2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列专题1.7 一元二次方程章末题型过关卷（苏科版）含解析

2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列第1章一元二次方程章末题型过关卷【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣32．(3分)（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．(x-14)2C．(x-12)3．(3分)（2022春•莱芜区期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝04．(3分)（2022秋•沐川县期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．20265．(3分)（2022春•淄川区期中）已知多项式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x为任意实数），试比较多项式A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q6．(3分)（2022秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=7．(3分)（2022秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或418．(3分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）9．(3分)（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣110．(3分)（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（2022秋•鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为．12．(3分)（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m213．(3分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是14．(3分)（2022秋•盐湖区校级月考）如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．15．(3分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为．16．(3分)（2022秋•昌江区校级期末）若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2022春•道里区期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．18．(6分)（2022秋•海淀区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．19．(8分)（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根为x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．20．(8分)（2022春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．21．(8分)（2022春•南海区月考）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣）2+；（2）代数式x2+x有最（填“大”或“小”）值为；（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小.22．(8分)（2022秋•黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元．（1）求A套餐的售价是多少元？（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了13a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了12a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求23．(3分)（2022春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？第1章一元二次方程章末题型过关卷【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故选：B．2．(3分)（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．(x-14)2C．(x-12)【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，整理得：x2﹣x=1配方得：x2﹣x+14=34，即（x故选：C．3．(3分)（2022春•莱芜区期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0【分析】根据求根公式逐一判断即可．【解答】解：A．此方程的根为x=4±B．此方程的根为x=-4±C．此方程的根为x=4±D．此方程的根为x=-4±故选：A．4．(3分)（2022秋•沐川县期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整体代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2+x﹣2＝0的一个根，∴m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．故选：A．5．(3分)（2022春•淄川区期中）已知多项式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x为任意实数），试比较多项式A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出P与Q的大小．【解答】解：∵P=12x﹣2，Q＝x2-∴Q﹣P＝x2-32x-12x+2＝x2﹣2x+2＝（∴P＜Q．故选：D．6．(3分)（2022秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．【解答】解：A、令y1+y2＝0，则-1x整理得：x2﹣x+1＝0，此方程无解，∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故A不符合题意；B、令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得：x2+x+1＝0，此方程无解，∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B不符合题意；C、A、令y1+y2＝0，则-1x整理得：x2+x+1＝0，此方程无解，∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故C不符合题意；D、A、令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，整理得：x2+x﹣1＝0，解得：x1=-1+52，x∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D符合题意；故选：D．7．(3分)（2022秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或41【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解即可．【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，则x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得x1＝4，x2＝5，若4、5均为直角边长度，则斜边长度为42若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，故选：D．8．(3分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系列出方程即可求解．【解答】解：根据题意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．故选：B．9．(3分)（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．(3分)（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；当a≠0时，∵关于x的方程a※x＝0有实数根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（2022秋•鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为﹣1．【分析】将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左边，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右两边相等，即x＝﹣1是方程的解．【解答】解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．12．(3分)（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m2【分析】将x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代数式进行化简即可．【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，∴(＝3×＝3×1＝3．故答案是：3．13．(3分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k【分析】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+k4=0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k设x2﹣2x+k4=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，m﹣n=(m+n)根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即4-k＜∴4-k＜14-k≥0，解得3＜14．(3分)（2022秋•盐湖区校级月考）如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为1-172【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置取舍即可．【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x=-b±∴x1=1+172，x∵点A在数轴的负半轴，∴2x﹣1＜0，即x＜1∴x=1-故答案为：1-1715．(3分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为213．【分析】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，整理，得：x2﹣8x+6＝0，解得：x1＝4+10，x2＝4-当x＝4+10时，2×（3+1）﹣x＝4-10＜当x＝4-10时，2×（3+1）﹣x＝4+10＞∴“加倍矩形”的对角线长为(4+10)2故答案为：213．16．(3分)（2022秋•昌江区校级期末）若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝-52【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，∴2a-|b|=02b+|c|=0解得：a=1∴a+b+c=12-故答案为：-5三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2022春•道里区期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝4；（2）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，配方，得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2=±5解得：x1＝2+5，x2＝2-18．(6分)（2022秋•海淀区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，则有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，从而可进行求解．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得：x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，∴（x1﹣x2）2＝32，x12﹣2x1x2+x22＝9，x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，整理得：m2＝9，解得：m＝3或m＝﹣3，∵m＜0，∴m＝﹣3．19．(8分)（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根为x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x=±3当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1=3，x2=-20．(8分)（2022春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式b2﹣4ac＝0；判断241不是“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”121；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m=1n，即故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．21．(8分)（2022春•南海区月考）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）代数式x2+x有最小（填“大”或“小”）值为-14（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小；【分析】（1）利用配方法将多项式变形即可得出结论；（2）利用配方法将多项式变形，利用非负数的意义即可得出结论；（3）计算A﹣B的值，将结果利用配方法变形即可得出结论．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，故答案为：2；1；（2）∵x2+x＝x2+x+1又∵(x+1∴(x+1∴代数式x2+x有最小值为-1故答案为：小；-1（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．22．(8分)（2022秋•黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元．（1）求A套餐的售价是多少元？（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了13a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了12a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求【分析】（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，解得：x＝120．答：A套餐的售价是120元．（2）依题意得：（120﹣20）（1-12a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+整理得：3.2a2﹣80a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．23．(8分)（2022春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？【分析】（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12×6×8-1②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米，则有PC＝tcm，CQ＝3tcm，依题意，得：12t×3tt2＝2t1由勾股定理，得：PQ=P答：2秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是25（2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12t2解得t1②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC129t＝22，解得t=22③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC12t2=923（不符合题意，舍去），（或者得综上：t=233答，经过233秒或229秒，以A、B、P、Q专题2.1圆【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的概念】 1【题型2圆的有关概念】 2【题型3确定圆的条件】 3【题型4点与圆的位置关系】 4【题型5圆中角度的计算】 6【题型6圆中线段长度的计算】 7【题型7圆相关概念的应用】 8【知识点1圆的概念】定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A．4π B．9π C．5π D．13π【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．两圆增加的面积是相同的 D．无法确定【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝．结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【知识点2与圆有关的概念】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．【题型2圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有条直径，有条弦，以点A为端点的优弧有条，有劣弧条．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有个．【知识点3确定圆的条件】不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．【题型3确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【知识点4点与圆的位置关系】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r.【题型4点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C为圆心，以5cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO时，点P在⊙O上；当PO时，点P在⊙O内；当PO时，点P在⊙O外．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A上的一个动点，则m2+n2的最大值为．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为．【题型5圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【题型6圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．53 B．8 C．6 【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝．（用数字表示）【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．【题型7圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的115，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了12，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（）米．A．51π B．102π C．153π D．204π【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点．专题2.1圆【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的概念】 1【题型2圆的有关概念】 4【题型3确定圆的条件】 6【题型4点与圆的位置关系】 9【题型5圆中角度的计算】 12【题型6圆中线段长度的计算】 15【题型7圆相关概念的应用】 18【知识点1圆的概念】定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A．4π B．9π C．5π D．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．两圆增加的面积是相同的 D．无法确定【分析】先由L＝2πR计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O1的半径等于R，变大后的半径等于R′；⊙O2的半径等于r，变大后的半径等于r′，其中R＞r．由题意得，2πR+1＝2πR′，2πr+1＝2πr′，解得R′＝R+12π，r′＝r所以R′﹣R=12π，r′﹣r所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π∴⊙O1的面积＝πR2，变大后的面积=π(R+12π)2，面积增加了π(R+12π⊙O2的面积＝πr2，变大后的面积=π(r+12π)2，面积增加了∵R＞r，∴R+14π＞∴⊙O1的面积增加的多．故选：A．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝13l（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝14l（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝1nl结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的1n【分析】把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是ln＝π（1na）=1nl【解答】解：（2）13l（3）14l（4）1nl；1每个小圆面积＝π（12•1na）2=14•πa2n2，而大圆的面积＝π（1即每个小圆的面积是大圆的面积的1n【知识点2与圆有关的概念】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．【题型2圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有1条直径，有4条弦，以点A为端点的优弧有2条，有劣弧2条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有4个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝32，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，∴x2则y=18∴x2解得x＝32或﹣32（舍），∴OC＝32＞∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAh=18，即∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝62，图中OC＝32，同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【知识点3确定圆的条件】不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．【题型3确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=253∴圆片的半径R为253cm【知识点4点与圆的位置关系】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r.【题型4点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C为圆心，以5cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=42+22∵CA＝2cm＜5cm∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm＞5cm∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=5∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO＝5cm时，点P在⊙O上；当PO＜5cm时，点P在⊙O内；当PO＞5cm时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A上的一个动点，则m2+n2的最大值为36．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=m2+n2，这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA=32+4∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为2．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM=(6-3∴BD＝5﹣1＝4，∴AC=12BD＝2，即线段故答案为：2．【题型5圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝48°．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，∴∠A=1又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立