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文档简介
圆的性质
圆的有关概念及其性质1.圆的概念(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图
形.这个定点叫做
,定长叫做
,以点O为圆心
的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.圆心
半径
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做
圆,定点叫做圆心,定点与动点的连线叫做半径.(3)确定圆的条件:①圆心决定圆的位置,②半径决定圆的
大小.2.圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的
叫做弦.经过圆心的弦叫
做
,直径是圆中最长的弦,弦不一定是直径.如图,
线段BC,AC是☉O的弦,其中BC是直径.线段
直径
优弧
半圆
劣弧
重合
(3)半径相等的两个圆是等圆.(4)圆心到弦的距离叫做弦心距.如图,线段OD为弦心距.(5)组成弓形的弧的中点到这条弧所对的弦的垂线段叫做弓
高.如图,线段DE为弓高.3.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,任意一条
都是圆的
对称轴;圆的对称轴有无数条.(2)圆是以
为对称中心的中心对称图形.注意点圆还具有旋转不变性,即圆绕圆心旋转任意角度,都能和原
来的图形重合.直径所在直线
圆心
垂径定理及推论1.垂径定理:垂直于弦的直径
这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.2.推论:平分弦(
)的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧;平分
不是直径
3.其他常见推论:(1)弦的垂直平分线经过
,并且平
分弦所对的两条弧;(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦
所对的另一条弧;(3)圆的两条平行弦所夹的弧
.圆心
相等
注意点(1)根据圆的对称性,在以下5个结论中:①过圆心;②垂直
于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论,那么可推出其余3个结论,注意解题
过程中的灵活运用.如图,①CE是直径,②CE⊥AB于D,③AD
=BD,④弧AC=弧BC,⑤弧AE=弧BE,“知二推三”.注意点(2)利用垂径定理,通常添加辅助线构造直角三角形进行解
题,常见的辅助线有:①连接半径;②过圆心作弦的垂线;③连接弧的中点与圆心.(3)在半径、弦长、弦心距和弓高四个量中,已知其中两个量
可求另外两个量.
弧、弦、圆心角之间的关系1.圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角.如图,∠AOB为☉O的
圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
,所
对的弦也相等.相等
3.推论:同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧
(对应的优弧或劣弧)相等;(3)两条弦相等.三项中有一项
成立,则其余对应的两项也成立.如图,①∠AOB=∠COD,
②弧AB=弧CD,③AB=CD,“知一推二”.注意点①进一步拓展,在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中,有一个量相等,则其余三个量都相等.②一条弦所对的圆心角只有一个,而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质1.圆周角顶点在
上,角的两边都与圆
的角叫做圆周
角.如图,∠ACB,∠ADB,∠AEB均为☉O的圆周角.圆周
相交
圆心角
相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
,90°的圆周角
所对的弦是
.如图,若BE是☉O的直径,那么∠EAB=
90°.直角
直径
4.圆内接四边形的性质(1)圆内接四边形的对角
,如图,∠A+∠BCD
=
,∠B+∠D=180°.互补
180°
(2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的
,如图,∠DCE=∠A.内对
角
注意点(1)圆中一条弦所对的圆心角有一个,它所对的圆周角有
两个,这两个圆周角互补.(2)利用圆周角定理以及圆内接四边形性质,常见的辅助
线有:①连接半径,转换圆心角与圆周角;②连接弦,利用同弧或等弧转换圆周角;③当条件中有直径时,通常会作出直径所对的圆周角;④连接弦,构成圆内接四边形,转化角度.
辅助圆模型特征图形定义圆利用圆的定义添补辅助
圆,如图,若AB=AC,则
可以A为圆心,AB长为半
径作圆
模型特征图形四点共圆①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆,圆心为斜边中点,
如图
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆,如图
模型特征图形四点共圆③对角互补四边形的四个顶
点共圆,如图
模型特征图形定弦对定角在☉O中,AB的长度为定值(即定弦),C为动点,且∠C为定值,根
据正弦定理=2R,可知☉O的半
径R确定可求
特殊地,当∠C=90°时,定线段AB
是直径
类型一
垂径定理及其推论1.如图,AB是☉O的弦,AB长为8,P是☉O上一个动点(不与
A,B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD
的长为
.第1题图4
2.(2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的
中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为
37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径R约为(B)A.20mB.28mC.35mD.40m第2题图B
A.B.3C.3D.4第3题图D4.如图,AB为☉O的弦,点C在AB上,AC=4,BC=2,CD⊥O
C交☉O于点D,则CD的长为(C)A.B.3C.2D.3第4题图C类型二
弧、弦、圆心角的关系
第5题图75°
6.已知:如图,C,D是以AB为直径的☉O上的两点,且OD∥BC,求证:AD=DC.第6题图证明:连接OC,如图,∵OD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3,又∵OB=OC,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,∴AD=DC.7.如图,弦AB=CD,AB与CD相交于点E,求证:
第7题图
类型三
圆周角定理及圆内接四边形性质8.(2023·吉林)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半
径,点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若
∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是(D)A.70°B.105°C.125°D.155°第8题图D9.(2023·泰安模拟)如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,
AD=2,AC=4,则☉O的半径为(D)A.2B.3C.2D.第9题图D
A.40°B.50°C.60°D.70°第10题图A
A.先增大后减小B.先减小后增大C.保持不变D.一直减小第11题图C12.如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,
CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为
.第12题图
13.已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC于
D,BC于E,连接ED.(1)求证:ED=EC;解:(1)证明:∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B
+∠EDA=180°,∴∠B=∠EDC,又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠EDC=∠C,∴ED=EC;第13题图
解:(2)连接AE,∵AB是直径,∴AE⊥BC,又∵AB=AC,∴BC=2EC=4,∵∠B=∠EDC,∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC,∴AB∶EC=BC∶CD,第13题图
类型四
辅助圆及圆的对称性14.如图,点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点,∠A=
35°,则∠D等于(D)A.50°B.65°C.55°D.70°第14题图D15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边
AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线
EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是
(B)A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不对第15题图B16.(2023·菏泽)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,点E在线段BC上运动,点F在线段AE上,∠ADF=∠BAE,则线段BF的最小值为
.第16题图
-2
17.如图,已知边长为5的正方形ABCD的中心为O,点P为正方形
内的一点,且∠OPC=45°,PB∶PC=3∶4,则PC的长
为
.第17题图4
第18题图
第19题图8
20.如图,分别以A
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