角相等求得∠ABD=∠ACE=20°，则∠FBC+∠FCB=54°，再由∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）求得∠BFC的度数．（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠BAC＝86°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣86°＝94°，∵△ABD≌△ACE∴∠ABD＝∠ACE＝20°，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣∠ABD﹣∠ACE＝94°﹣20°﹣20°＝54°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣54°＝126°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．【考点4两次证明全等】【例4】（2022·江苏南京·八年级阶段练习）如图，AC、BD相交于点O，AB=AD，BC=CD．求证：AC⊥BD．【答案】见解析【分析】先证得△ABC≌△ADC，再证明△ABO≌△ADO，由全等的性质证得【详解】∵在△ABC和△ADC中AB=AD∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC＝∠DAC∵在△ABO和△ADO中AB=AD∴△ABO≌△ADO（SAS）∴∠AOB＝∠AOD又∵∠AOB＋∠AOD＝180°∴∠AOB＝90°∴AC⊥BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，找对应边和对应角是解题关键，一般在找边找角时如果存在公共边、对顶角，则公共边与对顶角是一组对应边和对应角．【变式4-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF．(1)说明：BG=CF；(2)若∠CFD=100°，∠EFD=35°，求∠BGE的度数．【答案】(1)见解析(2)65°【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；（2）先证明∠CFD=∠BGD=100°，再证明△EDG≌△EDF（SAS），可得∠EFG=∠EGD=35°，再利用角的和差运算可得答案．（1）解：∵BG∥∴∠DBG=∠DCF，又∵D为BC中点，∴BD=CD，又∵∠BDG=∠CDF，∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF；（2）∵△BGD≌△CFD，∴GD=DF，∠CFD=∠BGD=100°，∵ED⊥GF，∴∠EDG=∠EDF=90°，又∵ED=ED，∴△EDG≌△EDF（SAS），∴∠EFG=∠EGD=35°，∴∠BGE=∠BGD-∠EGD=100°-35°=65°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用SAS，AAS，ASA证明三角形全等”是解本题的关键．【变式4-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF＝35，AE【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用Rt△BDE≌Rt△ADC，证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝285，即可求出EF＝BF－BE＝285－5＝（1）证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)．（2）证明：∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．（3）解：∵S△ABC＝12AD•BC＝14，AD∴BC＝7，∵BD＝4，∴CD＝3，∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴ED＝CD＝3，∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，∵S△ABC＝12BF•AC＝14，BE＝AC∴BF＝285∴EF＝B