第03讲 相似三角形的应用综合（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第03讲相似三角形的应用综合1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.知识点1利用相似三角形测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.注意：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法知识点2利用相似三角形测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

注意：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【题型1利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】【典例1】（2023•子洲县校级模拟）西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔CD的高度．（平面镜的大小忽略不计）【答案】64.5米．【解答】解：由题意得：∠EBA＝∠DBC，∵EA⊥AC，DC⊥AC，∴∠EAB＝∠DCB＝90°，∴△DCP∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AB＝64.5米，∴长安塔的高度AB为64.5米．【变式1-1】（2023春•绿园区期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为8米．​【答案】8．【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗杆的高度为8米，故答案为：8．【变式1-2】（2023•宝鸡模拟）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB．【答案】该瞭望塔的高度AB为70m．【解答】解：由题意得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∴，∴AB＝70，∴该瞭望塔的高度AB为70m【变式1-3】（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．【题型2利用相似三角形测量高度-影子测量法】【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？（2）求信号发射塔的高度．【答案】19.8米．【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，（2）∵△ABC∽△ADE，∴，即，∴DC＝19.8（米），∴古塔的高度为19.8米．【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为8m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OD＝4m，BD＝14m，∴OB＝OD+BD＝18m，由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，解得AB＝8，即旗杆AB的高为8m．故答案为：8．【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】A【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝．解得x＝6．即蜡烛火焰的高度是6cm．故选：A．【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．【答案】路灯的高度OP是m．【解答】解：∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴＝，即＝，∴OP＝（m）．答：路灯的高度OP是m．【题型3利用相似三角形测量高度-手臂测量法】【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE．【答案】城墙的高度DE为12米．【解答】解：由题意可作出下图：由题意得，AF＝60厘米＝0.6米，AG＝EN＝30米，BC＝24厘米＝0.24米，∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∴DE＝12，∴城墙的高度DE为12米．【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为16m．【答案】见试题解答内容【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝40m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即＝，∴AB＝16（m），即铁塔的高度为16m．故答案为：16．【题型4利用相似三角形测量高度-标杆测量法】【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．【答案】树高CD为6.5米．【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴，∴，解得：CH＝4.8，∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米），答：树高CD为6.5米．【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度．【答案】17.5米．【解答】解：如图：过点A作AH⊥MN于点H，交CD于点E，则四边形ABDE，四边形ABNH都是矩形．∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米，∵CD＝4米，∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米），∵CE∥MH，∴△ACE∽△AMH，∴＝，∴＝，∴MH＝15.9（米），∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）．答：这栋教学楼MN的高度是17.5米．【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度．【答案】25m．【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，∵EF∥AB，GH∥AB，∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴，，∵EF＝HG＝2，∴，∴，解得：y＝23，则，即，解得：AB＝25，答：该古建筑AB的高度为25m．【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB．【答案】30米．【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝42，∴＝，∴AB＝30（米），答：庆安寺塔的高度AB为30米．【题型5利用相似三角形测量距离】【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．【答案】池塘两端A，B的距离为30米．【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC，∴＝，＝，∴＝，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴＝＝，∵DE＝15，∴AB＝30（米），答：池塘两端A，B的距离为30米．【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（）A．20m B．30m C．40m D．60m【答案】C【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴，解得：AB＝40，【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：∠ABD＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC，则△ABD∽△ECD，故＝，即＝，解得：AB＝100．答：A、B间的距离为100m．1．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm【答案】B【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故选：B．2．（2022•德州）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m【答案】A【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故选：A．3．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，∵汽车的长度大约为4米，∴横向距离大约是8米，由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，∴汽车到观测点的距离约为80米，故选：C．4．（2023•小店区校级模拟）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（）A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝∵AE＝，EF＝0.35米，∴＝，∴BC＝2.1，即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，故选：B．5．（2023•南关区四模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为9cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为12cm、9cm，则实像CD的高度为（）cm．A．6cm B．6.25cm C．6.75cm D．7cm【答案】C【解答】解：由题意得：AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∠D＝∠ABD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，∴CD＝6.75，∴实像CD的高度为6.75cm，故选：C．6．（2023•裕华区校级模拟）如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A、P三点恰好在一条直线上，测得DE＝22.5米，则A与P的距离为（）A．112.5米 B．120米 C．135米 D．150米【答案】D【解答】解：由题意可得：AC∥DE，∠C＝∠D＝90，则△ACP∽△EDA，故，∵AC＝90m，AD＝30m，DE＝22.5m，∴PC＝120（m），∴AP＝＝＝150（m）．答：A与P的距离为150m．故选：D．7．（2023•南岗区校级四模）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该城墙CD的高度为（）A．6 B．8 C．10 D．18【答案】B【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，即，∴CD＝8（m）．故选：B．8．（2023•顺义区二模）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上，若DB＝5m，DE＝1.5m，则楼高MN是（）A．13.5m B．16.5m C．17.5m D．22m【答案】C【解答】解：根据题意，四边形EDBC，四边形CBME都是矩形．∴DB＝EC＝5m，AB＝5.5m，BM＝CF＝15m，∵DE＝1.5m，∴AC＝AB﹣BC＝5.5﹣1.5＝4（m），EF＝EC+CF＝5+15＝20（m），∵AC∥NF，∴△EAB∽△ENF，∴，∴，∴NF＝16（m），∴MN＝MF+FM＝16+1.5＝17.5（m）．答：这栋楼MN的高度是17.5m．故选：C．9．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为18.2米．【答案】18.2．【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度为18.2米，故答案为：18.2．10.（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是134米．【答案】134【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，解得：x＝134，经检验，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案为：1341．（2022秋•广宗县期末）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【答案】B【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．2．（2023•高州市校级二模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．3．（2023春•垦利区期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m【答案】D【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D∴△DEF∽△DCB∴＝∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，∴由勾股定理求得DE＝40cm，∴＝∴BC＝15米，∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5米，故选：D．4．（2023•兴庆区校级模拟）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO'，即相似比为，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝11﹣7＝4（cm），∴＝，∴AB＝3cm，故选：C．5．（2022秋•滁州期末）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m【答案】C【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．6．（2023春•朝阳区校级期末）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m【答案】D【解答】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABE∽△EDC，∴＝，即＝，解得：AB＝6，故选：D．7．（2023春•周村区期末）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4m B．m C．5m D．m【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴＝＝，∴＝，解得MH＝．故选：B．8．（2022秋•保定期末）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）A．m B．m C．m D．m【答案】C【解答】解：设点P到AB的距离是xm∵AB∥CD∴△ABP∽△CDP∴∴x＝故选：C．9．（2023春•茶陵县期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为（保留到整数，1丈＝10尺）（）A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈【答案】D【解答】解：由题意得，BD＝53里CD＝95尺，EF＝7尺，DF＝3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，则BG＝DH＝EF＝7尺，GH＝BD＝53里，HE＝DF＝3里，∵CD∥AB，∴△ECH∽△EAG，∴＝，∴＝，∴AG≈164.2丈，AB＝AG+0.7＝164.9≈165丈．答：山AB的高为165丈．故选：D．10．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴＝，即＝，∴CD＝6cm．故选：C．11．（2023•天宁区校级一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．∵∠AMN＝∠C，∠A＝∠A，∴△AMN∽△ACB，且MN：BC＝1：2；B．由勾股定理得，MN＝4，∵，∠M＝∠C，∴△AMN∽△ACB，C．△AMC∽△BMA，相似比是＝，D．相似比不是1：2，故D符合题意．故选：D．12．（2022秋•聊城期末）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是8米．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：∠APE＝∠CPE，∴∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，∴＝，CD＝8米，故答案为：8．13．（2023春•乾安县期中）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为2.7m．【答案】2.7．【解答】解：如图，CF⊥AB，则DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.7．14．（2022秋•秦都区期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝5m，则路灯的高度OP为m．【答案】．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴＝，∴＝，∴OP＝．故答案为：．15．（2022秋•阜平县期末）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度