2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题4.8 几何图形初步章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列第4章几何图形初步章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022·山东烟台·期中）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（

）A．线段AB和线段BA是同一条线段B．直线AB和直线BA是同一条直线C．图中以点A为端点的射线有两条D．射线AB和射线BA是同一条射线2．（3分）（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短3．（3分）（2022··九年级期中）在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（

）A．∠AOC=∠BOC B．∠BOC>∠AOC C．∠AOC>∠BOC D．∠AOB>∠AOC4．（3分）（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠AC．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C5．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（

）A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条6．（3分）（2022·山东烟台·期中）如图线段AB=8cm，点P在射线AB上从点A开始，以每秒2cm的速度沿着射线AB的方向匀速运动，则PB=1A．83秒 B．3秒 C．83秒或1637．（3分）（2022·江西景德镇·七年级期中）已知∠α，∠β互补，那么∠β与12(∠α−∠β)之间的关系是（A．和为45° B．差为45° C．互余 D．差为90°8．（3分）（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（

）A．4 B．6或8 C．6 D．89．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，直线AB与CD相交于点O,∠AOC=60∘，一直角三角尺EOF的直角顶点与点O重合，OE平分∠AOC，现将三角尺EOF以每秒3∘的速度绕点O顺时针旋转，同时直线CD也以每秒9∘的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40），当CD平分A．2.5 B．30 C．2.5或30 D．2.5或32.510．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,NA．20−1029 B．20+1029二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022·四川·三台博强蜀东外国语学校七年级阶段练习）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD−∠BOC|＝30°，∠COE的度数=____．12．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图，∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，那么图中小于或等于90°的角有____个，它们的度数之和是_____．13．（3分）（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法___________．14．（3分）（2022·广东·龙门县平陵中学七年级期中）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为_____．15．（3分）（2022·河南平顶山·七年级期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，16．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD,∠BOD=4∠DOE,∠COE=β，则∠BOE的度数为______．(用含β的式子表示)三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：(1)画射线AB；(2)连接BC；(3)在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．18．（6分）（2022·贵州·遵义市播州区新蓝学校七年级阶段练习）如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有_____条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．19．（8分）（2022·河南安阳·七年级期末）（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，∠AOC:∠BOC=8:1，OD是∠AOC内部的一条射线，∠COD=2∠COB，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数；（2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．∠AOC:∠BOC=8:1，∠COD=2∠COB，射线OE平分∠AOC．当∠BOC=α0°<α<180°时，则∠DOE的度数为．（用含α20．（8分）（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________(3)如图3，有一张边长为40cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．②若四角各剪去了一个边长为5cm的小正方形，这个纸盒的容积．21．（8分）（2022·山西临汾·七年级阶段练习）综合与探究已知线段AB=15，P，Q是线段AB上的两点（点P在点Q的左边），且PQ=5．(1)如图1，若点C在线段AB上，且AC=12BC，当P为AC(2)若M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点．①如图2，当线段PQ在线段AB上时，求线段MN的长；②当线段PQ在线段AB的延长线上时（点P，Q都在AB的延长线上），猜想线段MN的长是否发生变化？请说明理由．22．（8分）（2022·全国·七年级课时练习）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求MNAB23．（8分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．第4章几何图形初步章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022·山东烟台·期中）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（

）A．线段AB和线段BA是同一条线段B．直线AB和直线BA是同一条直线C．图中以点A为端点的射线有两条D．射线AB和射线BA是同一条射线【答案】D【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．【详解】线段AB和线段BA是同一条线段，故A正确；直线AB和直线BA是同一条直线，故B正确；图中以点A为端点的射线有两条，故C正确；射线AB和射线BA不是同一条射线，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．2．（3分）（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短【答案】D【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短．故选D．【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．3．（3分）（2022··九年级期中）在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（

）A．∠AOC=∠BOC B．∠BOC>∠AOC C．∠AOC>∠BOC D．∠AOB>∠AOC【答案】D【分析】利用角的大小进行比较，即可完成解答.【详解】解：因为射线OC在∠A0B的内部，那么∠AOC在∠A0B的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB>∠AOC.故选D【点睛】本题考查角的大小比较，关键是找到正确的比较方法.4．（3分）（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠AC．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【答案】D【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案．【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°0.25°＝0.25×60′＝15′，∴∠C＝30°15′，∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C故选：D．【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解．5．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（

）A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条【答案】C【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果．【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，当A、B、C三点不在在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，故选：C．【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．6．（3分）（2022·山东烟台·期中）如图线段AB=8cm，点P在射线AB上从点A开始，以每秒2cm的速度沿着射线AB的方向匀速运动，则PB=1A．83秒 B．3秒 C．83秒或163【答案】C【分析】根据题意可知，当PB=13AB时，点P可以位于点B【详解】解：由已知当PB=13AB时，PB=8设点P运动时间为t秒，则AP=2t当点P在B点左侧时2t+83解得t=83当点P在B点左侧时2t-83解得t=16所以t=83或t=16故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．7．（3分）（2022·江西景德镇·七年级期中）已知∠α，∠β互补，那么∠β与12(∠α−∠β)之间的关系是（A．和为45° B．差为45° C．互余 D．差为90°【答案】C【分析】由条件可得12(∠α−∠β)=12(∠α+∠β−2∠β),【详解】解：∵∠α，∠β互补，∴∠α+∴1∴∠β+∴∠β与12故选C【点睛】本题考查的是互余，互补的两个角之间的关系，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键．8．（3分）（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9，BD=2，若点E在直线AD上，且EA=1，求BE的长为（

）A．4 B．6或8 C．6 D．8【答案】B【分析】点B为CD的中点，根据中点的定义，得到CD=2BD，由BD=2便可求得CD=4，然后再根据AC=AD-CD，便可求出AC=5；由于E在直线AD上位置不明定，可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情况求解．【详解】解：∵点B为CD的中点，BD=2，∴CD=2BD=4，∵AD=9，∴AC=AD−CD=9−4=5；①若E在线段DA的延长线，如图1，∵EA=1，AD=9，∴ED=EA+AD=1+9=10，∵BD=2，∴BE=ED−BD=10−2=8，②若E线段AD上,如图2，EA=1，AD=9，∴ED=AD−EA=9−1=8，∵BD=2，∴BE=ED−BD=8−2=6，综上所述，BE的长为8或6．【点睛】本题考查了求线段长度，依据点在直线上的位置分类讨论是解题关键．9．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，直线AB与CD相交于点O,∠AOC=60∘，一直角三角尺EOF的直角顶点与点O重合，OE平分∠AOC，现将三角尺EOF以每秒3∘的速度绕点O顺时针旋转，同时直线CD也以每秒9∘的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40），当CD平分A．2.5 B．30 C．2.5或30 D．2.5或32.5【答案】D【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的OC平分∠EOF时，∠COE=45°；当转动较大角度的OD平分∠EOF时，∠DOE=45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值．【详解】解：分两种情况：①如图OC平分∠EOF时，∠AOE=45°，即9t+30°−3t=45°，解得t=2.5；②如图OD平分∠EOF时，∠DOE=45°，即9t−180°+30°−3t=45°，解得t=32.5．综上所述，当CD平分∠EOF时，t的值为2.5或32.5．故选：D．【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．10．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,NA．20−1029 B．20+1029【答案】A【分析】根据MN=20，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M【详解】解：∵MN=20，M1、N∴M1∵M2、N∴M2根据规律得到Mn∴M1【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022·四川·三台博强蜀东外国语学校七年级阶段练习）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，|∠BOD−∠BOC|＝30°，∠COE的度数=____．【答案】142.5°或127.5°【分析】根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数，然后根据对顶角相等，可求∠AOC和∠AOD的度数，然后由角平分线的性质，可求∠AOE的度数，最后根据∠COE=∠AOC+∠AOE，即可求出∠COE的度数．【详解】解：∵|∠BOD−∠BOC|＝30°，∴∠BOD−∠BOC＝±30°，当∠BOD-∠BOC=30°，如图，∵∠BOC与∠BOD是邻补角，∴∠BOC+∠BOD=180°，∵∠BOD-∠BOC=30°，∴∠BOC=∠BOD-30°，∴∠BOD-30°+∠BOD=180°，∴∠BOD=105°，∴∠BOC=105°-30°=75°，∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOD=∠BOC=75°，∠AOC=∠BOD=105°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠AOD∵∠COE=∠AOC+∠AOE，∴∠COE=105°+37.5°=142.5°．当∠BOD-∠BOC=-30°，则∠BOC-∠BOD=30°，如图，∵∠BOC与∠BOD是邻补角，∴∠BOC+∠BOD=180°，∵∠BOC-∠BOD=30°，∴∠BOD=∠BOC-30°，∴∠BOC+∠BOC-30°=180°，∴∠BOC=105°，∴∠BOD=105°-30°=75°，∵∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOD=∠BOC=105°，∠AOC=∠BOD=75°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠AOD∵∠COE=∠AOC+∠AOE，∴∠COE=75°+52.5°=127.5°，综上：∠COE=142.5°或127.5°，故答案为：142.5°或127.5°．【点睛】此题考查了邻补角和对顶角及角平分线的定义，根据∠BOC与∠BOD是邻补角及∠BOC=∠BOD-30°，求出∠BOC和∠BOD的度数是解题的关键．12．（3分）（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图，∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，那么图中小于或等于90°的角有____个，它们的度数之和是_____．【答案】

10

450°【分析】先找到小于或等于90度的角，然后计算它们的度数和即可．【详解】解：由题意得小于或等于90度的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，一共10个角，∴∠∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=3∠AOE+∠BOD+∠AOC+∠COD+∠BOD+∠DOE+∠BOD=4∠AOE+2∠BOD∵∠BOD＝45°，∠AOE＝90°，∴原式=450°，故答案为：10；450°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，正确理清角之间的关系是解题的关键．13．（3分）（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法___________．【答案】两种【分析】根据正方体的展开图，田七和凹字要放弃，故只能是一四一型，根据同行隔一个和Z字型找相对面，只剩下第二行2的左边和4的右边两个位置可以添加．【详解】解：由题意得：1和5是相对面，2和4是相对面，只剩下3和3成相对面，故正方形的位置可以在2的左边或4的右边两种添法；故答案为：两种．【点睛】本题考查正方体的展开图．熟练掌握正方体的11种展开图，以及找相对面的方法是解题的关键．14．（3分）（2022·广东·龙门县平陵中学七年级期中）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为_____．【答案】12cm或3cm##3cm或12cm【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到绳子对折成线段AB时，哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．【详解】解：如图，∵AP：PB＝1：3，∴2AP＝23PB＜PB①若绳子是关于A点对折，∵2AP＜PB，∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝18cm，∴三段绳子中最短的一段的长为：2AP＝23②若绳子是关于B点对折，∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝18cm，∴PB＝9cm，∴AP＝13故答案为：12cm或3cm【点睛】本题考查了线段的和差倍份，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，学会分类讨论是解题的关键．15．（3分）（2022·河南平顶山·七年级期末）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，【答案】3或9【分析】根据题意分两种情况讨论：当点P在线段MN之间时；当点P在MN的延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可．【详解】解：如图所示，当点P在线段MN之间时，根据题意可得：P1P1当点P在MN的延长线上时，如图所示：根据题意得：MN=6cm，P2∴P2故答案为：3或9．【点睛】题目主要考查线段的和差计算，理解题目中新定义的“半距点”是解题关键．16．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD,∠BOD=4∠DOE,∠COE=β，则∠BOE的度数为______．(用含β的式子表示)【答案】270°－3β【分析】先求出∠AOD=180∘−4∠DOE，利用角平分线的性质求出∠COD=12∠AOD=90∘−2∠DOE，由【详解】∵∠AOD+∠BOE=180∘，∴∠AOD=180∵OC平分∠AOD，∴∠COD=12∵∠COE=∠COD+∠DOE，且∠COE=β，∴90∘∴90∘∴∠DOE=90∵∠BOD=4∠DOE,∠BOD=∠BOE+∠DOE，∴∠BOE=3∠DOE=270°－3β故答案为：270°－3β.【点睛】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：(1)画射线AB；(2)连接BC；(3)在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据射线的定义直接作图即可；（2）直接连接BC即可；（3）根据两点之间线段最短，连接AC与l相交即为所求点．（1）解：如图，射线AB即为所求．（2）线段CB即为所求．（3）如图，连接AC交直线l于点E，点E即为所求．【点睛】本题考查作图﹣简单作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（6分）（2022·贵州·遵义市播州区新蓝学校七年级阶段练习）如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有_____条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【答案】(1)6(2)①=；②AD＝20cm【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．19．（8分）（2022·河南安阳·七年级期末）（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，∠AOC:∠BOC=8:1，OD是∠AOC内部的一条射线，∠COD=2∠COB，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数；（2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．∠AOC:∠BOC=8:1，∠COD=2∠COB，射线OE平分∠AOC．当∠BOC=α0°<α<180°时，则∠DOE的度数为．（用含α【答案】（1）40°；（2）2α或6α【分析】（1）先根据∠AOC：∠BOC=8：1，求出∠BOC和∠AOC，再根据∠COD=2∠COB，求出∠COD，再根据OE平分∠AOC求出∠COE，从而可得∠DOE；（2）分情况画出图形，依据（1）中的方法求解即可．【详解】解：（1）∵点A、O、B在同一条直线上，∴∠AOC+∠BOC=180°，∵∠AOC：∠BOC=8：1，∴∠BOC=20°，∠AOC=160°．∵∠COD=2∠COB，∴∠COD=40°，∴∠AOD=180°-∠COB-∠COD=120°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=12∠AOC∴∠DOE=∠COE-∠COD=40°；（2）当OD在∠AOB内部时，∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α，∴∠AOC=8α，∵∠COD=2∠COB，∴∠COD=2α，∴∠AOD=∠AOC-∠COD=6α，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=12∠AOC=4α∴∠DOE=∠COE-∠COD=2α；当OD在∠AOB外部时，∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α，∴∠AOC=8α，∵∠COD=2∠COB，∴∠COD=2α，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=10α，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=12∠AOC=4α∴∠DOE=∠COE+∠COD=6α，故答案：2α或6α．【点睛】本题考查了角的计算、列代数式、角平分线定义，解决本题的关键是分两种情况进行计算．20．（8分）（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________(3)如图3，有一张边长为40cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．②若四角各剪去了一个边长为5cm的小正方形，这个纸盒的容积．【答案】(1)C(2)环(3)①见解析，②4500c【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；（3）①画出相应的图形即可；②根据折叠得出高，表示底面的长和宽即可得这个纸盒的底面积；底面积乘以高求容积即可．（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，∴展开图有5个面，再根据正方体的展开图的特征，故A选项、B选项中图形不符合题意，选项C的图形符合题意，选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，故选项D不符合题意；故选项C中的图形能够折叠成一个无盖的正方体纸盒；故选：C（2）解：解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，∴与“小”字相对的字是“环”，答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是“环”；故答案为：环（3）解：①所画出的图形如图所示：②纸盒的容积为5×40−2×5答：纸盒的容积为4500cm【点睛】本题考查正方体的表面展开图，正方形相对两面上的字，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．21．（8分）（2022·山西临汾·七年级阶段练习）综合与探究已知线段AB=15，P，Q是线段AB上的两点（点P在点Q的左边），且PQ=5．(1)如图1，若点C在线段AB上，且AC=12BC，当P为AC(2)若M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点．①如图2，当线段PQ在线段AB上时，求线段MN的长；②当线段PQ在线段AB的延长线上时（点P，Q都在AB的延长线上），猜想线段MN的长是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)7.5(2)①10；②线段MN的长不发生变化为定值10，理由见解析【分析】（1）先根据AC=12BC求出AC=5，BC=10，再根据线段中点的定义求出CP（2）①先根据线段中点的定义得到AP=2PM，BQ=2QN，再推出AP+BQ=10得到，PM+QN=5，则MN=PM+PQ+QN=10；②分图2-1和图2-2两种情形先求解，同理可证其他情形下MN也为定值10．（1）解：∵AC=12BC∴AB=AC+BC=3AC=15，∴AC=5，∴BC=10，∵P是线段AC的中点，∴AP=CP=1∵PQ=5，∴CQ=PQ−CP=2.5，∴BQ=BC−CQ=7.5；（2）解：①∵M是线段AP的中点，N是线段BQ的中点，∴AP=2PM，BQ=2QN，∵AB=AP+PQ+BQ=15，PQ=5，∴AP+BQ=10，∴2PM+2QN=10，∴PM+QN=5，∴MN=PM+PQ+QN=10；②线段MN的长不发生变化为定值10，理由如下：如图2-1所示，当点M在AB之间，点N在PQ之间，设BP=x，∴AP=AB+BP=15+x，∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，∴PM=AM=1∴PN=BN−BP=2.5+0.5x−x=2.5−0.5x，∴MN=PM+PN=7.5+0.5x+2.5−0.5x=10；如图2-2所示，当点M在AB之间，点N在BP之间时，设BP=x，∴AP=AB+BP=15+x，∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，∴PM=AM=1∴PN=BP−BN=x−2.5−0.5x=0.5x−2.5，∴MN=PM−PN=7.5+0.5x−0.5x+2.5=10，同理可证线段PQ在AB延长线上的其他所有情形下，MN=10，综上所述，线段MN的长不发生变化为定值10．【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键．22．（8分）（2022·全国·七年级课时练习）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求MNAB【答案】（1）2cm，2cm；（2）①3cm；②12【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；（2）①根据C、D的运动速度知BD=3MC，再由已知条件MD=3AC求得MB=3AM，所以AM=1（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．【详解】解：（1）根据题意知，CM=2cm，BD=6cm，∵AB=12cm，AM=4cm，∴BM=8cm，∴AC=AM−CM=2cm，DM=BM−BD=2cm，故答案为：2cm，2cm；（2）①根据C、D的运动速度知：BD=3MC，∵MD=3AC，∴BM+BD=3(AM+CM)，即MB=3AM，∵AM+BM=AB，∴AM+3AM=AB，∴AM=1②当点N在线段AB上时，如图，∵AN−BN=MN，又∵AN−AM=MN，∴BN=AM=3cm，∴MN=AB−AM−BN=12−3−3=6cm，∴MNAB当点N在线段AB的延长线上时，如图，∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB，∴MN=AB=12cm，∴MNAB综上所述：MNAB【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．23．（8分）（2022·全国·七年级课时练习）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)20(2)∠BOD=50°；∠COE=70°(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．（1）解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；（3）∠COE-∠BOD=20°理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，即∠COE-∠BOD=20°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．专题5.1有理数十六大必考点【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1相反意义的量】 1【考点2有理数的概念及分类】 2【考点3相反数】 2【考点4绝对值】 3【考点5根据数轴化简绝对值】 3【考点6相反数、绝对值、倒数综合】 4【考点7有理数的混合运算】 4【考点8新定义中的有理数运算】 5【考点9科学记数法】 5【考点10有理数乘方的应用】 6【考点11有理数的大小比较】 7【考点12阅读材料中的有理数运算】 7【考点13有理数的实际应用】 9【考点14正负数的实际应用】 10【考点15有理数中的规律探究】 11【考点16数轴与绝对值、动点的综合探究】 12【考点1相反意义的量】【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（

）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作(

)A．5m B．-5m C．+15m D．-1【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升5米，记作+5米，那么-3米表示_______________________________．【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店西边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向西走了60米，此时小明的位置在（

）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边40米 D．玩具店西边60米【考点2有理数的概念及分类】【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．-34，1，3.5，0，【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在23，-4.3，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，π【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：-|-3|，0.23，(-2)2，0，(-3)3，--20062，-15，-【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：15，-19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3·，π(1)分数集合{…}；(2)自然数集合{…}；(3)非正整数集合{…}；(4)非负有理数集合{…}．【考点3相反数】【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．2与12 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【考点4绝对值】【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若|a|=12，且a<0，则a+1=【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于_____．【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有________．【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：3-π【考点5根据数轴化简绝对值】【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：-b【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题：（1）若a＝2，将a表示的点沿数轴方向平移5个单位，得到的点表示的数为；（2）数b与其相反数相距10个单位长度，则b表示的数是；（3）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点a，b，c三点．(1)c-b0；c-a0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化简|c-b|-|c-a|+|a-1|(3)求a|a|【考点6相反数、绝对值、倒数综合】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n互为相反数，则|m-5+n|=______．【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）-3的绝对值加上-3的倒数等于______．【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）-1【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为1，求3a+3b+cd+e2的值．【考点7有理数的混合运算】【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)23(4)-【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方法．(1)-(2)(-2)×31×(-0.5)(3)-9+2×(-4)+(-6)÷(4)(-1)【变式7-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）计算:(1)(-3)×(-4)-15÷(2)((3)-(4)-【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算:(1)12+56(2)(-81)÷94×49÷【考点8新定义中的有理数运算】【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）计算：2⊙（﹣3）的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b．【变式8-1】（2022·山东·招远市教学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝a2-ab-b，例如：5*3＝【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题．（1）定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a⊕b=aa-b+1．计算如下：求-2⊕3（2）对于有理数a、b，若定义运算：a⊗b=a-ba+b，求【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|．如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）计算：65⊗0＝，﹣43⊗|﹣2|＝；（2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）；（3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立吗？请说理由．【考点9科学记数法】【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（

）A．2.15×107 B．0.215×108 C．【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（

）A．21.94×108元 B．2.194×108元 C．0.2194×10【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数613550⋯0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（A．4 B．6 C．5 D．10【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少3.12×106吨二氧化碳的排放量，把3.12×10A．312000 B．3120000 C．31200000 D．312000000【考点10有理数乘方的应用】【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2【考点11有理数的大小比较】【例11】（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（

）A． B． C．D．【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知，那么的大小关系是（

）A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a【变式11-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试比较a，b，－a，－b四个数的大小关系：____________________．【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）①|2|+|3||2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3||2﹣3|；④|2|+|0||2+0|．（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）当a、b同号时，|a|+|b||a+b|；当a、b异号时，|a|+|b||a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b||a+b|；综上，|a|+|b||a+b|．（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是．【考点12阅读材料中的有理数运算】【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3称为数列x1，x2，x3．将这个数列如下式进行计算：x1(1)数列-5，4，-3的“理想数值”为；(2)将-5，4，-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是，取得“理想数值”的最大值的数列是；(3)将“-1，7，a（a<0）”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求【变式12-1】（2022·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设S＝1+2+3+…+100，①则S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝100×1012所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．【变式12-2】（2022·上海黄浦·期中）每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如4211=3+911，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和(11如：对于假分数4211，则421199221所生成的自然数组为{3，1，4，2}．请根据上述阅读材料填空：(1)由假分数277(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______．【变式12-3】（2022·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为Tp,q．例如：T12,123=11+12+13+21+22+23=102(1)计算：T15,345(2)试说明：当q能够被3整除时Tp,q【考点13有理数的实际应用】【例13】（2022·湖北黄石·七年级期末）地球北纬30°线是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在这条纬线附近．峨眉山与黄山植物种类的比是11:5，已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物种类是庐山的58【变式13-1】（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？【变式13-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm．反之，当温度每下降2℃时，金属丝缩短0.002mm．把17℃的这种金属丝加热到63℃，再使它冷却降温到5℃，最后的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？【变式13-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）一个高为8cm，容积为50mL的圆柱形容器里装满了水，现把高【考点14正负数的实际应用】【例14】（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？【变式14-1】（黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级（五四制））某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次记录时距博物馆最远．(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远？在博物馆的什么方向？(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？【变式14-2】（山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）某小型体育用品加工厂计划一天生产300个足球，但由于各种原因，实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六七增减+3-5-2+9-7+12-3(1)求该厂本周实际生产足球的个数；(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；(3)该厂实行每日计件工资制，按计划完成每生产一个足球可得6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖2元，若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【变式14-3】（广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，请根据图完成如下问题：（1）A→C（，），B→D（，），C→D（＋1，）；（2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程；（3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出P的位置．【考点15有理数中的规律探究】【例15】（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程：1+11×31+13×5……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：1+15×7=______________．1+12n×(2n+2)=（2）根据规律计算：(1+1【变式15-1】（2022·湖南岳阳·七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空．，，，．则第10个算式是________，第个算式是________．根据以上规律解读以下两题：（1）求的值；（2）若有理数，满足，试求：的值．【变式15-2】（2022·湖南长沙·七年级期中）由乘方的定义可知：an=a×a×a×⋅⋅⋅×a（n个222(1)52(2)m2(3)计算：(-2)2021【变式15-3】（2022·宁夏·银川英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为

（

）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【考点16数轴与绝对值、动点的综合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅学校七年级阶段练习）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为a-b．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．(3)代数式x+8可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若x+8=5，则x(4)求代数式x+1010+x+505+【变式16-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）如图，数轴上点O为原点，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且a、b满足|a+4|+(b-2)(1)请直接写出点A所表示的数：______，点B所表示的数：______．(2)如图1，点P从A出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点P运动的同时，点Q从B出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点M到点P、原点O的距离始终相等，设点Q到点M之间的距离为d，求d的值．(3)如图2，在（2）的条件下，当点P、Q之间的距离等于14d时，N从点C出发（点C所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时P、Q仍按原速度、原方向运动，当N与P、Q都未相遇之前，是否存在点M，使点N到点P、Q距离之和等于点M到原点O距离，若存在，求点【变式16-2】（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校七年级期中）已知：a是－1，且a，b，c满足c-42（1）请直接写出b，c的值：b=______，c=______；（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：x+1-②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，PQ=QC，求t的值．【变式16-3】（2022·重庆·七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC=3-1，A，C之间的距离表示为：AC=|3-(-2)|=|3+2|若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA=|x-(-2)|=|x+2|，P，B之间的距离表示为：PB=|x-1|．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简|x+2|+|x-1|=_________；②若点P在线段AB上，化简|x+2|+|x-1|=_________；③若点P在点B右侧，化简|x+2|+|x-1|=_________；④由图可知，|x+2|+|x-1|的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：|x+3|+|x-1|+|x-2|的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．专题5.1有理数十六大必考点【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1相反意义的量】 1【考点2有理数的概念及分类】 3【考点3相反数】 5【考点4绝对值】 6【考点5根据数轴化简绝对值】 8【考点6相反数、绝对值、倒数综合】 11【考点7有理数的混合运算】 12【考点8新定义中的有理数运算】 16【考点9科学计数法】 18【考点10有理数乘方的应用】 19【考点11有理数的大小比较】 21【考点12阅读材料中的有理数运算】 24【考点13有理数的实际应用】 29【考点14正负数的实际应用】 31【考点15有理数中的规律探究】 36【考点16数轴与绝对值、动点的综合探究】 40【考点1相反意义的量】【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（

）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【答案】A【分析】根据正负数的相反意义即可得出答案．【详解】解：收入100元记作+100元，则−50元表示支出50元，故选：A．【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键．【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作(

)A．5m B．-5m C．+15m D．-1【答案】B【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可求解．【详解】解：如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作-5m．故选：B．【点睛】此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升5米，记作+5米，那么-3米表示_______________________________．【答案】电梯下降3米【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：“正”和“负”相对，∵电梯上升5米，记作+5米，∴-3表示电梯下降3米．故答案为：电梯下降3米．【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店西边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向西走了60米，此时小明的位置在（

）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边40米 D．玩具店西边60米【答案】A【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，根据数轴分析即可得出答案．【详解】如图，根据题意一书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，则文具店表式的数是-20，玩具店所表示的数是-100，依题意，40-60故此时小明的位置在文具店故选A【点睛】本题考查了数轴的应用，具有相反意义的量，有理数的加减的应用，根据数轴分析是解题的关键．【考点2有理数的概念及分类】【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．-34，1，3.5，0，【答案】见解析【分析】利用负数、分数、正整数和非负数的定义即可区分作答．【详解】解：【点睛】本题考查了负数、分数、正整数和非负数的的定义，理解相关定义是解答本题的关键．注意：有限小数和无限循环小数都属于分数即他们都是有理数．【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在23，-4.3，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，π【答案】23【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论．【详解】解根据有理数的定义及分类可知，23符合题意；-4.3是负数，不合题意；0.25符合题意；0符合题意；1.23符合题意；1.01001000100001…是无理数，不合题意；π故答案为：23，0.25，0，1.23【点睛】本题考查有理数的定义及分类，掌握有理数的分类是解决问题的关键．【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：-|-3|，0.23，(-2)2，0，(-3)3，--20062，-15，-【答案】-2【分析】根据正整数的概念知所给数中(-2)2，--20062，--10.2为正整数，得到m=3；根据非负数的概念知所给数中0.23，(-2)【详解】解：-|-3|=-3，0.23，(-2)2=4，0，(-3)3=-27，--∴正整数有：(-2)2，--20062，非负数有：中0.23，(-2)2，0，--20062，∴m-n=3-5=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：15，-19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3·，π(1)分数集合{…}；(2)自然数集合{…}；(3)非正整数集合{…}；(4)非负有理数集合{…}．【答案】(1)﹣19，215，﹣5.32，2.(2)15，0，5(3)﹣5，0(4)15，215，0，2.3，80%【分析】根据有理数的相关定义及分类方法解答即可．（1）解：分数集合{﹣19，215，﹣5.32，2.3故答案为：﹣19，215，﹣5.32，2.3（2）解：自然数集合{15，0，5}；故答案为：15，0，5；（3）解：非正整数集合{﹣5，0}；故答案为﹣5，0；（4）解：非负有理数集合{15，215，0，2.3，80%，故答案为：15，215，0，2.3，80%，【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记有理数的分类方法是解题的关键．【考点3相反数】【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．2与12 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 【答案】C【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．【详解】解：A、2+12＝5B、（﹣1）2+1＝2；C、﹣1+（﹣1）2＝0；D、2+|﹣2|＝4．故选：C．【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．【答案】A和C．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：由题意得：点A表示的数为：2，点B表示的数为：1，点C表示的数为：-2，点D表示的数为：-3，则A与C互为相反数，故答案为：A和C．【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，知道数轴上某点表示的数，并熟练掌握相反数的定义即可．【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【答案】C【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对各选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．【详解】解：根据相反数的定义可知：①﹣32与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）互为相反数．故选：C．【点睛】此题考查相反数的概念．解题的关键是掌握相反数的概念，明确两数互为相反数，它们的和为0．【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【答案】B