2023年北京一七一中初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京一七一中初二（下）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.计算的结果为（）A.3 B. C.6 D.92.下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）.A.6，7，8 B.7，12，13 C.3，4，5 D.5，9，123.如图，平行四边形中，，则的度数为（）.A. B. C. D.4.下列二次根式中，最简二次根式是（）.A. B. C. D.5.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（）A.0.6km B.1.2km C.1.5km D.2.4km6.已知点在一次函数图象上，则的值为（）.A.1 B.2 C.3 D.不能确定7.我地区某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛决赛中，25名参赛同学的得分情况如图所示．这些同学成绩的众数是（）A.94分 B.96分 C.98分 D.100分8.一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习，每人投篮成绩的平均数都是9.3，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（）.A.甲 B.乙 C.丙 D.丁9.如图，点M表示的实数是（）A. B. C. D.10.如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从1316年使用到1919年，一直为人民报时、计时．从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，“受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11.函数的自变量x的取值范围是_____．12.计算：________．13.边长为1的正方形的对角线长是__________．14.请写出一个随的增大而减小的正比例函数解析式__________.（写出一个即可）15.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为_____．16.如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）17.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾，弦，则小正方形的边长是__________.18.某校开展“海量阅读”.为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了40名学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：读书时间（小时）7891011学生人数610987关于这40名学生一周读书时间的数据有下列说法：①一周读书时间数据的中位数是9小时；②一周读书时间数据的众数是8小时；③一周读书时间数据的平均数是9小时；④一周读书时间不少于9小时的人数占抽查学生的50%．其中说法正确的序号是__________．三、解答题（第19-26题每题5分，第27-28题每题7分，共54分.解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）19.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点E在上，点F在上）．作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明．证明：∵，，∴______=______．在中，．即，∴四边形为______形．∵，∴四边形为菱形（______）（填依据）20.计算：.21.如图，点在平行四边形的对角线上，．求证：．22.平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求该一次函数图象与轴交点坐标；（3）将这个一次函数图象向上平移两个单位后得到的函数解析式是__________.23.如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．（1）求证：（2）求：四边形的面积．24.2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，），：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79．根据以上信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分；（3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．25.如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点.（1）求，的值；（2）直接写出关于的二元一次方程组的解；（3）当时，的取值范围是__________.26.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为(元），在乙采摘园所需总费用为(元），图中折线表示与x之间的函数关系．（1）求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式；（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？27.如图，是正方形的对角线．点为线段上一个动点（点不与点，重合），连接，点在射线上，且．提出问题：当运动时，的度数，线段，之间的数量关系是否发生变化？探究问题：（1）首先考查点的一个特殊位置：若，如图1所示，________°，观察线段，之间的数量关系为；（2）然后考查点的一般位置：若，依题意补全图2，通过观察、测量，发现：①在一般情况下________（用含的式子表示）②此时，线段，之间的数量关系是________，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图为点A，B的“确定正方形”的示意图．（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为___________；（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值．（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】A【解析】【分析】利用算术平方根的意义和平方的意义即可得出结论．【详解】解：∵3，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和算术平方根的意义是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．3.【答案】B【解析】【分析】由在平行四边形中，，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可得出答案．【详解】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意；B、不是最简二次根式，故该选项不符合题意；C、不是最简二次根式，故该选项不符合题意；D、不是最简二次根式，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．【详解】解：，，为的中点，，，，故选：．【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】把点代入解方程即可求解．【详解】解：把点代入得：，故选C．【点睛】本题考查求函数的函数值，运用代入法计算是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】利用众数的定义求解．【详解】解：观察图形可知：98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分．故选：C．【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．8.【答案】B【解析】【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．【详解】∵，，，，∴，∴成绩最稳定的是乙．故选：B．【点睛】本题考查方差，正确理解方差的意义是解题关键．9.【答案】C【解析】【详解】,∴点M表示的实数是，故答案为：C10.【答案】A【解析】【分析】根据“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间可得出与成正比例关系，由此即可得．【详解】解：由题意得：高度与时间成正比例关系，观察四个选项可知，只有选项的函数图象符合，故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，正确判断出高度与时间成正比例关系是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11.【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】解：根据题意得，，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键．12.【答案】【解析】【分析】直接根据二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】解：原式=．故答案为：．【点睛】此题考查的是二次根式的运算法则，掌握其运算法则是解决此题关键．13.【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果．【详解】解：由题意得，边长为1的正方形的对角线长是故答案为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握正方形的四条边相等，四个角均是直角．14.【答案】【解析】【分析】根据正比例函数图象的性质，当时，y随x的增大而减小，所写函数解析式只要是，．【详解】解：∵y随x的增大而减小，∴，如（答案不唯一，只要是符合）．【点睛】本题主要考查正比例函数图象的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．15.【答案】24【解析】【分析】根据菱形的面积公式进行计算即可；【详解】解：由菱形的面积公式：对角线乘积的一半得：；故答案为：24．【点睛】本题考查菱形的面积．熟记菱形的面积公式是解题的关键．16.【答案】AC=BD【解析】【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【详解】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC=BD【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．17.【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理计算即可解题．【详解】解：根据勾股定理可得，∴小正方形的边长为，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．18.【答案】①②③【解析】【分析】根据统计表给出的数据求出一个班级的学生总数，再根据中位数、众数、平均数以及百分比的定义分别进行解答即可．【详解】解：这个班级的学生总数是：（人），

则该班学生一周读书时间数据的中位数是第20数和第21个数的平均数：（小时），说法①正确；

8小时出现的次数最多，所以众数是8小时，说法②正确；平均数是：(小时)，说法③正确；一周读书时间不少于9小时的人数占抽查学生的百分比为，说法④错误．

故答案为：①②③．【点睛】此题考查了平均数、众数和中位数，熟练掌握定义是解题的关键．三、解答题（第19-26题每题5分，第27-28题每题7分，共54分.解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）19.【答案】（1）见解析（2），平行四边，一组邻边相等的平行四边形是菱形【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可．【小问1详解】作图如下：【小问2详解】∵，∴，在中，，即∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵∴四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故答案是：；平行四边；一组邻边相等的平行四边形是菱形.【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定，菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．20.【答案】【解析】【分析】先计算乘法，化简后再合并同类二次根式.【详解】解：.【点睛】此题考查了二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.21.【答案】见解析【解析】【分析】证明△DAE≌△BCF，即可求证．【详解】四边形ABCD是平行四边形，，∠DAC=∠BCA，AE=CF，△DAE≌△BCF（SAS)，DE=BF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证得△DAE≌△BCF是解题的关键．22.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把代入得到方程，解方程即可；（2）当时计算的值，即可得到结果；（3）根据平移中“上加下减”进行解题即可．【小问1详解】解：把代入得：，解得，【小问2详解】解：由（1）得，当时，，∴一次函数图象与轴交点坐标为；【小问3详解】解：将这个一次函数图象向上平移两个单位后得到的函数解析式是．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的解析式，交点坐标和平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．23.【答案】（1）见解析；（2）36【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC2的值，进而可求出BC的长，再根据勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形即可得证；（2）利用三角形的面积公式可求出S△DBC及S△ABC的值，将其代入S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC中即可求出四边形ABDC的面积．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，∴BC2=AB2-AC2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD2+BD2=42+32=25，∵BC=5，即BC2=25，∴CD2+BD2=BC2，∴△DBC是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC是直角三角形，且∠D=90°，∴，∵在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5，∴，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出BC的长；（2）利用三角形的面积计算公式，求出S△ABC和S△DBC的值．24.【答案】（1）见解析（2）75，79（3）估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．【解析】【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）利用样本估计总体，即可求解．【小问1详解】解：第2组的人数为：（人），补全频数分布直方图如图所示：【小问2详解】解：第3组数据出现次数最多的是75，共出现3次，因此众数是75；抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79，则样本中位数为（分），因此中位数是79，故答案为：75，79；【小问3详解】解：（人），估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．25.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）把代入和解方程可得结果；（2）根据图像可知交点坐标即为二元一次方程组的解；（3）由，可得，解不等式可得解集．【小问1详解】解：把代入得，把代入得：，解得；【小问2详解】解：由图像可知二元一次方程组的解为；【小问3详解】解：∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数和二元一次方程组，以及不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．26.【答案】（1）（2）甲家草莓园采摘更划算【解析】【分析】（1）根据题意得出草莓销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式；（2）将分别代入（1）中解析式，即可求解．【小问1详解】解：根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：（元/千克）．；当时，设，由题意的：，解得，，与之间的函数关系式为：；【小问2详解】当时，，，，他在甲家草莓园采摘更划算．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键．27.【答案】（1）30，；（2）图形见解析，①；②，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及等腰三角形的性质可得到∠ACB=∠BAC=45°，∠EFC=∠CAE=15°，再利用三角形外角的性质即可得到∠CEF的度数；如图，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，证明△ABE≌△EMF（AAS），得到BE=MF，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到；（2）根据正方形的性质及等腰三角形的性质可得到∠ACB=∠BAC=45°，∠EFC=∠CAE=45°-，再利用三角形外角的性质即可得到∠CEF的度数；如图，过点F作FN⊥BC交BC的延长线于点N，证明△ABE≌△ENF（AAS），得到BE=NF，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到；【详解】解：（1）∵AC是正方形的对角线，∴∠ACB=∠BAC=45°，∵∠BAE=30°，∴∠CAE=45°-30°=15°，∵EF=AE∴∠EFC=∠CAE=15°，∵∠ACB是△CEF的外角，∴∠ACB=∠CFE+∠CEF，即45°=15°+∠CEF，∴∠CEF=30°，如图1，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，则∠EMF=∠ABE=90°，又∵∠BAE=∠CEF=30°，AE=EF，∴△ABE≌△EMF（AAS），∴BE=MF，又∵∠MCF=∠ACB=45°，∴△MCF是等腰直角三角形，∴MF=CM∴CF=，∴．故答案为：30，；（2）如图所示，①∵AC是正方形的对角线，∴∠ACB=∠BAC=45°，∵∠BAE=，∴∠CAE=45°-，∵EF=AE∴∠