2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题3.2 一元一次方程的解法【十大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题3.2一元一次方程的解法【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一元一次方程的整数解问题】 1【题型2换元法解一元一次方程】 2【题型3根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 2【题型4错解一元一次方程问题】 2【题型5解一元一次方程】 3【题型6探究一元一次方程解的情况】 3【题型7同解问题】 4【题型8一元一次方程的解与参数无关】 4【题型9一元一次方程的解法在新定义中的运用】 5【题型10含绝对值的一元一次方程】 5【知识点1一元一次方程的解法】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．【知识点2一元一次方程的解】定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【题型1一元一次方程的整数解问题】【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程k-2019x-2017=6-2019x+1的解是整数，则整数k的取值个数是（

）A．5 B．3 C．6 D．2【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k为何值时，方程9x-3=kx+15有正整数解．求出这些解．【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程mx=3-x的解为整数，则正整数m的值为______．【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设为整数，且关于的一元一次方程.（1）当时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求的值.【题型2换元法解一元一次方程】【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程x2019+5=2019x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程A．2013 B．-2013 C．2023 D．-2023【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x的方程12022x＋2021＝2x＋m的解是x＝2023，则关于y的方程12022（y＋1）＋2021＝2（y＋1）＋m的解是【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若x=-4是关于x的方程ax-b=1a≠0的解，则关于x的方程a【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x的一元一次方程ax+b=0的解是x=-2，则关于y的一元一次方程ay-1【题型3根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x的方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍，则m的值为（

）A．12 B．14 C．-1【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程12(x+1)=1的解与关于x的方程1-k2【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程3x+6=0与关于y的方程5y+2m=18的解互为相反数，则m=____．【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程2-3(x+1)=0的解与关于x的方程k+x2-2=2x的解互为倒数，求【题型4错解一元一次方程问题】【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x的方程x+23=x+a5-2时，小颖在去分母的过程中，右边的“-2A．x=-10 B．x=16 C．x=203 【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程x+12-2x-36=1去分母，得到3x+3-2A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．（1）求a的值；（2）求此方程正确的解．【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a-x=13（x为未知数）时，误将-x看作+x，解得方程的解x=-2，则a＝________，原方程的解为________．【题型5解一元一次方程】【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是x=()A． B．- C． D．-【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程：(1)4-2(x+4)=2(x-1)；(2)13(3)0.3x-0.40.2【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）解方程：(1)32-x(2)x+12(3)9-3y=5y+5．(4)3x-14【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是____.【题型6探究一元一次方程解的情况】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程•a=﹣（x﹣6）无解，则a的值是（

）A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）关于的方程，分别求为何值时，原方程：（1）有唯一解（2）有无数多解（3）无解【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．【题型7同解问题】【例7】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程：2x-1+1=x与3x+m【变式7-1】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程4x-5=3x-1的解与x+a2=【变式7-3】（2022·黑龙江·哈尔滨美加外国语学校七年级阶段练习）若关于x的方程3x-7=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，求a2【题型8一元一次方程的解与参数无关】【例8】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程2kx+a3=1-x-bk6，无论k为何值，它的解总是【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程(b+1)x=12-4ka，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．【变式8-3】（2022·山东滨州·七年级期末）若关于x的方程2kx+m3=2+x-nk6，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么【题型9一元一次方程的解法在新定义中的运用】【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【变式9-1】（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”．(1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值．(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为x=ba，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且2=4(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．【变式9-3】（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下m2-n3=m-n2-3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得m2-n3=m-n2-3成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，【题型10含绝对值的一元一次方程】【例10】（2022·全国·七年级课时练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是（直接写出结果）．【变式10-1】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．【变式10-2】（2022·河北·武邑宏达实验学校八年级阶段练习）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.例：解绝对值方程：.解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是；②当时，原方程可化为，它的解是.原方程的解为或.（1）依例题的解法，方程算的解是_______；（2）尝试解绝对值方程：；（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：.【变式10-3】（2022·河南周口·七年级期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x-3|=2．解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．所以原方程的解是x=5或x=1．（1）解方程：|3x-2|-4=0．（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1专题3.2一元一次方程的解法【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一元一次方程的整数解问题】 1【题型2换元法解一元一次方程】 4【题型3根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 6【题型4错解一元一次方程问题】 8【题型5解一元一次方程】 10【题型6探究一元一次方程解的情况】 14【题型7同解问题】 16【题型8一元一次方程的解与参数无关】 18【题型9一元一次方程的解法在新定义中的运用】 20【题型10含绝对值的一元一次方程】 24【知识点1一元一次方程的解法】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．【知识点2一元一次方程的解】定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【题型1一元一次方程的整数解问题】【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程k-2019x-2017=6-2019x+1的解是整数，则整数A．5 B．3 C．6 D．2【答案】C【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整数，k也是整数，即可判断k的取值．【详解】解：k-2019x-2017=6-2019(k-2019)x-2017=6-2019x-2019，(k-2019)x+2019x=6-2019+2017，kx=4，解得：x=4∵方程的解是整数，k也是整数，∴k可以为-4或-2或-1或1或2或4，共有6个数，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k为整数，求出当k为整数，4k也是整数时，k【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k为何值时，方程9x-3=kx+15有正整数解．求出这些解．【答案】k=8时，方程的正整数解为x=18；k=7时，方程的正整数解为x=9；k=6时，方程的正整数解为x=6；k=3时，方程的正整数解为x=3；k=0时方程的正整数解为x=2；k=-9时，方程的正整数解为x=1．【分析】先求出方程9x-3=kx+15的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．【详解】9x-3=kx+15，9-kx=18因为方程9x-3=kx+15有正整数解，所以9-k≠0，即k≠9，所以x=18要使方程9x-3=kx+15有正整数解，则189-k因此，k的所有可能取值为8,7,6,3,0,-9，当k=8时，方程的正整数解为x=18当k=7时，方程的正整数解为x=18当k=6时，方程的正整数解为x=18当k=3时，方程的正整数解为x=18当k=0时方程的正整数解为x=18当k=-9时，方程的正整数解为x=18【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为x=18【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程mx=3-x的解为整数，则正整数m的值为______．【答案】2【分析】先方程得x=3m+1，再由方程的解为整数，则有m+1=±3或m+1=±1，求得m=2或m=-4或m=0或m=-2，根据题意，m是正整数，即可求m【详解】解：mx=3-x，移项，合并同类项，得（m+1）x=3，解得x=3m+1∵方程的解为整数，∴m+1=±3或m+1=±1，∴m=2或m=-4或m=0或m=-2，∵m+1≠0，∴m≠-1，∵m是正整数，∴m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m值的限定条件对m的值进行取舍是解题的关键．【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设为整数，且关于的一元一次方程.（1）当时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求的值.【答案】（1）；（2）或，或．【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.【详解】解：(1)当时，原方程为．解得，．(2)当时，方程有解．．∵方程有整数解，且是整数．∴，．解得，或，或．故答案为(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.【点睛】本题考查了方程的特殊解，难度较大．【题型2换元法解一元一次方程】【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于x的一元一次方程x2019+5=2019x+m的解为x=2018，那么关于y的一元一次方程A．2013 B．-2013 C．2023 D．-2023【答案】C【分析】首先由方程x2019+5=2019x+m可得，x2019-2019x=m-5，由方程5-y2019-5=2019(5-y)-m可得，y-52019-2019(y-5)=m-5，设n=y-5，可得n2019【详解】解：由方程x2019+5=2019x+m，得由方程5-y2019-5=2019(5-y)-m可得，得y-52019设n=y-5，则可得n2019∵方程x2019-2019x=m-5的解为∴方程n2019-2019n=m-5的解为∴y-5=2018，解得y=2023，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转化思想是解题的关键．【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x的方程12022x＋2021＝2x＋m的解是x＝2023，则关于y的方程12022（y＋1）＋2021＝2（y＋1）＋m的解是【答案】2022【分析】根据题意得到y+1＝2023，即可求出y的值．【详解】解：∵关于x的方程12022x+2021＝2x+m的解是x∴关于y的方程12022（y+1）+2021＝2（y+1）+m中的y解得：y＝2022，故答案为：2022．【点睛】此题考查了一元一次方程解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程解的含义．【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若x=-4是关于x的方程ax-b=1a≠0的解，则关于x的方程a【答案】-【分析】将x=-4代入方程ax-b=1a≠0可得-4a-b=1，进而代入a2x-3-b-1=0【详解】解：将x=-4代入方程ax-b=-4a-b=1，a2x-3-b-1=0，整理得则a2x-3∴2x-3=-4，解得x=-1故答案为-1【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题的关键．【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x的一元一次方程ax+b=0的解是x=-2，则关于y的一元一次方程ay-1【答案】－1【分析】根据题中两个方程的关系，可知y-1=-2，即可求出y的值．【详解】解：∵关于x的一元一次方程ax+b=0的解是x=-2，∴-2a+b=0，∴b=2a，把b=2a代入关于y的一元一次方程a（y-1）+b=0得，a（y-1）+2a=0，∵a≠0，∴（y-1）+2=0，解得，y=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟记使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解题的关键．【题型3根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x的方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍，则m的值为（

）A．12 B．14 C．-1【答案】C【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．【详解】解：方程4x-2m=3x-1，解得：x=2m-1，方程x=2x-3m，解得：x=3m，根据题意得：2m-1=6m，解得：m=-14故选：C．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程12(x+1)=1的解与关于x的方程1-k2【答案】-3【分析】求出第一个方程的解，利用倒数定义求出第二个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值．【详解】解：12解得：x=1，1的倒数为1，把x=1代入1-k2得：1-k2解得：k=-3，故答案为：-3．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程3x+6=0与关于y的方程5y+2m=18的解互为相反数，则m=____．【答案】4【分析】先解出x的值，再根据相反数的定义得到y的值，最后代入方程求出m的值．【详解】解：解方程3x+6=0，解得x=-2，∵这两个方程的解互为相反数，∴y=2是方程5y+2m=18的解，将y=2代入原方程，得到10+2m=18，解得m=4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元一次方程的解和相反数的定义，掌握方程的解和解一元一次方程是解答本题的关键．【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程2-3(x+1)=0的解与关于x的方程k+x2-2=2x的解互为倒数，求【答案】k=-5【分析】先求出第一个方程的解是x=-13，把x=-3代入第二个方程得出k-32【详解】解方程2-3(x+1)=0得：x=-13∵方程2-3(x+1)=0的解与关于x的方程k+x2∴关于x的方程k+x2-2=2x的解是x=-3把x=-3代入方程k+x2-2=2x得：解得k=-5．【点睛】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．【题型4错解一元一次方程问题】【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x的方程x+23=x+a5-2时，小颖在去分母的过程中，右边的“-2A．x=-10 B．x=16 C．x=203 【答案】A【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．【详解】解：由题意得5x+2=3x+a∴5×4+2解得a=20∴x+23去分母得：5x+2去括号得：5x+10=3x+20-30，移项得：5x-3x=20-30-10，合并得：2x=-20，解得：x=-10，故选A．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程x+12-2x-36=1去分母，得到3x+3-2A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同【答案】C【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号．【详解】解：方程x+12-2x-3去括号得：3x+3-2x+3=6，故选：C．【点睛】本题考查解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解.需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号.【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．（1）求a的值；（2）求此方程正确的解．【答案】（1）

（2）【分析】（1）1）把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值；（2）把a的值代入原方程，求出解即可．【详解】（1）把x＝1代入2﹣＝3a+2x得：2+＝3a+2，解得：a＝；（2）把a＝代入原方程得：2﹣＝﹣2x，去分母得：6﹣（2x﹣4）＝2﹣6x，去括号得：6﹣2x+4＝2﹣6x，移项得：﹣2x+6x＝﹣10+2，合并同类项得：4x＝﹣8，解得：x＝﹣2．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程3a-x=13（x为未知数）时，误将-x看作+x，解得方程的解x=-2，则a＝________，原方程的解为________．【答案】

5

x=2【分析】根据-x看作+x，解得方程的解x=-2，得3a+(-2)=13，解出a的值，再计算方程．【详解】∵-x看作+x，解得方程的解x=-2∴3a+(-2)=13解得a=5∴原方程为：3×5-x=13解得x=2．故答案为：5；x=2．【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是理解方程的解的定义，以及解一元一次方程．【题型5解一元一次方程】【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是x=()A． B．- C． D．-【答案】D【详解】方程两边同乘以24可得-8[]-2=-1，去括号，可得-8（）-2=-1，即-4-4x+-2=-1，4x=-5+，解得x=-.故选D.【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程：(1)4-2(x+4)=2(x-1)；(2)13(3)0.3x-0.40.2【答案】(1)x=-0.5(2)x=(3)x=4【分析】（1）按照去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；（2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；（3）按照去分母，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可．（1）解：4-2(x+4)=2(x-1)去括号得：4-2x-8=2x-2，移项得：-2x-2x=-2-4+8，合并得：-4x=2，解得x=-0.5；（2）解：1去分母得：10x+7去括号得：10x+70=12-15x+75，移项得：10x+15x=12+75-70，合并得：25x=17，解得x=17（3）解：0.3x-0.4整理得3x-4去分母得：33x-4去括号得：9x-12+12=10x-4，移项得：9x-10x=-4+12-12，合并得：-x=-4，解得x=4．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）解方程：(1)32-x(2)x+12(3)9-3y=5y+5．(4)3x-14【答案】(1)x=1(2)x=1(3)y=1(4)x=-1【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（3）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．（1）解：36-3x=4-x-3x+x=4-6-2x=-2x=1；（2）解：x+13（x+1）-6=2（3x-2）3x+3-6=6x-43x-6x=-4+6-3-3x=-1x=13（3）解：9-3y=5y+5-3y-5y=5-9-8y=-4y=12（4）解：3x-13（3x-1）-12=2（5x-7）9x-3-12=10x-149x-10x=-14+3+12-x=1x=-1．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是____.【答案】1010【分析】方程左边整理后，利用折项法变形，计算即可求出解.【详解】∵∴方程整理为：即即化简得，，即整理得，解得，故答案为：1010.【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a的形式转化.【题型6探究一元一次方程解的情况】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【答案】D【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n∵有至少两个不同的解，∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，即m＝﹣2，n＝6，把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．故选：D．【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程•a=﹣（x﹣6）无解，则a的值是（

）A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1【答案】A【详解】解：去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得，（2a-2）x=6，因为无解，所以2a﹣2=0，即a=1．故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程无解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程．【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）关于的方程，分别求为何值时，原方程：（1）有唯一解（2）有无数多解（3）无解【答案】（1）m≠3时方程有唯一解；（2）当m=3,n=-4时方程有无数多解；（3）当m=3,n≠-4时方程无解．【分析】方程ax=b的解有三种情况：当a=0,b≠0方程无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解.根据以上三条可解本题.【详解】解：，（3-m）x=n+4，（1）当3-m≠0时，即m≠3时方程有唯一解；（2）当3-m=0且n+4=0时，即m=3,n=-4时方程有无数多解；（3）当3-m=0且n+4≠0时，即m=3,n≠-4时方程无解．【点睛】本题考查了一元一次方程三种解的情况，熟知当a=0,b≠0方程ax=b无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解是解此题的关键．【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．【答案】z=0【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．【详解】关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=2a-113a∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，∴a≠0，∵2+y=（b+1）y，∴2+y=by+y，∴by=2，∴y=2b∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，∴b=0，关于z的方程az=b可以简化为：z=ba∵a≠0，b=0，∴z=0．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．【题型7同解问题】【例7】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程：2x-1+1=x与3x+m【答案】y=-【分析】先求出方程2x-1+1=x的解，将解代入3x+m【详解】解方程：2x-1∵方程2x-1+1=x与∴将x=1代入3x+m解得m=-2，将m=-2代入3-my3得3+2y2（3+2y）=3（-2-3y）解得y=-12【点睛】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键.【变式7-1】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．【答案】-5【分析】根据同解方程的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：由3x=2（x-1）解得x=-2，将x=-2代入2x-m=1，得-4-m=1，解得m=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程4x-5=3x-1的解与x+a2=【答案】8【分析】先求出4x-5=3x-1的解，然后代入x+a【详解】解：∵4x-5=3x-1解得：x=2；把x=2代入x+a22+a2解得：a=8；故答案为：8；【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．【变式7-3】（2022·黑龙江·哈尔滨美加外国语学校七年级阶段练习）若关于x的方程3x-7=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，求a2【答案】25【分析】先解方程4x+3=7得x＝1，把x＝1代入3x-7=2x+a求得a的值，把a的值代入a2【详解】解：由4x+3=7解得：x＝1，∵关于x的方程3x-7=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，∴把x＝1代入3x-7=2x+a得，3×1－7＝2×1＋a，解得a＝﹣6，∴a2+2a+1＝即a2【点睛】此题考查了一元一次方程得解、一元一次方程的解法、同解方程等知识，正确解一元一次方程是解答此题的关键．【题型8一元一次方程的解与参数无关】【例8】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程2kx+a3=1-x-bk6，无论k为何值，它的解总是【答案】9【分析】将x=1代入2kx+a3=1-x-bk【详解】将x=1代入2kx+a32k+a3∴4k+2a=6-1+bk，∴4k-bk=5-2a，∴k(4-b)=5-2a，由题意可知：b-4=0，5-2a=0，∴a=52，∴2a+b=5+4=9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．【答案】【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），∴2kx-2a=6-6x-3bk，整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，∵无论k为何值，方程的解总是2，∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，解得a=3，，∴-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程(b+1)x=12-4ka，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．【答案】a=0,b=11【分析】将方程的解代入原方程，并化简．因为无论k为何值，它的解总是1，即可列出4a=011-b=0，解出a和b【详解】把x=1代入方程得b+1=12-4ka，化简得4ka=11-b，∵k的值为全体实数，∴4a=0，且11-b=0，∴a=0，b=11．【点睛】本题考查一元一次方程的解．理解方程的解的定义“能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解答本题的关键．【变式8-3】（2022·山东滨州·七年级期末）若关于x的方程2kx+m3=2+x-nk6，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么【答案】﹣1【分析】将x=2代入原方程即可求出答案【详解】解：将x=2代入2kx+m3∴4k+m∴（8+n）k=14-2m，由题意可知：无论k为任何数时（8+n）k=14-2m恒成立，∴n+8=0，14-2m=0，∴n=-8，m=7，∴m+n=-8+7=-1，故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【题型9一元一次方程的解法在新定义中的运用】【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【答案】(1)9(2)m＝﹣3，n＝﹣2(3)-9【分析】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n（3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝-92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5（1）解：（1）解方程3x+k＝0得：x＝﹣k3∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣k3＝3﹣k解得：k＝92（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣12（mn+n∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣12（mn+n）＝﹣2+mn+n∴3mn+3n＝4，∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣23把n＝﹣23代入mn＝2得：m×（﹣2解得：m＝﹣3；（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝mn+n3∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴mn+n3＝3+mn+n∴mn+n＝-9∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n＝2（mn+n）＝2×（-9＝﹣9．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．【变式9-1】（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”．(1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值．(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．【答案】(1)15(2)±3【分析】（1）解方程2x-6=4，可得x=5，根据“友好方程”的定义可知，方程3x+m=0的解为x=-5，将x=-5代入到方程3x+m=0中并求解即可；（2）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为-n，根据题意，分两种情况讨论，当n-(-n)=6时和当-n-n=6时，分别求解即可．（1）解：解方程2x-6=4，可得x=5，若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，则有方程3x+m=0的解为x=-5，将x=-5代入到方程3x+m=0中，可得3×(-5)+m=0，解得m=15；（2）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为-n，根据题意，该“友好方程”的两个解的差为6，当n-(-n)=6时，解得n=3，当-n-n=6时，解得n=-3，综上所述，可得n=±3．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，理解“友好方程”的定义．【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为x=ba，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且2=4(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．【答案】(1)不是(2)m＝27【分析】（1）求出方程的解是x=2，再进行判断即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于m的方程，最后求出方程的解即可．（1）3+x=5，x=2，而2≠5所以3+x=5不是“商解方程”；（2）6+x=3(m-3)，6+x=3m-9，x=3m-9-6=3m-15，∵关于x的一元一次方程6+x=3(m-3)是“商解方程”，∴3(m-3)6解得：m=27【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．【变式9-3】（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下m2-n3=m-n2-3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得m2-n3=m-n2-3成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，【答案】3【分析】由题意可得82-n3=-8-n，求出n的值，即可求方程3x-6=n的解为x=5，再将x=5代入方程2【详解】解：∵（8，n）是“神奇数对”，∴82∴n=9，∴3x-6=9，∴x=5，∵方程3x-6=n与2x-1=3k的解相等，∴10-1=3k，∴k=3，故答案为：3．【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定义是解题的关键．【题型10含绝对值的一元一次方程】【例10】（2022·全国·七年级课时练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是（直接写出结果）．【答案】(1)x=2或x=(2)12或20(3)100【分析】（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可；（2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解；（3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解；（1）解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x=故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x=（2）方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20故，方程|a+b|的值为12或20（3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20；根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时，取最大值，最大值为100；故答案为：100．【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．【变式10-1】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．【答案】当k≥2时，x=－3±(k+2)或x=－3±(k－2)；当－2≤k<2时，x=－3±(k+2)；当k<－2时，原方程无解．【分析】将原方程拆成两个绝对值方程，然后再分别讨论求解即可．【详解】解：∵||x+3|－k|=2∴|x+3|－k=±2．①当|x+3|－k=2时，|x+3|=k+2，若k+2≥0，即k≥－2时，x+3=±(k+2)，即x=－3±(k+2)，若k+2<0，即k<－2时，方程无解．②当|x+3|－k=－2时，|x+3|=k－2，若k－2≥0，即k≥2时，x+3=±(k－2)，即x=－3±(k－2)，若k+2<0，即k<2时，方程无解．综上所述，当k≥2时，原方程的解为x=－3±(k+2)或x=－3±(k－2)；当－2≤k<2时，原方程的解为x=－3±(k+2)；当k<－2时，原方程无解．【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值方程讨论的技巧是解题的关键．【变式10-2】（2022·河北·武邑宏达实验学校八年级阶段练习）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.例：解绝对值方程：.解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是；②当时，原方程可化为，它的解是.原方程的解为或.（1）依例题的解法，方程算的解是_______；（2）尝试解绝对值方程：；（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：.【答案】（1）x=6或x=-6；（2）x=5或x=-1；（3）x=0或x=3.【分析】(1)分两种情况：、时，去绝对值符号解方程即可；(2)分两种情况：、时，去掉绝对值符号得到关于x的方程，解方程即可；(3)分三种情况：、、、x＞2时，去绝对值符号解方程即可.【详解】(1)分两种情况：①当时，原方程可化为，它的解是x=6；②当时，原方程可化为，它的解是x=-6.∴原方程的解为x=6或x=-6.(2)①当时，原方程可化为2（x-2）=6，它的解是x=5；②当时，原方程可化为-2（x-2）=6，它的解是x=-1；∴原方程的解为x=5或x=-1.(3)①当时，原方程可化为2-x+1-x=3，它的解是x=0；②当时，原方程可化为2-x+x-1=3，此时方程无解；③当x＞2时，原方程可化为x-2+x-1=3，它的解是x=3；∴原方程的解为x=0或x=3.【点睛】此题考查含有绝对值符号的一元一次方程的解法，先根据未知数的取值范围去掉绝对值符号得到方程，依次解方程即可得到原方程的解.【变式10-3】（2022·河南周口·七年级期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x-3|=2．解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．所以原方程的解是x=5或x=1．（1）解方程：|3x-2|-4=0．（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1【答案】（1）x=2或x=-；（2）b＜-1时，原方程无解；b=-1时，x=2；当x-2≥0时，x=b+3；当x-2＜0时，x=-b+1【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．【详解】解：（1）当3x-2≥0时，原方程可化为3x-2-4=0，解得x=2；当3x-2＜0时，原方程可化为-(3x-2)-4=0，解得x=-．所以原方程的解是x=2或x=-．（2）①当b+1＜0，即b＜-1时，原方程无解，②当b+1=0，即b=-1时：原方程可化为：x-2=0，解得x=2；③当b+1＞0，即b＞-1时：当x-2≥0时，原方程可化为x-2=b+1，解得x=b+3；当x-2＜0时，原方程可化为x-2=-(b+1)，解得x=-b+1．【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．专题3.3一元一次方程的应用【十二大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1和、差、倍、分问题】 1【题型2数字问题】 2【题型3行程问题】 2【题型4销售问题】 4【题型5工程问题】 5【题型6配套问题】 5【题型7调配问题】 6【题型8水流问题】 7【题型9隧道或过桥问题】 8【题型10几何图形问题】 8【题型11分段收费问题】 9【题型12方案选择问题】 10【题型1和、差、倍、分问题】【例1】（2019·全国·七年级课时练习）一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息，这群学生共有______人.【变式1-1】（2021·全国·七年级课时练习）儿子今年13岁．父亲今年40岁，是否有一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？【变式1-2】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为_______人．【变式1-3】（2021·全国·七年级专题练习）某初级中学初一年级学生在期中测试中，总成绩不达标的人数A校区和B校区共有600人，其中不达标的人数中，A校区人数比B校区人数的3倍还多40人．辅差工作任重而道远，年级组领导要求在期末测试中两区总成绩不达标的人数必须共减少120人，减少后使得两区总成绩不达标的人数中A校区人数是B校区人数的3倍．（1）期中测试中两个校区分别有多少名总成绩不达标的学生？（2）要完成年级期末测试要求，两个校区应该分别减少多少名总成绩不达标的学生？【题型2数字问题】【例2】（2022·黑龙江绥化·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（

）A．63 B．70 C．91 D．105【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．1【变式2-2】（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：______．【变式2-3】（2022·全国·七年级）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3•转化为分数时，可设0.3•＝x，则x＝0.3＋110x，解得x＝13，即0.3•＝1【题型3行程问题】【例3】（2022·上海民办民一中学期中）甲、乙两车同时从A地出发，沿同一条笔直的公路匀速前往相距360km的B地，半小时后甲发现有东西落在A地，于是立即以原速返回A地取物品，当甲车到达A地时，两车相距60千米，取到物品后立即以比原来速度每小时快10km继续前往B地（所有掉头时间和领取物品的时间忽略不计），当乙车行驶了3小时的时候被甲车追上，则甲车到达B地时，乙车离B地的距离是________km．【变式3-1】（2022·四川巴中·七年级期中）甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍，则甲运动4【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）阅读下列材料，完成相应任务．学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息：我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字动，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K学头，表示快速旅客列年，等等．随着交通的发展吕梁站至太原南站已并通了多次列车，其中“C150”次列车的平均速度是120km/h，“K1334”次列车的平均速度是90km/h，并且“C150”次列车从吕梁站至太原南站所时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．兴趣小组提出了以下两个问题：(1)“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？(2)吕梁站至太原南站的路程为多少km？小彬列的方程是“x90任务一：①小彬同学所列方程中的x表示，②小彬同学列方程所用的数量关系为（“路程÷速度＝时间“除外）；任务二：小亮的做法是：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，请你帮助小亮解决上述两个问题，写出解答过程．【变式3-3】（2021·全国·七年级单元测试）问题一：如图①，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发，若甲的速度为40km/h，乙的速度为30km/h，设甲追到乙所花时间为xh，则可列方程为；问题二：如图②，若将线段AC弯曲后视作钟表的一部分，线段AB对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），已知∠AOB＝30°．（1）分针OC的速度为每分钟转动度；时针OD的速度为每分钟转动度；（2）若从1：00起计时，几分钟后分针与时针第一次重合？（3）在（2）的条件下，几分钟后分针与时针互相垂直（在1：00～2：00之间）？【题型4销售问题】【例4】（2022·重庆巴蜀中学二模）某商家为母亲节促销活动做准备，采购了一批三种品牌的燕窝：小仙炖、燕之屋、仰燕堂，它们的数量（盒）之比为2：3：1．由于品质优良宣传力度大，预订量暴增，于是加紧采购了第二批同种类型的燕窝，其中小仙炖增加的数量占总增加数量的12，此时小仙炖总数量达到三种燕窝总量的49，而燕之屋和仰燕堂的总数量恰好相等．若小仙炖、燕之屋、仰燕堂三种燕窝每盒的成本分别为500元、420元，380元，小仙炖的售价为每盒640元，活动中将小仙炖的18【变式4-1】（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．【变式4-2】（2022·山东滨州·八年级期末）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．若王大叔一次付款90元，则能购买到___kg的种子．【变式4-3】（2022·江苏·九年级专题练习）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？【题型5工程问题】【例5】（2021·全国·七年级单元测试）学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为_______人．【变式5-1】（2021·江苏·无锡市太湖格致中学七年级阶段练习）挖一条水渠，甲、乙两队单独做分别需要20天、15天完成．现在先由甲队单独挖6天，然后两人合作挖一条水渠要用____天．【变式5-2】（2019·安徽·中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多12(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用政府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？【题型6配套问题】【例6】（2021·全国·七年级课时练习）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼．制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉．现共有面粉【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．【变式6-2】（2022·陕西汉中·七年级期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．(1)该工厂有男工、女工各多少人？(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？【变式6-3】（2021·上海市南洋模范初级中学期末）某家具厂的设计师根据1:10的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．(1)由刻度尺在图纸上测量可得，AB=4cm、BC=1.5cm、BD=6cm，所以这个柜子的表面积是______dm(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？【题型7调配问题】【例7】（2021·全国·七年级专题练习）甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（

）A．56+x=32-x B．56-x=32+x C．56-x=32 D．32+x=56【变式7-1】（2021·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）某工厂甲车间有54人，乙车间有48人，要使甲车间人数是乙车间人数的2倍，则需要从乙车间调往甲车间_____人．【变式7-2】（2022·河北保定·七年级期末）在手工制作课上，老师组织七年级2班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级2班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．(1)七年级2班有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗?如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？【变式7-3】（2020·浙江杭州·七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人.（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处?（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90<m<100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?【题型8水流问题】【例8】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了6小时，已知船在静水的平均速度是30千米/小时，求水流速度．【变式8-1】（2022·全国·七年级专题练习）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是【变式8-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程．例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．兵兵：2(x+3)=2.5(x-3)

倩倩：x根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式8-3】（2020·贵州·沿河县第五中学七年级阶段练习）“绿水青山就是金山银山”的科学论断，强调不以环境为代价推动经济增长．2017年10月“树立和践行绿水青山就是金山银山的理念”写入中国共产党的党代会报告，且在表述中与“坚持节约资源和保护环境的基本国策”一并成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的思想和基本方略．某游客乘坐一艘轮船在A，B两个码头之间航行旅游，顺水航行需4h，逆水航行需5h．已知水流速度为2km/h．（1）求轮船在静水中的航行速度．（2）求轮船在A，B两个码头之间航行旅游往返一次的平均速度．（3）若游客从A码头轮船启动顺水出发时，其中携带的一个旅游包不慎掉入水中，游客到达B码头后才发现旅游包不见了，立刻恳请船长将船调头按船在静水中的速度原路返回查找，（假设旅游包能从A码头自由漂流到B码头），请问游客从B码头出发多少时间与旅游包相遇？【题型9隧道或过桥问题】【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．【变式9-1】（2022·全国·七年级）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挢上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．合作探究：（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程．（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车经过的这座大桥的长度．【变式9-2】（2023·江苏·七年级专题练习）一列火车长110米，现在以30km/h的速度向北缓缓行驶，9：20追上向北行走的路人甲，15秒离开甲，9：26迎面遇上向南行走的路人乙，12秒钟后离开乙．若路人甲、乙行走速度不变，请问路人甲和乙相遇时间是火车迎面遇上路人乙后_______分钟．【变式9-3】（2022·广东·九年级专题练习）一列火车匀速行驶，经过（从车头进人到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度．【题型10几何图形问题】【例10】（2021·全国·七年级单元测试）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.【变式10-1】（2022·全国·七年级专题练习）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（

）A．48cm2 B．45cm2 C．40cm2【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）在边长为9cm的正方形ABCD中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域I的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大6cm，则正方形纸板的边长为______【变式10-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【题型11分段收费问题】【例11】（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（

）元．汽车修理费x元赔偿率0＜x≤50060%500＜x≤100070%1000＜x≤300080%……A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5【变式11-1】（2022·山东滨州·八年级期末）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．若王大叔一次付款90元，则能购买到___kg的种子．【变式11-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．气量分档用气量（立方米）价格（元/立方米）调整前调整后第一档年用气量≤300年用气量≤4002.73第二档300＜年用气量≤600400＜年用气量≤10003.28第三档年用气量＞600年用气量＞10003.82人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．(1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为元，调整后气费为元；(2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？【变