2024届云南省昆明市西山区高三下学期第三次质量检测数学及答案

西山区2024届高三第三次教学质量检测数学试题卷（本试卷共四个大题19个小题；考试用时120分钟，满分150分）考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12，则z在复平面内对应的点位于（1．已知复数z满足z1）A．第一象限B．第二象限C．第三象限，若AB，则a（C．－1D．第四象限2．设集合Aa，Ba,1a,a2）A．0B．1D．13．记S为等差数列a的前n项和．若158，3424，则S6（）nnA．10B．20C．30D．404．华为云“盘古”气象大模型是世界上首个精度超过传统数值预报方法的AI模型，对比传统方法，预测速度提高10000倍以上，可秒级完成对全球气象的预测．由“盘古”模型预测，某地某天降雨的概率是0.5，连续两天降雨的概率是0.3，已知某地某天降雨，则随后一天降雨的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6x22y225．已知椭圆C：1ab0的左焦点为F，点P在椭圆C上，若PF的最大值是最小值的2ab倍，则椭圆C的离心率e（）1131223A．B．C．D．434556．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆x2y21相交于点P,，将的终边逆时针旋转45°之后与圆x2y21的交点为B，则点B的横坐标为（）2272107210A．B．C．D．10107．每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（A．6B．7）C．8D．98．已知函数fxx1ea在区间上单调递增，则a的最小值为（x）A．e1B．e2C．eD．e2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线a，b，c与平面，，，下列说法正确的是（A．若aA，b，Ab，则a，b异面B．若a∥，b∥，∥，则a∥b）C．若ac，b∥c，则baD．若，，则∥π0有且仅有三个交点，从左往右依次记作点10．直线y1与函数fx2sinxx2π,6A，B，C，则下列说法正确的是（）43A．的取值范围是B．fx有且仅有2个极大值点π47π87，则C．fx在上单调递增D．若BC611．设O为坐标原点，直线l过抛物线C：y2pxp0的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一2ABA．p24，l为C的准线，AMl，垂足为M，Q，则下列说法正确的是（）B．AMAQ的最小值为2πC．若，则AB5D．x轴上存在一点N，使kANkBN为定值3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知向量a，b满足ab2，ab2ab，则b______．13．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要______立方米水制水1.0103kg/m3，冰0.910kg/m3）314．函数fxx1x2x3x4的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）9记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知abc，且成等差数列，b5，B．16（1）求a，c；（2）点D在AC上，从下列三个条件中选择一个作为已知，求BD的长．ABAD条件①：CBD；条件②：2△ABD3△BCD；条件③：1615分）．BC直三棱柱ABCABC中，2，M为AC的中点，N为的中点，CMBN．1111111（1）证明：ABAC；（2）求平面ABC与平面ABN所成角的余弦值．1111715分）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有36分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．（1）若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．1817分）x22y223已知双曲线E：1a0的右焦点为Fc,0，一条渐近线方程为yx．2a3c（1）求双曲线E的方程；（2）是否存在过点F的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得FABFBA，若存211在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．1917分）我们把aaxaxanx0（其中n0，nN*）称为一元n次多项式方程．2n012nnN*次多项式方程（即a，a，a，…，a为实数）在复数集内至012n代数基本定理：任何复系数一元nnN*次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元nnN*次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即a0axaxnxnxxkk2xkm，其中k，mN*，m2n11212kkkn，，，……，为方程aaxaxanx0的根．2n12m12m012进一步可以推出：在实系数范围内（即a，a，a，…，a012naaxax2anxn0的有实数根，则多项式aaxax2nxn必可分解因式．例1的一个因式，即012012如：观察可知，x1是方程x310的一个根，则x1一定是多项式x3x31xax2bxc，由待定系数法可知，abc1．x32x10；（1）解方程：（2）设fx0axaxax，其中a，a，a，aR，且01231．231230123xaaxax23x3；（i）分解因式：012是y0（ii）记点Px,yfx的图象与直线yx在第一象限内离原点最近的交点．求证：当0a2aa1时，x1．1230西山区2024届第三次高三教学质量检测数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号答案12345678ACCDBBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号答案91011ACACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．2512．213．11.114．4四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15131）由abc，且成等差数列，则bac（Ⅰ）99又b5，B，则2acBa2c2b2，代入得aca2c25（Ⅱ）2168a4，c6（2）若选①，过点B作AC边上的高BE，因为BD平分BAC，所以11ABBDsinBDsinCBDADCD△△CBDABAD22，得，所以AD3，CD2；1212BCAB2AC2BC23在△ABC中，A，所以A；2ABAC4在△ABD中，BD2AB2AD22ABADA，则BD32．若选②，过点B作AC边上的高BE，由2△ABD3△BCD可得，112AD3CD，则2CD，又AD5，所以AD3，CD2；22AB2AC2BC23在△ABC中，A，所以A；2ABAC4在△ABD中，BD2AB2AD2ABADA，则BD32．2ABAD若选③，由，所以AD3，CD2；BCAB2AC2BC234在△ABC中，A，所以A；2ABAC在△ABD中，1615分）BD2AB2AD2ABADA，则BD32．2（1）证明：设直线AN与CM相交于点O，11因为三棱柱ABCABC为直三棱柱，又2，1111所以ANCM，ACCC，CNCM，111111所以△ACN≌△CCM，所以ANCC，111111又CC90，则CANC90，即ANCM；1111111又BNCM，BNANN，1111所以CM平面ABN；所以CMAB，111111又CCAB，CCCMC，111111所以AB平面ACCA，则AB，111111又AB∥，所以ABAC．11（注：第一问也可直接建系，按高考评卷标准，有系无论对错既给112）问不重复给建系分）（2）由①得，建立空间直角坐标系A如图所示：设AA122，1则A0，B1,0,2，C2,0，A0,0,2，N2,1，1则AB1,0,2，AC2,0，则平面ABC的法向量n0,1，111则AB1,0,0，AN0,2,，则平面ABN的法向量n2，111111nn225n,n12，12nn55122所以平面ABC与平面ABN所成角的余弦值为．1115注：建系，只要过程完整，无论对错可给3分，多对一个法向量多给2分．1715分）1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD3设1“某题的答案是AB，该考生得分，则PA．1（2）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z．12122，PX3①∵PX．∴X的分布列为：X212312P1215则：EX23．2212111212131116②∵PY0，PY4，PY6，23232323∴Y的分布列为：Y04616113P27111则：EY046．23631215111③∵PZ01，PZ6，2326236∴Z的分布列为：Z065616P51则：EZ061．66∵EXEYEZ，∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．1817分）ba23，又b23，a2bc2解得：a1，c2；21）由题知：cy2则E的方程为x21．3FBA可知F为等腰三角形，FA1B，（2）设AB中点为Mx,y，由FAB00111100即1M，可得1，02y04（Ⅰ）202x2021x21①②32设Ax,y，Bx,y，则：，112y22x2231y121221y2①－②化简整理得：3，即kk3；00可得3（Ⅱ）0021152M,；2155．x2所以直线l的方程为：y（第二问解法多样，几何法，联立方程组都可求解，其他方法参考上面过程合理给分即可）1917分）2x10的一个根；1）观察可知：x1是方程x3所以：x2x1xaxbxcaxbaxcbxc，3232由待定系数法可知，a1，b1，c1；所以x1x2x10，即x1或x2x10，1515则方程的根为x1，x，3．12223x0的一个根；（2i）