2023年北京汇文中学初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京汇文中学初二（下）期中数学本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每小题2分，共20分）1.下列各式中，哪个是最简二次根式（）A. B. C. D.2.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，2，2 B.1，，2 C.4，5，6 D.1，1，3.如图，在平行四边形中，若，则的度数为（）A. B. C. D.4.下列计算中，正确的是（）A. B. C. D.5.如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法判断6.如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（）A.8m B.10m C.12m D.15m7.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm8.下列命题正确的是（）．A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的四边形是菱形D.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形9.如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（）A.1 B.2 C.3 D.410.老师布置了任务：过直线上一点C作的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（）方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分别以D，C为圆心，以和为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线，即为所求的垂线．方案Ⅱ：取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将延长，在延长线上截取线段，得到点S．④作直线，即为所求直线．A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都可行 D.Ⅰ、Ⅱ都不可行二、填空题（每小题2分，共16分）11.若有意义，请写出符合条件的一个x的值：_________．12.计算的结果为______．13.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝____．15.如图，在数轴上点A表示的实数是__．16.如图，在菱形中，E，F，G，H分别是边，，和的中点，连接，，和．若，，则菱形的面积为______．17.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n的值为____．18.已知为实数，记，（1）当时，的值为______．（2）的最小值为______．三、解答题（共64分）19.计算（1）（2）（3）（4）20.下面是小铭设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求作的菱形．（1）根据小铭的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵，，∴_________＝_________，在中，，即，∴四边形为平行四边形（__________）（填推理的依据）∵，∴四边形为菱形（_________）（填推理的依据）21.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.(1)求证：△ABC为直角三角形．(2)求AE的长．22.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．23.海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．（1）直接写出p的化简结果为______．（2）写出计算S值的过程．24.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．（1）在图①中，画一个正方形，使它的边长为；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（3）在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度．25.某同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与求解的：先将进行分母有理化，过程如下，，∴，∴，，∴，∴．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求的值；（3）在（1）的条件下，求的值26.三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：第一步：将原方程变形为．即．第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得，．（1）第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．27.现有正方形和一个直角．（1）如图1，若点与点重合，射线交延长线于，射线交正方形的边于，则与的数量关系是______，请证明你的结论；（2）如图2，若点在正方形的对角线上，射线交延长线于，射线恰好经过点，则与的数量关系是______，请证明你的结论；（3）若在正方形所在平面内任意移动，射线交直线于点，射线交直线于点，若与始终保持相等，请你直接写出点所有可能的位置．28.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点，给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．（1）如图1，已知点P的坐标为，在点，，中，与点P是“等距点”的有______；（2）如图2，菱形四个顶点的坐标为，①当时，点N为菱形的边上一个动点，令点N到x、y轴的距离中的最大值为，则的取值范围是______；②当时，点F为菱形的边上一个动点，若平面中存在一点E，使得E，F两点为“等距点”．在图3中画出点E的轨迹，并计算该轨迹所形成图形的面积；③我们规定：横纵坐标均为整数的点是整点．若菱形的边过定点，点F为菱形的边上一个动点，平面中存在一点E，使得E，F两点为“等距点”，若菱形内部（不含边界）恰有9个整点，直接写出点E的轨迹所覆盖整点的个数．

参考答案本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每小题2分，共20分）1.【答案】C【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．一般解题方法是：只要被开方数中是分数或小数，一定不是最简二次根式；被开方数中含有能开得尽方的因数，也一定不是最简二次根式．【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、是最简二次根式，故此选项符合题意；D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．2.【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．【详解】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；故选B．【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．3.【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出即可解决问题．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，把代入得：，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．4.【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C．，此选项计算正确；D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．5.【答案】B【分析】作DF⊥BC，BE⊥CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形．【详解】解：如图，作DF⊥BC,BE⊥CD由已知可得，ADBC,ABCD∴四边形ABCD是平行四边形在Rt△BEC和Rt△DFC中∴Rt△BEC≌Rt△DFC，∴BC=DC∴四边形ABCD是菱形故选B．【点睛】本题考核知识点：菱形的判定，解题关键是通过全等三角形证一组邻边相等．6.【答案】C【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12，∴旗杆的高度为12m．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.【详解】根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC==15（cm），则这只铅笔的长度大于15cm．故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．8.【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．

故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．9.【答案】B【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可．【详解】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵BC＝12，∴DE＝6，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，∴FE＝AC＝4，∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．10.【答案】C【分析】方案Ⅰ：连接，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可证明；方案Ⅱ：根据，得出，，求出，即，得出，【详解】解：方案Ⅰ：连接，如图所示：根据作图可知，，，∵，∴，∴，∴为直角三角形，∴，∴，∴方案Ⅰ可行；方案Ⅱ：根据作图可知，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴方案Ⅱ可行；综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，等腰三角形性质，三角形内角和，垂线定义，解题的关键是理解题意，掌握作图过程．二、填空题（每小题2分，共16分）11.【答案】2（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．【详解】解：∵有意义，∴，即，∴x的值为2，故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．12.【答案】2023【分析】根据即可得到答案．【详解】解：，故答案为：2023．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．13.【答案】40【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．【详解】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，DE＝20，∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．14.【答案】50°##50度【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝25°，∴∠DCB＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．15.【答案】【分析】根据勾股定理求出的长度，然后根据点A在数轴上的位置即可解答．【详解】解：如图，∵，∴，∴点A表示的实数是．故本题答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．16.【答案】16【分析】连接、，交于点O，根据中位线的性质求出，，根据菱形面积公式求出．【详解】解：连接、，交于点O，如图所示：∵四边形为菱形，∴，∵E，F，G，H分别是边，，和的中点，∴，，∵，，∴，，∴．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．17.【答案】2.【分析】根据勾股定理可得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再解即可．【详解】解：由题意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合题意，舍去）．

故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．18.【答案】①.②.【分析】（1）将时，代入进行计算即可得到答案；（2）将式子化为，设，，，，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案．【详解】解：（1）当时，，故答案为：；（2），设，，，，根据题意画出图如图所示：，作关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，与轴交于点，即为所求，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路径问题的模型，是解题的关键．三、解答题（共64分）19.【答案】（1）（2）（3）6（4）2【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可.（2）根据二次根式加减混合运算法则计算即可.（3）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可.（4）根据平方差公式计算即可.【小问1详解】解：故答案为：.【小问2详解】解：故答案为：.【小问3详解】解：故答案为：6.【小问4详解】解：故答案为：2.【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则.20.【答案】（1）见详解（2）AE＝BF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定及性质和菱形的判定即可求解．【小问1详解】解：如图所示：菱形即为所求．【小问2详解】∵，，∴AE＝BF，在中，，即，∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∵，∴四边形为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故答案为：AE＝BF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查了作图—尺规作图，平行四边形的判定及性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握基础知识．21.【答案】(1)见解析；(2)AE的长是.【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．【详解】（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，又∵42+32=52，即AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）证明：连接CE．∵DE是BC的垂直平分线，∴EC=EB，设AE=x，则EC=4-x．∴x2+32=（4-x）2．解之得x=，即AE的长是．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．22.【答案】（1）见详解；（2）5【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，∴BC＝5，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵AB∥DC，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵AD＝BC，∴DF＝BC，∴DF＝5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23.【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）根据题目中提供的信息，代入数据求值即可；（2）根据题目中的面积公式，代入求值即可．【小问1详解】解：∵，，，∴．故答案为：．【小问2详解】解：∵，，，，∴．【点睛】本题主要考查了代数式求值，二次根式的应用，解题的关键是理解题意，准确计算．24.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析，2【分析】（1）根据勾股定理得出正方形的边长，即可得到图形；（2）构造边长为的直角三角形即可；（3）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据三角形的面积计算公式进行计算即可得到答案．【小问1详解】解：如图①，正方形即为所求，；【小问2详解】解：如图②，即为所求，；【小问3详解】解：如图③，即为所求，，，，，，为直角三角形，，三角形最长边上的高的长度为：．【点睛】本题考查作图—应用与设计，无理数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．25.【答案】（1）（2）1（3）【分析】（1）按照分母有理化的方法进行解答即可；（2）根据，得出，根据，得出，即可求出结果；（3）将变形为，将代入得出，再将代入求值即可．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：∵，∴，，∴，∴．【小问3详解】解：根据（2）可知，，∴．【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想．26.【答案】（1），2，12，（2）见解析【分析】（1）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；（2）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意可得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，长方形面积之和为：，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，，故答案为：，2，12，；【小问2详解】解：第一步：将原方程变形为，即，第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为，小正方形边长为常数，长方形面积之和为常数，由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程，两边开方可求得，．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．27.【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析（3）点在直线上时，与始终保持相等【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得证；（2）作，交于，由正方形的性质和可得为等腰直角三角形，通过证明，即可得到结论；（3）当点在线段上时，作交于，作交于，通过证明和，即可得到与始终保持相等，当点在的延长线上时，作交于，交于，通过证明和，