2024八年级下数学专题1.3 平行四边形章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析

2024八年级下数学专题1.3平行四边形章末重难点题型【人教版】【考点1平行四边形的性质】【方法点拨】解题的关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．【例1】（2019春•沙坪坝区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，DC＝5，BC＝3，则EC的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【变式1-1】（2019春•巴南区期中）已知▱ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大4cm，则AD的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式1-2】（2019春•闽侯县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【变式1-3】（2019春•谢家集区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD＞AB，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为20，则△CDE的周长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点2平行四边形的判定条件】【方法点拨】平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【例2】（2019春•鄂城区期中）下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（2019春•常熟市期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC【变式2-2】（2019春•北京校级期中）已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2-3】（2018•雁江区模拟）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点3平行四边形的判定及性质】【例3】（2019春•越秀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BE＝DF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．【变式3-1】（2019春•香坊区校级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）如果AE＝EF＝FC，请直接写出图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形．【变式3-2】（2019春•鄂城区期中）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O．（1）求证：EG∥FH；（2）GH、EF互相平分．【变式3-3】（2018春•青山区期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD＝36，AB＝12，求△OEF的周长．【考点4三角形的中位线】【例4】（2019秋•长春期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（）A．9° B．18° C．27° D．36°【变式4-1】（2019春•相城区期中）如图，△ABC中，AB＝9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3EF，当AF⊥BF时，BC的长是（）A．9 B．10.5 C．12 D．18【变式4-2】（2019春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．5 C．7 D．9【变式4-3】（2019春•庐阳区期末）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（）A． B．2 C． D．3【考点5菱形的性质】【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。【例5】（2019春•卧龙区期末）如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于A．6 B．8 C．14 D．28【变式5-1】（2019春•定远县期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是A． B． C． D．【变式5-2】（2019春•宝应县期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于A． B．4 C． D．5【变式5-3】（2018秋•巴南区期末）如图，菱形中，，于，交于，于．若的周长为4，则菱形的面积为A． B． C．16 D．【考点6矩形的性质】【方法点拨】矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。【例6】（2019春•庐阳区期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是A． B． C． D．【变式6-1】（2019春•黄冈期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则A． B． C． D．【变式6-2】（2019•红河州二模）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为A．12 B．24 C．27 D．54【变式6-3】（2019春•侯马市期末）如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4【考点7正方形的性质】【方法点拨】正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。【例7】（2019春•蚌埠期末）如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则A． B． C． D．【变式7-1】（2019春•诸暨市期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为A． B． C． D．【变式7-2】（2019春•越城区期末）如图，在正方形中，，点分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为A．7 B． C．8 D．【变式7-3】（2019春•沧州期末）正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为A．， B．， C．， D．，【考点8菱形的判定】【方法点拨】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。【例8】（2019春•兰陵县期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：．（2）求证：四边形是菱形．【变式8-1】（2019春•泰山区期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、．求证：四边形是菱形．【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在中，点是边上一点，，连接．点是中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形．【变式8-3】（2019春•霍林郭勒市期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．（1）求证：；（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．【考点9矩形的判定】【方法点拨】矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。【例9】（2019春•雨花区校级期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．（1）求证：△；（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．【变式9-1】（2019春•郁南县期末）如图，是的中线，，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形．【变式9-2】（2019春•滨海县期中）如图，点、分别是不等边三角形（即的边、的中点．点是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．【变式9-3】（2019春•鱼台县期末）如图，在中，是上的一个动点（不与点、重合），过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．（1）试说明：；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．【考点10正方形的判定】【方法点拨】解正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形.【例10】（2019•防城港模拟）如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．（1）求证：．（2）若．求证：四边形是正方形．【变式10-1】（2019•崂山区二模）已知：四边形为平行四边形，延长至点，使，连接交于点，连接（1）求证：．（2）若，当时，四边形为正方形请说明理由．【变式10-2】（2019春•白山期末）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．（1）求证：是的中点．（2）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由．【变式10-3】（2019春•泉州期末）如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．（1）判断与的大小关系？并说明理由；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．【考点11中点四边形】【例11】（2019春•邹城市期末）已知：四边形，，，，是各边的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）假如四边形是一个矩形，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．【变式11-1】（2019春•密山市期末）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．（1）四边形的形状是，证明你的结论．（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足条件时，四边形是矩形；证明你的结论．（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．【变式11-2】（2018春•洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形中，点，，，分别为边，，的中点，则中点四边形形状是．（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，求证：中点四边形是正方形．【变式11-3】（2019春•广东期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．（1）四边形的形状是，证明你的结论；（2）当四边形的对角线满足条件时，四边形是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？（3）当四边形的对角线满足条件时，四边形是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？．【考点12四边形中的最值问题】【例12】（2019春•睢宁县期中）正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是．【变式12-1】（2019春•泸县期末）如图，在菱形中，，，点，分别是边，的中点是上的动点，那么的最小值是．【变式12-2】（2019春•鄂城区期末）点是菱形的对角线上的一个动点，已知，，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是．【变式12-3】（2019春•锦州期末）如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为．【考点13四边形中的折叠问题】【例13】（2019春•汉阳区期末）如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边，相交于点，，设折叠后点，的对应点分别为点，．（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）若，且四边形的面积是20，求线段的长．【变式13-1】（2019春•濮阳期末）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．（1）求证：；（2）求的长度．【变式13-2】（2019•萧山区模拟）如图，在矩形中，，点和点为边上两点，将矩形沿着和折叠，点和点恰好重合于矩形内部的点处，（1）当时，求的度数；（2）若，，求的长．【变式13-3】（2019春•廉江市期末）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，．（1）求证：四边形是正方形；（2）求证：三角形的周长是四边形周长的一半；（3）若，求的长度．【考点14四边形中的旋转问题】【例14】已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、，于点，如图，，求的长．【变式14-1】（2019春•徐州期末）如图，正方形的对角线和相交于点，正方形的边交于点，交于点．（1）求证：；（2）如果正方形的边长为，那么正方形绕点转动的过程中，与正方形重叠部分的面积始终等于（用含的代数式表示）【变式14-2】（2019春•无棣县期末）如图，在正方形中，、是对角线上两点，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，，且使得．（1）求证：；（2）求证：．【变式14-3】（2019春•宁津县期末）如图1，已知四边形是正方形，对角线、相交于点，以点为顶点作正方形．（1）如图1，点、分别在和上，连接、，和有何数量关系，并说明理由；（2）将正方形绕点顺时针方向旋转，如图2，判断和的数量关系，并说明理由．专题1.3平行四边形章末重难点题型【人教版】【考点1平行四边形的性质】【方法点拨】解题的关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．【例1】（2019春•沙坪坝区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，DC＝5，BC＝3，则EC的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【分析】由平行四边形的性质知AD＝BC＝3，DC∥AB，据此得∠BAE＝∠AED，再由角平分线性质知∠BAE＝∠DAE，从而得∠AED＝∠DAE，据此知AD＝DE＝3，根据EC＝DC﹣DE可得答案．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，∴AD＝BC＝3，DC∥AB，∴∠BAE＝∠AED，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝DE＝3，∵DC＝5，∴EC＝DC﹣DE＝5﹣3＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．【变式1-1】（2019春•巴南区期中）已知▱ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大4cm，则AD的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】▱ABCD的周长为32cm，则AB+BC＝16；△BOC和△AOB共边OB，且OC＝OA，则BC﹣AB＝4；从而得到BC的长，且AD＝BC；【答案】解：∵▱ABCD的周长为32cm，∴AB+BC＝∵△BOC和△AOB共边OB，且平行四边形平分对角线；∴OB＝OB，OA＝OC；又∵若△BOC的周长比△AOB的周长大4cm，∴BC﹣AB＝4联立∴BC＝10，AB＝6∴AD＝BC＝10故选：D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．【变式1-2】（2019春•闽侯县期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】首先证明线段AG与线段DE互相垂直平分，利用勾股定理求出AH即可解决问题；【答案】解：如图，设AG交BD于H．∵AD＝AE，AG平分∠BAD，∴AG垂直平分DE，∴DH＝EH＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AGD＝∠GAB，∵∠DAG＝∠GAB，∴∠DAG＝∠DGA，∴DA＝DG，∵DE⊥AG，∴AH＝GH，在Rt△ADH中，AH＝＝＝4，∴AG＝2AH＝8．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；【变式1-3】（2019春•谢家集区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD＞AB，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为20，则△CDE的周长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝20，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长为20，∴AD+CD＝10，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝10．故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2平行四边形的判定条件】【方法点拨】平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【例2】（2019春•鄂城区期中）下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【答案】解：①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．【变式2-1】（2019春•常熟市期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【答案】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【变式2-2】（2019春•北京校级期中）已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．【答案】解：①AD∥BC且AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形；②AB＝CD且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形；③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形；④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD不能判定四边形ABCD是平行四边形；故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．【变式2-3】（2018•雁江区模拟）在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】（1）因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以①正确；（2）因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以②正确；（3）此题易证此四边形的两组对边分别平行，所以③正确；（5）此题可以通过证明三角形全等，证得AB＝CD，所以证得此四边形是平行四边形；正确；（4）与（6）等腰梯形也符合要求，所以错误．【答案】解：（1）∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；正确；（2）∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；正确；（3）∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；正确；（4）可能是等腰梯形，所以错误；（5）∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∵AO＝CO，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；正确；（6）此题可以是等腰梯形；错误．故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的判定．注意真命题需要证明，假命题只要举反例即可．解题时还要注意数形结合思想的应用．【考点3平行四边形的判定及性质】【例3】（2019春•越秀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BE＝DF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME＝FN，即可证出四边形MENF是平行四边形．【答案】（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF；（2）证明：∵△BAE≌△DCF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，∴∠AEB＝∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME＝FN，∴四边形FMEN是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式3-1】（2019春•香坊区校级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）如果AE＝EF＝FC，请直接写出图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形．【分析】（1）首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA＝OC，OB＝OD，又由AE＝CF，可得OE＝OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）∵AE＝EF＝FC，∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF，图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形为△ADF，△CDE，△ABF，△CBE．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式3-2】（2019春•鄂城区期中）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O．（1）求证：EG∥FH；（2）GH、EF互相平分．【分析】（1）由平行四边形的性质得到对边平行，得到内错角相等，根据三角形全等，得到边相等，角相等，再由邻补角得到内错角相等，得到两线平行；（2）根据平行四边形的性质和判定得到结论．【答案】（1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE＝EF，即；AE＝CF，在△AGE与△CHF中，，∴△AGE≌△CHF，∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEO＝∠HFO，∴EG∥FH；（2）由（1）证得GE＝HF，EG∥FH，∴四边形GFHE是平行四边形，∴GH、EF互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，注意数形结合，分清平行四边形的性质和判定．【变式3-3】（2018春•青山区期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD＝36，AB＝12，求△OEF的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，由中点的性质可得EO＝AO，GO＝CO，FO＝BO，HO＝DO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）由平行四边形的性质可得EO+FO＝9，由三角形中位线定理可得EF＝6，即可求解．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，BO＝DO，∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．∴EO＝AO，GO＝CO，FO＝BO，HO＝DO∴EO＝GO，FO＝HO∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AC+BD＝36，∴AO+BO＝18，∴EO+FO＝9∵E、F分别是AO、BO的中点，∴EF＝AB，且AB＝12∴EF＝6，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝9+6＝15【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．【考点4三角形的中位线】【例4】（2019秋•长春期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（）A．9° B．18° C．27° D．36°【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．【变式4-1】（2019春•相城区期中）如图，△ABC中，AB＝9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3EF，当AF⊥BF时，BC的长是（）A．9 B．10.5 C．12 D．18【分析】延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【答案】解：延长AF交BC于H，∵AF⊥BF，D是AB的中点，∴DF＝AB＝4.5，∵DF＝3EF，∴EF＝1.5，则DE＝DF+EF＝6，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE＝12，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-2】（2019春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．5 C．7 D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【答案】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．【变式4-3】（2019春•庐阳区期末）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（）A． B．2 C． D．3【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【考点5菱形的性质】【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。【例5】（2019春•卧龙区期末）如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于A．6 B．8 C．14 D．28【分析】首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO•BO的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∵菱形ABCD的周长为24，∴AD＝AB＝6，∵AC+BD＝16，∴AO+BO＝8，∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，∵AO2+BO2＝AB2，∴AO•BO＝14，∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO•BO的值．【变式5-1】（2019春•定远县期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE＝BE＝OD，根据菱形性质可得∠DBE＝∠ABC＝65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED＝90°﹣∠OEB即可．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝65°．∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．【变式5-2】（2019春•宝应县期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于A． B．4 C． D．5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝5，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝24，∴AH＝故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．【变式5-3】（2018秋•巴南区期末）如图，菱形中，，于，交于，于．若的周长为4，则菱形的面积为A． B． C．16 D．【分析】根据菱形的性质得到∠BCD＝45°，推出△BFG与△BEC是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，得到BF＝x，根据△BFG的周长为4，列方程x+x+x＝4，即可得到结论．【答案】解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，求FG的长是本题的关键．【考点6矩形的性质】【方法点拨】矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。【例6】（2019春•庐阳区期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是A． B． C． D．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝40°，可得∠E度数．【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．故选：A．【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．【变式6-1】（2019春•黄冈期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则A． B． C． D．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB，由勾股定理求出OD即可．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，∵AE＝2cm，∴OE＝2，∴OD＝OB＝2OE＝4；故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．【变式6-2】（2019•红河州二模）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为A．12 B．24 C．27 D．54【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【答案】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×3×9＝13.5，∴S阴＝13.5+13.5＝27，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．【变式6-3】（2019春•侯马市期末）如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，可求得OA＝OD＝，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案．【答案】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝＝2.4．故选：D．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．【考点7正方形的性质】【方法点拨】正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。【例7】（2019春•蚌埠期末）如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则A． B． C． D．【分析】先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°，在△ADE中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AD＝AD，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．【变式7-1】（2019春•诸暨市期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为A． B． C． D．【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性质求得∠MAD的度数，从而求得∠BAM＝∠ABM的度数，利用三角形的内角和求得∠AMB的度数．【答案】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，∴△MDC是等边三角形，∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADM＝30°，∴∠MAD＝∠AMD＝75°，∴∠BAM＝15°，同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．【变式7-2】（2019春•越城区期末）如图，在正方形中，，点分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为A．7 B． C．8 D．【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【答案】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．【变式7-3】（2019春•沧州期末）正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为A．， B．， C．， D．，【分析】作辅助线，根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH是等腰直角三角形，计算GH和BH的长，可解答．【答案】解：过G作GH⊥x轴于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵四边形AEFG是正方形，AE＝AB＝2，∴∠EAG＝90°，AG＝2，∴∠HAG＝45°，∵∠AHG＝90°，∴AH＝GH＝，∴G（，2+），故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，掌握等腰直角三角形各边的关系是关键，理解坐标与图形性质．【考点8菱形的判定】【方法点拨】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。【例8】（2019春•兰陵县期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：．（2）求证：四边形是菱形．【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE，可得AF＝BD；（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD＝CD，即可得四边形ADCF是菱形．【答案】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，∴AE＝DE，BD＝CD在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS））∴AF＝BD（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，∴AF＝CD，且AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴∴四边形ADCF是菱形【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AD＝CD是本题的关系．【变式8-1】（2019春•泰山区期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、．求证：四边形是菱形．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG＝∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF，得出AE＝BF，由AD∥BC，可证四边形AFBE是平行四边形，由EF⊥AB，即可得出结论．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，且∠AEG＝∠BFG，∠AGE＝∠BGF∴△AGE≌△BGF（AAS）；∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在中，点是边上一点，，连接．点是中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形．【分析】根据等腰三角形的性质得到AO⊥CD，得到CF＝DF，根据全等三角形的性质得到FC＝CE，求得CE＝DF，于是得到结论．【答案】解：∵AC＝AD，点O是CD中点，∴AO⊥CD，∴CF＝DF，∴∠FCD＝∠FDC，∵DF∥BC，∴∠FDC＝∠DCE，∴∠FCD＝∠ECD，在△FCO与△ECO中，∴△FCO≌△ECO（ASA），∴FC＝CE，∴CE＝DF，∵DF∥CE，∴四边形CEDF是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式8-3】（2019春•霍林郭勒市期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．（1）求证：；（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【考点9矩形的判定】【方法点拨】矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。【例9】（2019春•雨花区校级期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．（1）求证：△；（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式9-1】（2019春•郁南县期末）如图，是的中线，，交于点，且．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形．【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DFB；（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE＝CD，且AE∥BC，可证四边形ADCE是平行四边形；（3）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形ADCE是矩形．【答案】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，且∠AFE＝∠DFB，AF＝DF∴△AFE≌△DFB（AAS）（2）∵△AFE≌△DFB，∴AE＝BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD∴AE＝CD∵AE∥BC∴四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形；∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形∴当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形．【点睛】此题主要考查了矩形，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【变式9-2】（2019春•滨海县期中）如图，点、分别是不等边三角形（即的边、的中点．点是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE＝BC，同理，GF∥BC，GF＝BC，即可得出DE∥GF，DE＝GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；（2）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．【答案】（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，同理，GF∥BC，GF＝BC，∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DGFE是平行四边形；（2）当OA⊥BC时，四边形DGFE是矩形，理由是：连接AO，由（1）知，四边形DGFE是平行四边形．当OA⊥BC时，DG⊥GF，故平行四边形DGFE是矩形．所以当OA⊥BC时，四边形DGFE是矩形．【点睛】此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及矩形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．【变式9-3】（2019春•鱼台县期末）如图，在中，是上的一个动点（不与点、重合），过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．（1）试说明：；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，然后求出∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，再根据等角对等边可得OE＝OC，同理可得OF＝OC，从而得到OE＝OF；（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，由AO＝CO，OE＝OF可得四边形AECF是平行四边形，然后再证明∠ECF＝90°可得四边形AECF是矩形．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定以及等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边；有一个角为直角的平行四边形是矩形．【考点10正方形的判定】【方法点拨】解正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形.【例10】（2019•防城港模拟）如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．（1）求证：．（2）若．求证：四边形是正方形．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG＝90°，即可证得该平行四边形是正方形．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形．∴四边形EFGH是菱形．【点睛】本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．【变式10-1】（2019•崂山区二模）已知：四边形为平行四边形，延长至点，使，连接交于点，连接（1）求证：．（2）若，当时，四边形为正方形请说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥CD，AE＝CD，推出AB∥CD，AB＝CD，得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AC＝DE，推出AC＝DE，得到▱ABCD是矩形，根据平行线的性质得到AC⊥BD，于是得到四边形ABCD为正方形．【答案】（1）证明：∵四边形ACDE为平行四边形，∴AE∥CD，AE＝CD，∵EA＝BA，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC；（2）解：当∠E＝45°时，四边形ABCD为正方形，∵四边形ACDE为平行四边形，∴AC＝DE，∵BD＝DE，∴AC＝DE，∴▱ABCD是矩形，∵BD＝DE，∴∠E＝∠EBD＝45°，∴∠BDE＝90°，∵AC∥DE，∴∠AFB＝∠BDE＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式10-2】（2019春•白山期末）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．（1）求证：是的中点．（2）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，于是得到结论．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD，∴D是BC的中点；（2）若△ABC是等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，AD＝BD，∴平行四边形AFBD是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．【变式10-3】（2019春•泉州期末）如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．（1）判断与的大小关系？并说明理由；（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．【分析】（1）利用角平分线的性质的得出，∠1＝∠2，进而得出，∠3＝∠2，即可得出OE与OF的大小关系；（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF＝90度，再利用矩形的判定得出即可；（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO＝FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝×180°＝90°．即∠ECF＝90度，∴平行四边形AECF是矩形．（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB＝90°时，四边形AECF会是正方形，理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵∠ACB＝90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝45°，∴AC⊥MN，∴四边形AECF是正方形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键．【考点11中点四边形】【例11】（2019春•邹城市期末）已知：四边形，，，，是各边的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）假如四边形是一个矩形，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．【分析】（1）利用三角形的中位线定理证得两组对边分别平行即可证得结论；（2）利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．【答案】解：∵E，F，G，H是各边的中点，∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝AC＝＝EH，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．【点睛】考查了中点四边形及平行四边形的性质及判定的知识，能够利用中位线定理是解答本题的关键，难度不大．【变式11-1】（2019春•密山市期末）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．（1）四边形的形状是，证明你的结论．（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足条件时，四边形是矩形；证明你的结论．（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1＝90°，然后根据平行线的性质求出∠3＝90°，再根据垂直定义解答．【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH＝BD，同理FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：如图2，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：如图3，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形．故答案为：平行四边形；互相垂直．【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．【变式11-2】（2018春•洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形中，点，，，分别为边，，的中点，则中点四边形形状是．（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，求证：中点四边形是正方形．【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．（2）首先证明四边形EFGH是菱形．再证明∠EHG＝90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形；（2）四边形EFGH是正方形．理由：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【变式11-3】（2019春•广东期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．（1）四边形的形状是，证明你的结论；（2）当四边形的对角线满足条件时，四边形是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？（3）当四边形的对角线满足条件时，四边形是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？．【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等．【答案】（1）证明：连接AC，∵在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，即EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC且EF＝AC同理可证：HG∥AC且HG＝AC∴EF∥HG且EF＝HG∴四边形EFGH是平行四边形．故答案为：平行四边形；（2）当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形，要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；学过的菱形的中点四边形是矩形；故答案为：AB⊥CD，菱形；（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF＝FG，由（1）得，只需AC＝BD；学