平面与平面平行高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面与平面平行

第八章立体几何初步课程目标

1．理解平面和平面平行的判定定理及性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对平面和平面平行的判定定理及性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．两个平面相交平面与平面的位置关系有：两个平面平行两个平面平行：两个平面没有公共点，即一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点，也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行。直线和平面平行的判定是通过“线面平行”

和“线线平行”的相互转化，实现了空间问题平面化.类似的，把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行或线线平行的问题如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么两个平面平行。反之，若α中所有直线都平行β，则α∥β

两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题。若平面α∥β，则α中所有直线都平行β线面平行面面平行转化无限有限转化如何判断一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行呢？

探究：根据基本事实的推论2,3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面，由此可以想到，如果一个平面内有两条相交或平行直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？如图（1），a和b分别是矩形硬纸板的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸板和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺与桌面平行吗？如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行。我们借助长方体模型来说明。如图，在平面A’ADD’内画一条与AA’平行的直线EF,显然AA’与EF都平行于平面DD’CC’,但这两条平行直线所在平面AA’DD’与平面DD’CC’相交。如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的，如图，平面ABCD内两条相交直线A’C’,B’D’平行。由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC,BD都与平面A’B’C’D’平行，此时平面ABCD平行平面A’B’C’D’平面与平面平行的判定定理：

符号语言：

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.P①内②交③平行线面平行面面平行图形语言：平面与平面平行的判定定理要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线，要证明线面平行，需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再做辅助线平面与平面平行的判定定理的推论图形语言：符号语言：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.练习：判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则

与平行；（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则

与平行；××（3）、一个平面内两条不平行的直线都平行于平面，则与平行。（4）、如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。√√（5）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行×例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四边形，∴D1A∥C1B，又D1A

平面C1BD,CB平面C1BD.由直线与平面平行的判定,可知同理

D1B1∥平面C1BD,又D1A∩D1B1=D1,所以，平面AB1D1∥平面C1BD。D1A∥平面C1BD，练习.如图三棱锥P-ABC，D,E,F分别是棱PA，PB，PC上的点，PD/PA=PE/PB=PF/PC求证：平面DEF//平面ABC证明：因为PD/PA=PE/PB,所以DE//AB.又因为DE不在平面ABC内，所以DE//平面ABC，同理EF//平面ABC。又因为DE∩EF=E,所以，平面EDF//平面ABC.练习.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,E,F分别为棱PC,CD的中点，AB=3,CD=6,证明：平面PAD//平面BEF证明：因为F为CD的中点且CD=2AB，所以DF=AB,因为AB//CD，所以AB//DF,所以四边形ABFD为平行四边形。所以BF//AD.在△PDC中因为E,F分别为PC,CD的中点所以EF//PD.因为EF∩BF=F,PD∩AD=D所以平面PAD//平面BEF总结证明两个平面平行基本思路线线平行线面平行面面平行证明两个平面平行一般步骤一：在一个平面内找出两条相交直线二：证明两条相交直线分别平行于另一个平面三：利用判定定理得结论思考：如果两个平面平行，会有哪些结论呢？探究一：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行。探究二：如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？答：借助长方体模型探究得出结论，如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线，要么是平行直线。答：平行，证明如下。如图平面α//β，平面γ分别与α，β相交于直线a,b因为α∩γ=a,β∩γ=b所以∴a，b没有公共点又a,b同在平面γ内∴a//b

探究三：当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？面面平行的性质定理：两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

符号语言：图形语言：

即：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.例2.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等证明：如图，α//β，AB//CD,且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证AB=CD证明：过平行线AB,CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD∵α//β∴BD//AC又AB//CD∴四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD性质定理应用的注意事项练习解析因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,

同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤2、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等

4、两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.5、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行；两平面平行的相关性质三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示例1如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;

(2)求PQ的长;(3)求证:EF∥平面BB1D1D.法二取AD的中点G,连接PG,GQ,则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,所以平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ所以PQ∥平面DCC1D1.线线平行线面平行面面平行线面平行解析(1)法一如图,连接AC,CD1.因为P,Q分别是AD1,AC的中点,所以PQ∥CD1又PQ⊄平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.1、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?练习解析如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1