2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题8.1二元一次方程组及其解法【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程（组）的概念】 1【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】 2【题型3二元一次方程（组）的解的情况】 2【题型4二元一次方程组的一般解法】 3【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】 3【题型6构建二元一次方程组】 4【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 5【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】 5【题型9二元一次方程组的错解复原问题】 6【知识点1二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1二元一次方程（组）的概念】【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（

）①x−2y=3y+2z=7

②1x+y=4y−2xA．①②③ B．②③ C．③④ D．①②【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为_____．【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：①2x−y3=1；②x2+3y=3；③x2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识点2二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（

）组．A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（

A．2 B．-2 C．3 D．-3【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a2x+by=-1的两组解是x=−2y=−1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组x+2y=a−33x−y=2aA．当a=2时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍C．x，y满足关系式x−5y=6 D．不存在自然数a使得x，y均为正整数【题型3二元一次方程（组）的解的情况】【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组2x−ay=64x+y=7的解是整数，则整数aA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组mx−3y=92x−y=1无解，则m为（

A．9 B．6 C．−6 D．−9【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（

）A．方程3x-4y=1可能无解B．方程3x-4y=1有无数组解，即xy可以取任何数值C．方程3x-4y=1只有两组解，两组解是x=1D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个【题型4二元一次方程组的一般解法】【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组:(1)y=2x(2)2x+【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组：(1)x+y=20(2)x−y=3(3)用代入法解3x+4y=9(4)用加减法解7x−2y=−40【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组(1)y=2x3y+2x=8(2)x+3y=7x−3y=1(3)x−3y=−22x+y=3(4)m5【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组：(1)3x−y=5(2)x+7y=2【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，那么关于m、n的二元一次方程组【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m−32x+3y=8求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8再求乙同学：先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y的方程组x−2y=8−k  ，2x−y=4−5k的解满足x−y=10，则【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组x-由①，得x－y＝1.③把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝0.∴原方程组的解为x=这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x-【题型6构建二元一次方程组】【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（

）A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当x=−1时，y=3．（1）求k，b的值；（2）当x取何值时，y的值为−4？【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5．（1）求4⊗−3（2）若x⊗−y=−2，2y⊗x=−1【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝________．a、b的运算a＋ba－b（a＋2b）3运算的结果59m【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组x+2y=5k+1x−y=2k−5的解满足x+y=7,则k的值是（

A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y的方程组2x−3y=11−4mA．2 B．1 C．0 D．1【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，求【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x−y=1的一个解，则a=【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组3x−y=6ax−by=2的正确解与乙求关于x、y的方程组3x+y=6bx−ay=20的正确的解相同．则【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1【题型9二元一次方程组的错解复原问题】【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2，小明正确解得x=1y=−1，小文抄错了c，解得x=2y=−6，已知小文抄错了c【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组3x+ay=13,①bx−3y=9.②甲因看错①中的a得解为x=6,y=7,乙因看错了②中的b解得x=1，y=5，求a【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组2x+ay=61bx−7y=162，甲解得x=13y=7 ，乙解得x=9y=4.甲仅因为看错了方程(1)中y的系数【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方程组3x+□y=11,□x+2y=−2中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是x=1,专题8.1二元一次方程组及其解法【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程（组）的概念】 1【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】 3【题型3二元一次方程（组）的解的情况】 6【题型4二元一次方程组的一般解法】 8【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】 13【题型6构建二元一次方程组】 16【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 18【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】 20【题型9二元一次方程组的错解复原问题】 22【知识点1二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1二元一次方程（组）的概念】【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（

）①x−2y=3y+2z=7

②1x+y=4y−2xA．①②③ B．②③ C．③④ D．①②【答案】C【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定．【详解】解：①x−2y=3y+2z=7②1x③3x−4④x2故是二元一次方程组是③④，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键．【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为_____．【答案】0【分析】根据二元一次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得出m的等量关系，解出答案即可．【详解】解：由题意得，m−2≠0，m−1=1∴m≠2，m=2或∴m=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的关键．【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：①2x−y3=1；②x2+3y=3；③x2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二元一次方程的定义作答．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．【详解】解：①2x−y②x2③x2④5x+y⑤2x⑥x+1故其中二元一次方程有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【变式1-3】（2022春•开福区月考）已知方程组3x−m−3ym−2【答案】（1）179+3【分析】根据二元一次方程组的定义得m−2−2=1且m−3≠0，m+1≠0【详解】解：∵方程组3x−m−3∴m−2−2=1且m−3≠0，m+1≠0∴m=5．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键．【知识点2二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（

）组．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．【详解】解：2x+3y=20x=当y=2时，x=7；当y=4时，x=4；当y=6时，x=1则方程的正整数解有3对．故选：C【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（

A．2 B．-2 C．3 D．-3【答案】A【分析】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=14【详解】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=142×2k+3k=14，即：7k=14，k=2，故选：A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两边成立是解题的关键．【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a2x+by=-1的两组解是x=−2y=−1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2【答案】-23【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出a、b的值，代入含有a、b的代数式求解即可【详解】解：将{x=−2y=−1和{x=4得{a解得{a=4∴（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）=（4﹣3）×[44﹣2×42×（﹣3）2+（﹣3）2]=﹣23．【点睛】二元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识根据已知条件转换成二元一次方程组是解题的关键.【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组x+2y=a−33x−y=2aA．当a=2时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍C．x，y满足关系式x−5y=6 D．不存在自然数a使得x，y均为正整数【答案】D【分析】A．当a＝2时，方程组变形得到结果，即可判断；B．将x=2y代入方程，解出a即可判断；C．用含a是代数式表示x和y，再将x、y代入x−5y进行计算即可判断；D．用含a是代数式表示x和y，当a＝16时，x＝11，y＝1，即可判断．【详解】解：A、当a＝2时，方程组为{x＋2y＝−1①①＋②×2得：7x＝7，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝−1，则x＋y＝1−1＝0，即方程的两根互为相反数，∴A选项不符合题意；B．当x=2y时，原方程组可变为：{解得：a=∴当且仅当a=-5，时解得x为y的∴B选项不符合题意．C．{x①＋②×2得：7x＝5a−3，解得：x＝5a−37，y＝a−9∵x−5y＝5a−37∴C选项不符合题意；D、由C可知：x＝5a−37，y＝a−9要使x为自然数，可得5a−3＝7，14，21，…；同理a−9＝7，14，21，…，当a＝16时，x＝11，y＝1，所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识．【题型3二元一次方程（组）的解的情况】【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组2x−ay=64x+y=7的解是整数，则整数aA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】先解方程组求出x、y的值，根据y和a都是整数求出1+2a=−1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=−5，求出a的值，再代入x求出x，再逐个判断即可;【详解】2x−ay=6①①×2−②得：−2a−1y=5解得：y=5把y=5−2a−1代入②得：解得：x=7a+6∵方程组的解为整数∴x,y均为整数∴1+2a=−1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=−5解得：a=−1,2,0,−3，当a=−1时，x=1当a=2时，x=2，是整数，符合；当a=0时，x=3，是整数，符合；当a=−3时，x=3故选：C.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解出方程组并且列出整数解的情况是求解本题的关键.【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组mx−3y=92x−y=1无解，则m为（

A．9 B．6 C．−6 D．−9【答案】B【分析】根据二元一次方程组无解的问题可直接进行求解．【详解】解：由mx−3y=9①2x−y=1②①-②×3得：m−6x=6∵二元一次方程组无解，∴m−6=0，解得：m=6；故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（

）A．方程3x-4y=1可能无解B．方程3x-4y=1有无数组解，即xy可以取任何数值C．方程3x-4y=1只有两组解，两组解是x=1D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解【答案】D【分析】根据二元一次方程是不定方程，有无数组解；能使方程成立的x，y的数值即是方程的解．反之，则不是方程的解．【详解】解：A、方程3x-4y=1有无数组解，错误；B、方程3x-4y=1有无数组解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；C、方程3x-4y=1有无数组解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；D、x=3，y=2代入方程3x-4y=1，左边=1=右边，即x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解，正确．故选：D．【点睛】根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程；若不满足，则不是方程的解．关键是会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个【答案】C【分析】将x=0，1，2，…，分别代入2x+y=13，求出二元一次方程2x+y=13的非负整数解有多少组即可．【详解】当x=0时，y=13；当x=1时，y=11；当x=2时，y=9；当x=3时，y=7；当x=4时，y=5；当x=5时，y=3；当x=6时，y=1；当x=7时，y=-1＜0；∴二元一次方程2x+y=13的非负整数解有x=0y=13，x=1y=11，x=2y=9，x=3y=7，x=4y=5故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为非负整数．【题型4二元一次方程组的一般解法】【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组:(1)y=2x(2)2x+【答案】(1)x=1(2)x=3【分析】（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得6x+2x=8，解得x的值，进而求得y的值即可（2）利用加减消元法，将方程②×2，得2x−4y=−2③，然后与方程①相减即可求得y的值进而将y的值代入方程②求得x的值即可．（1）解：y=2x①将①代入②，得6x+2x=8，解得x=1，将x=1代入①，得y=2，∴原方程组的解为x=1y=2（2）解：2x②×2，得2x−4y=−2③①－③，得7y=14，解得y=2，将y=2代入②，得x−4=−1，解得x=3，∴原方程组的解为x=3y=2【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键．【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组：(1)x+y=20(2)x−y=3(3)用代入法解3x+4y=9(4)用加减法解7x−2y=−40【答案】(1)x=18(2)x=2(3)x=−1(4)x=−4【分析】（1）根据加减消元法求解即可；（2）根据加减消元法求解即可；（3）根据代入消元法的步骤求解即可；（4）根据加减消元法的步骤求解即可；（1）解：x+y=20①由②-①，得：x=18，将x=18代入①，得：18+y=20，解得：y=2，故原方程组的解为：x=18y=2（2）解：x−y=3由3×①-②，得：5y=−5，解得：y=−1，将y=−1代入①，得：x−(−1)=3，解得：x=2，故原方程组的解为：x=2y=−1（3）解：3x+4y=9由②得：x=3y−10③将③代入①，得：3(3y−10)+4y=9，解得：y=3，将y=3代入③，得：x=3×3−10=−1，故原方程组的解为：x=−1y=3（4）解：7x−2y=−40由3×①-2×②，得：5x=−20，解得：x=−4，将x=−4代入①，得：7×(−4)−2y=−40，解得：y=6，故原方程组的解为：x=−4y=6【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题关键．【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组(1)y=2x3y+2x=8(2)x+3y=7x−3y=1(3)x−3y=−22x+y=3(4)m5【答案】(1)x=1(2)x=4(3)x=1(4)m=5【分析】（1）利用代入法解方程组；（2）利用加减法解方程组；（3）利用代入法解方程组；（4）先将方程组化简，再利用加减法解方程组．（1）解：y=2x①将①代入②，得6x+2x=8，解得x=1，将x=1代入①，得y=2，∴方程组的解为x=1y=2（2）x+3y=7①①+②得，2x=8，解得x=4，将x=4代入①，得4+3y=7，解得y=1，∴方程组的解为x=4y=1（3）x−3y=−2①由①得，x=3y-2③，将③代入②得，2（3y-2）+y=3，解得y=1，将y=1代入③，得x=3-2=1，∴方程组的解为x=1y=1（4）将原方程组化简为2m−5n=20①①+②×5，得17m=85，解得m=5，将m=5代入②，得15+n=13，解得n=-2，∴方程组的解为m=5n=−2【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减法，并能根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组：(1)3x−y=5(2)x+7y=2【答案】(1)x=3(2)x=−5【分析】（1）先整理方程组，再用加减消元法进行求解；（2）先整理方程，再用加减消元法进行求解．（1）解：整理得：3x−y=5①+②得：4y=16，y=4把y=4代入①得：3x-4=5x=3∴原方程组的解为：x=3y=4（2）解：整理得：x+7y=2①-②得：5y=5y=1把y=1代入①得：x+7=2x=-5∴原方程组的解为：x=−5y=1【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的思想是解题的关键．【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，那么关于m、n的二元一次方程组【答案】m=【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2∴关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=7b(m+n)+a(m−n)=9中m+n=2∴解这个关于m、n的方程组得：m=5故答案为m=5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m−32x+3y=8求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8再求乙同学：先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【答案】我最欣赏乙同学的解法，m=4，理由见解析【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出m的值，分析简便的原因．【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，3x+7y=5m−3①①+②得：整理得：x+2y=m+1，代入x+2y=5得：m+1=5，解得：m=4，这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y的方程组x−2y=8−k  ，2x−y=4−5k的解满足x−y=10，则【答案】−3【分析】把二元一次方程组中的两个方程相加即可求得x－y的值，然后利用x−y=10即可得出答案．【详解】x−2y=8−k由①+②得3x−3y=12−6k，x−y=4−2k，∵x−y=10，∴4−2k=10，解得k=−3．【点睛】本题主要考查一元二次方程组解法中的加减消元思想，熟练掌握一元二次方程组的解法是解题的关键．【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组x-由①，得x－y＝1.③把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝0.∴原方程组的解为x=这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x-【答案】x【详解】试题分析：由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．试题解析：解：由①，得：2x－3y＝2．③把③代入②，得：2+57＋2y把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得：x＝7．∴原方程组的解为x=7y=4点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【题型6构建二元一次方程组】【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（

）A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0【答案】D【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可.【详解】∵(x+y-5)2与│3y-2x+10│互为相反数，∴(x+y-5)2+│3y-2x+10│=0，∴x+y−5=03y−2x+10=0解得x=5y=0故选D.【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当x=−1时，y=3．（1）求k，b的值；（2）当x取何值时，y的值为−4？【答案】（1）k=−2，b=1；（2）x=5【分析】（1）根据待定系数法计算即可；（2）根据已知条件列出等式计算即可；【详解】（1）由题意可得，2k+b=−3−k+b=3可得：k=−2b=1（2）由（1）得y=−2x+1，∵y的值为−4，∴−4=−2x+1，∴x=5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的综合，准确计算是解题的关键．【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5．（1）求4⊗−3（2）若x⊗−y=−2，2y⊗x=−1【答案】（1）5；（2）x+y=−1【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；(2)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可.【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2×4+(−3)=8−3=5；故答案为：5.（2）根据题中的新定义化简得：{2x−y=−2两式相加得：3x+3y=−3，则x+y=−1．故答案为：−1.【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝________．a、b的运算a＋ba－b（a＋2b）3运算的结果59m【答案】27【分析】先根据表格得出方程组a+b=5a−b=9，求出方程组的解，再代入m=(a+2b)3【详解】解：根据题意得：a+b=5a−b=9解得a=7b=−2∴m=(a+2b)故答案为：27．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和代数式求值，理解题意并列出二元一次方程组求出a、b的值是解此题的关键．【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组x+2y=5k+1x−y=2k−5的解满足x+y=7,则k的值是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用加减法，先用含k的代数式表示出x+y，根据x+y=7，得到关于k的一元一次方程，求解即可．【详解】解：x+2y=5k+1（1）×2+（2），得3x+3y=12k-3，∴x+y=4k-1，∴4k-1=7，解得k=2．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x+y．【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y的方程组2x−3y=11−4mA．2 B．1 C．0 D．1【答案】A【分析】先解方程组用含m的代数式表示出x，y后，代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20，可得到关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】解方程组2x−3y＝11−4m3x＋2y＝21−5m得把x，y代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20得85−23m13＋3(18＋4m)解得m＝2，故选A.【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，求【答案】-12【分析】先解方程组得x=2my=m，再将x=2my=m代入x3【详解】解：2x+y=5m①3x−2y=4m②②+①×2得：7x=14m，解得：x=2m，把x=2m代入①得：4m+y=5m，解得：y=m，∴方程组的解为x=2my=m∵关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-∴2m3-m解得：m=-12．【点睛】本题考查了含参的二元一次方程组的解，将参量当成已知数进行计算，表示出未知数，求出方程的解是解题关键.【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x−y=1的一个解，则a=【答案】0【分析】由题意建立关于x，y的新的方程组，求得x，y的值，再代入求解即可；【详解】{x+ay=2由①×22x+2ay=4由②−(3−2a)y=3，y=3将y=33−2a代入2x=7−92x=12−14ax=6−7a方程组的解为{x=又∵方程组的解是x−y=1的一个解，∴6−7a3−7a3−2a3−7a=3−2a,a=0,经检验，a=0是3−7a3−2a∴a=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，准确分析计算是解题的关键．【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则【答案】43【分析】联立方程组求出x，y，将x，y代入剩余方程求出a，b即可．【详解】解：联立得：3x−y=52x+3y=−4解得x=1y=−2把x=1y=−2代入剩余方程得：4a−10b=−26解得a=14∴a+b=43故答案为：439【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的步骤．【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组3x−y=6ax−by=2的正确解与乙求关于x、y的方程组3x+y=6bx−ay=20的正确的解相同．则【答案】2【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-110b）20018【详解】由题意可得，这两个方程组的解相同，则3x−y＝63x+y＝6解得：x＝2y＝0把x＝2y＝0代入bx−ay＝20ax−by＝2得：∴原式=120018+(−110×10)20018故答案为2【点睛】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求【答案】a=5,b=−1【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案．【详解】3x+y=5①4x−5y=−6②，①×（-5）－②得，-19x=−19把x=1代入①得，3+y=5，解得所以方程组3x+y=54x−5y=−6把x=1y=2代入方程组ax−2y=43x−by=5，得a−4=13−2b=5故答案为：a=5,b=−1．【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组．【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1【答案】x=1【分析】把方程组a+1x+b+2y=m+2c+3x+【详解】解：∵a+1∴ax+by+x+2y=m+2又元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1∴x+2y=2解得，x=1故答案为：x=1【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两个方程都成立的未知数的值．【题型9二元一次方程组的错解复原问题】【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2，小明正确解得x=1y=−1，小文抄错了c，解得x=2y=−6，已知小文抄错了c【答案】7【分析】把x=1y=−1代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出a−b−c【详解】把x=1y=−1代入cx−3y=−2，得c解得：c=-5，把x=1y=−1与x=2y=−6分别代入ax+by=2，得解得：a＝21则a−b−c=21【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组3x+ay=13,①bx−3y=9.②甲因看错①中的a得解为x=6,y=7,乙因看错了②中的b解得x=1，y=5，求a【答案】a=2，b=5.【分析】把x＝6，y＝7代入方程②可求出b，把x＝1，y＝5代入方程①可求出a.【详解】把x=6,y=7代入②，得6b−21=9，b=5把x=1,y=5代入①，得3+5a=13，a=2【点睛】本题考查了方程组解的定义，根据条件得到关于a，b的方程是关键．【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组2x+ay=61bx−7y=162，甲解得x=13y=7 ，乙解得x=9y=4.甲仅因为看错了方程(1)中y的系数【答案】{x=6【分析】由题意可求出a与b的值，然后代回原方程组中即可求出方程组的解．【详解】解：根据题意可知：{解得：{a=−3把a=-3，b=5分别代入原方程组，得{2x−3y=6解得：{x=6【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方程组3x+□y=11,□x+2y=−2中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是x=1,【答案】3x+4y=11,【分析】设第一个方程中y的系数为a，第二个方程的x系数为b，把该方程组的解{x=1【详解】设第一个方程中y的系数为a，第二个方程中x的系数为b，则原方程组可写成{3x+ay=11把{x=1y=2代入二元一次方程组得{3+2a=11解得{所以原方程组为{3x+4y=11故答案为{3x+4y=11【点睛】本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．专题8.2二元一次方程组的应用【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1行程问题】 1【题型2工程问题】 2【题型3销售、利润问题】 3【题型4数字问题】 4【题型5年龄问题】 4【题型6分配问题】 5【题型7和、差、倍、分问题】 6【题型8几何问题】 7【题型9图表信息问题】 8【题型10方案问题】 10【题型1行程问题】【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．（1）A、B两地的距离可以表示为千米（用含a，b的代数式表示）；（2）甲从A到B所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）；乙从B到A所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）．（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？【题型2工程问题】【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）面对某国不断对我国的打压，我国自主品牌抗住压力．以华为手机为例，今年一月份我国某工厂用自主创新的A、B两种机器人组装某款华为手机，每小时一台A种机器人比一台B种机器人多组装50个该款华为手机，每小时10台A种机器人和5台B种机器人共组装3500个该款华为手机．（1）今年一月份，该工厂每小时一台A种机器人、一台B种机器人分别能组装多少个该款华为手机？（2）该工厂原有A、B两种机器人的数量相等，因市场销售火爆，二月份该工厂增加了一部分A种机器人并淘汰了一部分B种机器人，这样A种机器人的数量增加了2m%，B种机器人数量减少了m%．同时，该工厂对全部A种机器人进行了升级改造，升级改造后的机器人命名为C种机器人，已知每小时一台C种机器人组装该款华为手机的数量比原一台A种机器人组装该款华为手机的数量增加了15，每小时C种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和比A种机器人和B种机器人组装该款华为手机的数量之和提高了20%，求m【题型3销售、利润问题】【例3】（2018·贵州·贵阳乐湾国际实验学校八年级阶段练习）2018年某歌手地表最强巡回演唱会于11月17日在贵阳奥林匹克体育中心举行，小颖购买了一张票价为四位数的场地票（动感地带专属），而小明一张购买了票价为三位数的看台票（动感地带专属）．小颖说，“在你的票价前面多写个1,都还比我的便宜200元”；小明说，“只需在我的票价后多写个0，就比你的贵3120元”.请问小颖和小明购买的演唱会门票各是多少元？【变式3-1】（2022·江西吉安·八年级期末）2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．(1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？(2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？【变式3-3】（2022·广西南宁·七年级期中）为响应国家“足球进收园”的号召，满足学校对足求的需求．某商家第一次购进了38个A类足球和20个B类足球进行销售，共花费了5580元，已知商家购进一个B类足球的价格是购进一个A类足球价格的1.2倍．(1)求商家购进一个A类足球和一个B类足球各需多少元？(2)若一个A类足球的售价为110元．两类足球销售完毕，商家要获得1880元的利铜，则B类足球的总售价为多少元？(3)为了回馈客户，商家决定进行打折销售，若商家第二次又以原进价购进A、B两类足球，购进A类足球的件数不变，而购进B类足球的件数是第一次的2倍，A类足球按原售价销售，而B类足球打折销售，若第二次两类足球全部销售完毕，要使得第二次销售获得利润1688元，则B类足球是打几折销售的？【题型4数字问题】【例4】（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数．【变式4-1】（2018·福建龙岩·七年级期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．【变式4-3】（2022·全国·九年级专题练习）若在一个两位正整数

N

的个位数字与十位数字之间添上数字

2

，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为

N

的“诚勤数”，如

34

的“诚勤数”为

324

；若将一个两位正整数

M

加

2

后得到一个新数，我们称这个新数为

M

的“立达数”，如

34

的“立达数”为

36．（1）求证：对任意一个两位正整数

A

，其“诚勤数”与“立达数”之差能被

6

整除；（2）若一个两位正整数

B

的“立达数”的各位数字之和是

B

的各位数字之和的一半，求

B

的值．【题型5年龄问题】【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【变式5-1】（2022·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？【变式5-2】（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.【题型6分配问题】【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时．(1)当a=b=1时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A．B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？【变式6-1】（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【变式6-2】（2022·全国·七年级）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．①两种裁法共生产A型板材_________张，B型板材_______张；②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盆后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？【变式6-3】（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）．(1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．(2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？【题型7和、差、倍、分问题】【例7】（2022·吉林·东北师大附中七年级阶段练习）某校七、八年级学生共600人，学校组织学生参观科技博物馆和伪皇宫的活动，参观科技博物馆的人数是参观伪皇宫人数的2倍多60人．分别求参观科技博物馆和伪皇宫的学生的人数．【变式7-1】（2022·海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少5【变式7-2】（2022·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．【变式7-3】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的98(1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？(2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了a50，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了110，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了15，购买乙种树的数量比第一次多了a50，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了【题型8几何问题】【例8】（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．【变式8-1】（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？【变式8-2】（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．【变式8-3】（2022·福建·南安市实验中学七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案：(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？(2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积．【题型9图表信息问题】【例9】（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）第一次购物8161440第二次购物7151314第三次购物9171252.8(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；(2)求出商品A、B的标价；(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？【变式9-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表：主要演员（人）次要演员（人）总费用（元/天）爵士舞451300民族舞23700（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元，问两节目各表演多少天？【题型10方案问题】【例10】（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【变式10-1】（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【变式10-2】（2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨．(1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？(2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案．【变式10-3】（2022·湖南常德·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．专题8.2二元一次方程组的应用【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1行程问题】 1【题型2工程问题】 3【题型3销售、利润问题】 7【题型4数字问题】 10【题型5年龄问题】 13【题型6分配问题】 15【题型7和、差、倍、分问题】 19【题型8几何问题】 22【题型9图表信息问题】 25【题型10方案问题】 29【题型1行程问题】【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？【答案】甲每小时走4千米，乙每小时走5千米【分析】设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，根据题意列出方程组解答即可．【详解】解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米，根据题意，得0.5+2x+2y=20整理，得2.5x+2y=20x+y=9解得x=4y=5答：甲每小时走4千米，乙每小时走5千米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．【变式1-1】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可．【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得：2.5x×4−4x=y4x+300=y解得：x=150y=900∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分；答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310【答案】5千米【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解．【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，由题意可得12解得x=10y=5答：小北需要骑行5千米到达学校．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．（1）A、B两地的距离可以表示为千米（用含a，b的代数式表示）；（2）甲从A到B所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）；乙从B到A所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）．（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2a【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．故答案为：2（a+b）．（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需2ba+1小时到达B地，乙还需2a所以甲从A到B所用的时间为（2+2ba+1）小时，乙从B到A所用的时间为（2+2a故答案为：（2+2ba+1）；（2+2a（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝185依题意，得：S=2(a+b)2S=令x＝a+b，则原方程变形为S=2x2S=解得：x=18S=36答：AB两地的距离为36千米．【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【题型2工程问题】【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？【答案】甲、乙两组每天个各生产700、800个产品【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又各自生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组各自生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个等量关系列方程组求解即可．【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得：1+7x=7y解得：x=700y=800答：甲、乙两组每天个各生产700、800个产品．【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元(2)单独请乙组，商店所需费用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．【变式2-2】（2022·广西贺州·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2