专题02 第二章 直线和圆的方程 典型例题讲解（二）原卷版

专题02第二章直线和圆的方程典型例题讲解（二）目录TOC\o"1-2"\h\u一、基本概念回归 1二、重点例题（高频考点） 4高频考点一：圆的方程 4高频考点二：与圆有关的最值问题 5高频考点三：轨迹方程 6高频考点四：直线与圆相交的弦长问题 7高频考点五：圆的切线问题 7高频考点六：圆中的中点弦问题 8高频考点七：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题 9高频考点八：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 9高频考点九：直线与圆的综合问题 11一、基本概念回归知识回顾1：圆的方程1.1圆的标准方程我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.1.2圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.知识回顾2：点与圆的位置关系判断点与：位置关系的方法:（1）几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内（2）代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内知识回顾3：直线与圆的位置关系3.1几何法（优先推荐）图象位置关系相交相切相离判定方法；。圆心到直线的距离：。圆与直线相交。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相切。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相离。3.2代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数①直线与圆相交②直线与圆相切③直线与圆相离记直线被圆截得的弦长为的常用方法知识回顾4：直线与圆相交弦长4.1、几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：4.2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：知识回顾5：圆与圆的位置关系5.1几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.5.2代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）知识回顾6：圆与圆的公共弦6.1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.6.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程二、重点例题（高频考点）高频考点一：圆的方程1．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是．2．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程.3．（2023秋·高二课时练习）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．4．（2023秋·高二课时练习）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程．5．（2023秋·高二课时练习）求经过、、三点的圆的方程．（2023秋·高二课时练习）的三个顶点的坐标分别为，求的外接圆的方程.高频考点二：与圆有关的最值问题1．（2023·全国·高三专题练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点，，，点P满足，则点P到点C距离的最大值为．3．（2023·全国·高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为．4．（2023·全国·高二专题练习）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为.5．（2023秋·高二课时练习）已知实数、满足，求的最大值．6．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆心为的圆的一般方程；(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.高频考点三：轨迹方程1．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为．2．（2023秋·高二课时练习）已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为.3．（2023秋·高二课时练习）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程．

4．（2023秋·高二课时练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.（2023秋·高二课时练习）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.高频考点四：直线与圆相交的弦长问题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）直线与圆相交于、两点，若，则等于（

）A．0 B． C．或0 D．或02．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）圆被过点的直线截得的最短弦长为（

）A．2 B．4 C． D．3．（2023秋·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）圆与直线相交于，两点，则．4．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.5．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.高频考点五：圆的切线问题1．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．3．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．5．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为．6．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆相切，则.高频考点六：圆中的中点弦问题1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高二课时练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．3．（2023秋·高二课时练习）直线与圆相交于、两点，且弦的中点为，求直线的方程．

4．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，AB为过点且倾斜角为α的弦．(1)当时，求弦AB的长；(2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程．高频考点七：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题1．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A．5 B．4 C．10 D．22．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二课时练习）过点且被圆C：所截得的弦长最短，求此时直线l的方程．高频考点八：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长1．（2023·全国·高二专题练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）已知圆与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·高二课时练习）已知圆和圆交于两点，求公共弦的长．4．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆．(1)求两圆的公共弦长；(2)求两圆的公切线方程．5．（2023·全国·高二专题练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为；线段AB的长为．

（2023·湖南邵阳·统考一模）已知圆与圆相交于两点，则公共弦所在的直线方程为，.高频考点九：直线与圆的综合问题1．（2023秋·湖南湘西·高二校联考阶段练习）已知圆，过点的直线与圆相交于不重合的A，B两点，是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．2．（2023秋·江苏南通·高二海安高级中学校考开学考试）已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为．(1)求圆M的方程；(2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．3．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）已知点的坐标是，圆与轴相切，圆心的坐标是.(1)若过点作圆的切线有两条，求实数的取值范围；(2)若，过点的直线与圆相交于两点，且是的中点，求直线的方程.4．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：与圆C：相交于A、B两点．(1)若，求