构造法与数列课件高三数学二轮复习

构造数列解题山东东营

徐新华本文件包含内容：一、构造数列求二、构造数列求数列的通项公式三、构造数列及利用数列的单调性证明不等式四、构造数列及利用导数证明不等式

构造法是一种非常重要的数学方法，它在课堂教学、高考试题的解答与数学研究等方面倍受青睐。

通过几何图形、方程、函数、向量、数列等数学模型的构造，实现把复杂问题转化为简单问题是构造法的宗旨；在文件中，以构造数列为主题进行探讨，非常希望与大家一起分享。本文件包含内容：一、构造数列求二、构造数列求数列的通项公式三、构造数列及利用数列的单调性证明不等式四、构造数列及利用导数证明不等式一、构造数列求构造数列{an}，令{an}的前n项和Sn==，则Sn-1=an=Sn-Sn-1=∴∵a1=S1=1，符合上式；∴an=2n-1(n≥1).构造数列{an}，令{an}的前n项和Sn==，则Sn-1=an=Sn-Sn-1=∴∵a1=S1=1，符合上式；构造数列{an}，令{an}的前n项和Sn==，则Sn-1=an=Sn-Sn-1=∴∵a1=S1=1，符合上式；an=Sn-Sn-1∴解析：构造数列{bn}，使得：Tn=∴=-=（n≥2)，∵符合该式，∴=（n≥1)练习：1.数列{an}满足：

求an

。

4.跟踪习题与解析：求数列{an}的前n项和为Sn，其中an=解析：转化为：∴{bn}是b1=1，公差d=1的等差数列，bn=n.则an=n(2n-1)(2n+1).,则bn-1=令bn=二、构造数列求数列的通项公式2.在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=3an-2an-1

，

求

an

。

解析：转化为：an+1-an=2(an-an-1).得bn=2bn-1,1.在数列{an}中，a1=3，求an。a1=3符合该式，∴an=n(2n-1)(2n+1)

a1=1符合该式，针对练习：（1）.在数列{an}中，an=2an-1+4n-3（n≥2）

，a1=1，求{an}的通项公式。针对练习：（2）.在数列{an}中，

求{an}的通项公式。三、构造数列及利用数列的单调性证明不等式g(x）单调递增，∴g(x）>g(0）=0.∴an>0(n≥2),∵a1=S1=ln2-∴an>0,两边分别相加得：四、构造数列及利用导数证明不等式g(x）单调递减，∴g(x）<g(0）=0.两边分别相加得：g(x）单调递增，∴g(x）>g(1）=0.两边分别相加得：令g(x)=,（1）证明：要证当x>0时，f(x)>1,即证

即>0.即原不等式得证。g(x)在（0，+）上单调递增，又g(1）=0，∴g(x)=>g(0)=0,得a1=S1=1，（2）设数列{an}的前n项和Sn=ln(n!)-(n+)lnn+n当n≥2时，an=Sn-Sn-1=ln(n!)-(n+)lnn+n-ln[(n-1)!]+(n-)ln(n-1)-n+1=由（1）得：an<0(n≥2),∴Sn<S1=1,不等式右边得证。要证

，只需证：对任意的n≥2,≤令h(x)=lnx-(x>1)则0≤当x>1时，h(x)在（1，+）上单调递减，又h(1）=0，∴h(x)<0,即lnx<

故ln(x+1)<(x>0).f(x)-1=-1<-1=∴当k≥2时，当n≥3时，累加得又-a2=f(1)-1=-1<-1=0.041,g(x）单调递增，