2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件

导数及其应用考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，19；2023新课标Ⅱ，6利用导数研究函数的单调性讨论函数的单调性；由单调性求参数的取值范围逻辑思维运算求解综合性逻辑推理数学运算2023新课标Ⅱ，11,22利用导数研究函数的极值、最值由函数的极值求参数范围逻辑思维运算求解综合性逻辑推理数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅰ，7利用导数研究函数的单调性比较大小逻辑思维运算求解综合性数学运算逻辑推理2022新高考Ⅰ，22；2021新高考Ⅱ，22利用导数研究函数的零点问题求值；研究不等式逻辑思维运算求解创新性数学运算逻辑推理考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅱ，22利用导数证明不等式由不等式恒成立求取值范围逻辑思维运算求解综合性数学运算逻辑推理2022新高考Ⅰ，10利用导数研究函数的极值、最值研究极值点、零点个数运算求解逻辑思维综合性数学运算逻辑推理2022新高考Ⅰ，15导数的概念和运算由切线条数求取值范围运算求解综合性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2021新高考Ⅰ，7；2022新高考Ⅱ，14导数的概念和运算求切线方程运算求解创新性数学运算2021新高考Ⅰ，22利用导数证明不等式求解函数的单调性、极值点的偏移问题逻辑思维综合性数学运算直观想象逻辑推理【命题规律与备考策略】本章内容为高考必考内容，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等．复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值、导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用．第一讲导数的概念及运算知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率2．导数的概念(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝______________________.瞬时变化率3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝______(C为常数)；(2)(xn)′＝______________(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝______________；(4)(cosx)′＝________________；(5)(ax)′＝________________；0nxn－1cosx－sinxaxlna(6)(ex)′＝________；(7)(logax)′＝________；(8)(lnx)′＝______.ex4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________.(2)[f(x)·g(x)]′＝___________________________.特别地：[C·f(x)]′＝______________(C为常数)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点二导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为________________________.yx′＝yu′·ux′y－y0＝f′(x0)(x－x0)归

纳

拓

展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．(

)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)×√×(5)(2x)′＝x·2x－1．(

)(6)[ln(－x)]′＝(lnx)′.(

)×××[解析]

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．(2)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．(3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．题组二走进教材2．(多选题)(选修2P75T1改编)下列函数的求导正确的是(

)D4．(选修2P82T10改编)某物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s＝5－2t＋3t2，则该物体在2秒末的瞬时速度是(

)A．12米/秒

B．10米/秒C．8米/秒

D．6米/秒[解析]

利用位移的导数就是瞬时速度，求出s′，令t＝2求解即可．由题意物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s＝5－2t＋3t2，则s′＝－2＋6t，当t＝2时，s′＝－2＋6×2＝10，所以该物体在2秒末的瞬时速度是10米/秒．故选B．B题组三走向高考C6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是______________.(e,1)考点突破·互动探究导数的基本运算——自主练透1．(多选题)下列求导数运算正确的是(

)A．(2024x)′＝x2024x－1D．(x23x)′＝2x3x＋x23xln3BD2．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；[解析]

(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.3．若函数f(x)＝lnx－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝_______.[分析]

先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．名师点拨：导数计算的原则和方法1．原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．2．方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.导数的几何意义——多维探究角度1求切线方程1．已知f(x)＝(x＋1)ex，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为___________________.[解析]

由f(x)＝(x＋1)ex得f′(x)＝ex＋(x＋1)ex，所以在x＝0处的切线的斜率为f′(0)＝e0＋(0＋1)e0＝2，又f(0)＝1，故切点坐标为(0,1)，所以所求的切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.2x－y＋1＝02．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________________.名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．角度2求切点坐标A名师点拨：求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度3导数的几何意义如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝(

)A．1 B．0C．2 D．4A角度4求参数的值(或范围)(2022·全国新高考卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)【变式训练】1．(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(

)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]

依题意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．C2.(角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(

)A．2 B．1C．－2 D．－1C3．(角度3)(2022·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为(

)A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)A4．(角度4)(2023·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]

函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．B名师讲坛·素养提升公切线问题的模型求解曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；1．求两条曲线的公切线(2023·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(

)C．1－ln2 D．1－2ln2C[解析]

设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．[引申]本例中两曲线公切线方程为____________________.y＝2x＋1－ln2【变式训练】已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________________________.y＝ex或y＝x＋12．由公切线求参数(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若