高等数学公式手册 (二)

高等数学公式手册

某些初等函数：两个重要极限:

「sinx、

双曲正弦:shx=-——-—lim------=1

2%->ox

双曲余弦:c/u=e'+e"lim(l+-r=e=2.718281828459045...

200JQ

双曲正切:也》=以竺=《x

chxex-\-ex

archx=±]n(x+ylx2-1)

三角函数公式:

•诱导公式：

sincosctg

角tg

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

■和差角公式:■和差化积公式:

,倍角公式:

a+Ba-P

sin(cr±J3)=sinacosp±cosasin0sincif+sin/3=2sin一-----cos

22

cos@士，)=cos6zcos^+sincrsin0

a+/7.a-p

土历=詈叫sina-sin，=2cos—------sin

tgQ22

a+Ba-B

cos^z+cosp=2cos--------cos

熊…二安s2----------2

ctg/3±ctgaa-P

cosa-cos/7=2sin-------sin

22

sin2。=2sinocosa

cos2dz=2cos2CK-1=l-2sin2a=cos2。一sin2。sin3a=3sina—4sin3a

与ct^2a-lcos3a=4cos%—3cosa

ctg2a=-------------

letga32

2tga

tgla=

l-tg2a

■半角公式:

.a.Jl-cosa

smT-v-2-

a.1-cosa_l-cosasincra,1+cosa1+coscrsma

次一=±J------------

2vl+cos<zsin。l+C0S6f，电5=±1-coscrsina1-coscr

bC

•正弦定理：一L-OP■余弦定理：c1=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

7171

■反三角函数性质:arcsinx=-----arccosxarctgx=--arcctgx

2

(arcsinx)/=/1

(tgx)r=seci2x

A/1—x2

2

(ctgx)'=-escx1

(sec%)'=secx^gx(arccosx)'=

(cscx\=-cscx-ctgx

(arctgxy=-----r

(〃")'=优ln〃1+x

(log。尤)'=-y—(arcctgx)'=

xina1+x

导数公式:

基本积分表:

2

jtgxdx=-ln|cosx|+C―空—=fsecxdx=tgx+C

cosx」

jctgxdx=to|sinx|+C

f勺-fesc2xdx=-ctgx+C

Jsecx":=In|sec%+次,+CJsinx」

jcscxdx-ln|csex-etgj^+Ctgxdx=secx+C

rdx1Xxdx--esex+C

2.2=—arctg—+C

JQ+Xaa

iaxdx=———I-C

rdx1,x-aJIna

22二——In+c

x-a2ax+〃Jshxdx=chx+C

dx1ia+x-

——=——In-----+Cjchxdx=shx+C

a-xr2aa-x

22

dx.xj/,x2=ln(x+ylx±a)+C

i=arcsin—+

J/3)Vx2±a2

兀兀

2

=|sin〃xdx=jcos"xdx-——-I_

nn2

oon

___________尤___________a2_______

JJ%)+十2dx——JX2+十2H——lll(x+J%2+十2)+C

(___________、，(「2_______

22x=(

jylx-a^~一。2-----InX+J%2—Q2+C

2

2/,X

jyla2-x2dx=^4a^—xH----arcsin—\-C

2a

三角函数的有理式积分:

.2u1-M2X72du

sinx=------cosx=-----------u=ts—,dx=----T

1+M21+M221+u2

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式:

o）（〃）=£c＞（j）产

k=0

5).(H-1)，,〃(〃—1)(n—2)，，..〃(〃—I)1•(〃-%+1)(-k)(k).

-uv+nuVH--------------UVH-------1---------------------------------UnV+■■+uvM

2!k!

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/3）-/（。）=/痣）@-。）

柯西中值定理："'）—〃"）=

F（b）-F（a）PC）

当F（x）=x时，柯西中值定理就曷立格朗日中值定理c

曲率:

弧微分公式：ds=+,'2〃¥,其中；/=氏(7

Adz

平均曲率衣=.△&：从乂点到乂，点，切线斜率的倾角变化量;：MM弧长。

As1

Nada

M点的曲率：K=lim

As->0Ayds

直线：K=0;

半径为o的圆：K=—

a

定积分附近似计算:

bh—n

矩形法:二%+…+%T)

a

梯形法:J^[!(^0+%)+%+-+]

a

bi

抛物线法：j/(x)®+K)+2(%+%+…+yn-2)+4(%+%+・,+KT)]

a3”

定积分应用有关公式:

功：W=Fs

水压力：F=p-A

引力：歹=左*状为引力系数

r

-1\

函数的平均值：y=------[f(x)dx

b-aJ

b

均方根

\b-aa

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=\MxM^=七/+⑴―%)?+(Z2—zj2

Prju(4+诟)=Pr+Prja2

a-b=\a\-^cosO=axbx+ayby+应却是一个数量

ab+ab+ab

两向量之间的夹角cosO=xxyyzz

+叫2+/2.J02+42+22

Jk

〃z,同二同柩卜出夕例

c=axb=4ay线速度：v=wxr.

bz

久by,

a见

x%

bb=斗向为锐角时,

向量的混合积E法司=0x5)・*=bxyzcosa,a

y

代表平行六面体的体积

v

1A(x-x0)+JB(y-y0)+C(z-z0)=0n={A,B,C},M0{x0,yQ,z0)

2Ax+By+Cz+D=0

3,*=1

abc

|A%+By^+CZQ+Z)|

d=

VA2+B2+C2

x=x0+mt

%—/_y—九_z—z°

s={m,n,p};'y=y+nt

mnp0

z=z0+pt

z2

1+4.=1

-ab+c2

2

X_z=

2___L=Z,p，q

2P2q

3

x2z2

___yt_=i

a2b-c2

x2z2

z—±i

a2b2+c2

多元函数微分法及应用

人国，八,dz,dz,,du,du,du,

全微力：dz=—dx-\aydu=—dx-\dy-\dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Azudz=/(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

dz_dzdudzdv

z=/[«(?),V(O]•--F

dtdudtdvdt

c/、/dzdzdudzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]—=+

OXOUoxovox

当"二y),v=v(x,y)时，

,dudu.7Sv7Su7

du——d7x----dydv——dxH-----dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

dy_

隐函数F(x,y)=O,-工-,枭-/)+枭-/•亭

2

dxFydxdxFydyFydx

&_dz_Fy

隐函数F(x,y,z)=O,-F,,

dx工一二一丁

dFdF

J、,

隐函数方程组0/(F,G)dudy=FuF

G(九,y,〃,v)=05(u,v)dGdG~

----GuGv

dudv

生

1e(F,G)a-vie(F,G)

Jd(x,v)Jd(u,x)

ax加

a加x

¥1d(F,G)一1a(F,G)

a,(办

微分法在几何上的应用:

x=(p(t)

空间曲线y="⑺在点M(%,％,Z。)处的切线方程止户=与&

(P«0)材(%)。%)

z=0(/)

在点M处的法平面方程：，(%)(%-/)+材'《0)(＞-丁0)+0'(/0)(2-20)=0

若空间曲线方程为"羽＞")=°,则切向量了=｛夕工FzFxFxF

「G「G,G」

[G(x,y,z)=0GyGQ

曲面R(x,y,z)=0上一点”(Xo，%/。)，贝U：

1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程Fx(xo,yo,zoXx-xo)+Fy(xo,yo,zoXy-yo)+F:(xo,yo,zoXz-zo)=O

3、过此点的法线方程:一二一=—匚为一=—二一

工(与，%/0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为Z=gcos9+gsin°

dloxoy

其中9为x轴到方向/的转角。

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=g：+g亍

dxdy

它与方向导数的关系是比=grad/(x,y＞。，其中。=cos9i+sinej,为/方向上的

81

单位向量。

.•.2是gra"(x,y)在/上的投影。

cl

多元函数的极值及其求法:

睨(%,%)=///，%)=0，令：ZJ>0，％)=A&(%，%)=氏fyy(xo,yo)=c

心公。时'［屋£黑黑

贝”AC—82<0时，无极值

AC-B-=0时,不确定

重积分及其应用:

JJ/(x，历公办=JJ/(rcos^,rsinO)rdrdO

DD'

&Y

曲面z=f(x,y)的面积A=Jjdxdy

D

JJxp(x,y)d(jj]yp(x,y)db

平面薄片的重心：元=/Dy=_L=_2__________

M\\p{x,y)da'MJJ夕(x,y)dcr

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/、.=JJy2夕（x,yMb,对于y轴4=JJ/夕（x,y）db

DD

平面薄片（位无。严面）对Z轴上质点M（0,0,a）,（a〉0）的引力：F={Fx,Fy,Fz},其中:

F_川夕(x,y)xd[umx，加工=一/叫河内)

D(x2+y2+tz2)2D(x2+y2+a2)2°(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosd

柱面坐标ry=rsin^,jjj/(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,e,z)rdrdBdz,

z=zQQ

其中：F(r,^,z)=/(rcos^,rsin0,z)

%=rsin/cos。

球面坐标，y=rsin/sinadv=rd(p-rsin(p'd3'dr=r2sin(pdrd(pd0

z=rcos(p

ITI兀r”,6)

jjj/(x,z)dxdydz=jjjF(r,(p,0)r-sin(pdrdcpdO=jd0^d(pjF(r,^,^)r2sin(pdr

QQ000

重心：元$川皿，尸力内邛血,=其中M-JJJpdv

Q

222222

转动惯量：Ix=jjj(y+z)>a/v,Iy=jjj(x+z)/x/v,Iz=\\\{x+y}pdv

QQQ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧氏的曲线积分)：

设/Xx,〉)在L上连续，L的参数方程为=则:

3二〃⑺

P___________

J/(x,y)ds=J于l(p(t)，w(t)l[(p'2(t)+U23dt(«</3)特殊情况一

La，=*)

第二类曲线积分(对坐示的曲线积分)：

设L的参数方程为[“=9"),则：

U=w(t)

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{P[9⑺"⑺]9")+。即⑺〃(/)]，⑺}力

La

两类曲线积分之间的Pdx+Qdy=j(Pcos<z+Qcos/3)ds,其中/口△分别为

LL

L上积分起止点处切向靴方向角。

格林公式：|--)dxdy=fPdx+Qdy格林公式：[-^-)dxdy=JPdx+Qdy

时dy*dx

当尸=-y,Q=x,即:G^-M=2时，得至亚)的面积：A=ffdxdy=—fxdy-ydx

dxdy2*

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),。(羽y)在G内具有一阶连续偏导数且孚=学。注意奇点，如：0,0),应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积

在孚=半时，Pdx+Qdy才是二元函痴(x,y)的全微分，其中：

dxcy

(%,y)

w(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设%=%=0。

(玉),％)

曲面积分:

对面积的曲面积分J，f(x,y,z)ds=f[x,y,z(x,y)]J1+(x,y)+(x,y)dxdy

iDxy

对坐标的曲面积分，，P(x,z)dydz+2(x,y,*dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

z

jjH(x,y,z)d九dy=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

ZDXy

jjP(x,z)dydz=±JJ尸[%(y,Z),y.z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

ZDyz

jj2(x,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

£以

两类曲面积分之间的：JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcoscr+Qcos/3+Hcos/)ds

zz

高斯公式:

fffdR)dv=目Pdydz+Qdzdx+Rdxdy二分(尸cos。+Qcosf3+Rcosy)ds

JJJ(二十二十二

£2oxo，yoz

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：d…导*!!，即：单位体积内所产生的流体质量，若d…。，则为消失…

通量:JJA-nds=JJAnds=JJ(尸coso+Qcos/?+Hcos/)ds,

z

因此，高斯公式又可写成:田divZdv=目Ands

E

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

rrdQ.,」,dPdR.,,,dQdP.,,r„,

11(----------)dydz+(----------)dzdx+(----------)dxdy='Pd7x-\-Qdy+Rdz

J

gdydzdzdxdxdyr

dydzdzdxdxdycos。cos/3cos/

d

上式左端又可写成gdda

dxdyfOZ』¥Ioxdydz

PQRPQR

dRdQdPdRdQdP

空间曲线积分与路径承的条件:

dydzdzdxdxdy

i

d

旋度：rotA=

dx

P

向量场区沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=JA-tds

rr

常数项级数:

等比数歹U1+4+/+…+/T1T

i-q

(n+l)n

等差数歹U1+2+3H----\-n=

2

调和级数1+工+工+…+!是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：

.<1时,级数收敛

设：夕=limW7，则V夕〉1时，级数发散

n—>oo

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

［夕<1时，级数收敛

设：夕=lim巴红，则夕〉1时，级数发散

n->ooTJ

"［夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+出+••,+/；山ns,存在，则收敛；否则制攵。

n—>oo

父错级数-沅2+%-“4+…(或-"1+“2-%+/>0)的审敛法来布尼兹定理:

U2沈q

如果交错级数满吗嬴工那么级数收敛且其和〈对,其余项乙的绝对地|《小

、“-»00n

绝对收敛与条件收敛：

(1)〃］+"2T---卜"3--9其中许为任意实数；

(2)|«1|+1«21+|z/31+-••+|i/n|+•••

如果⑵收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对I攵敛级数;

如果⑵发散，而⑴收敛，则称Q)为条件收敛级数。

调和级数w，发散，而z千1攵敛;

级数收敛；

n

P<1时发散

p级数

n2〉1时收敛

幕级数:

。3时，收敛于一一

\|x|>1时，发散

对于级数(3)%+%%+。2*2+…+a"x"+…,如果它不是仅在原点I攵敛,也不是在全

/W<R时收敛

数轴上都收敛，则必存生凡使j|x|〉R时发散其中R称为收敛半径。

=R时不定

Ip大0时，R=—

求收敛半径的方法：设im回=夕，其中%，。角是⑶的系数，贝/夕=0时，7?=+oo

""［夕=+oo时，R=Q

函数展开成塞级数：

，；

函数展开成泰勒级数:f(x)=f(xo)(x—xo)+°\x-xo)~H------1--°\x—%0)H

2!n!

余项：Rn=2—32(%一％)〃+1JQ)可以展开成泰勒级数怖要条件是.与=0

(〃+1)!〃-00

%=0时即为麦克劳林公式：/a)=/(o)+/(0)%+£亚/+...+/28%〃+...

2!n\

某些函数展开成幕级数：

(1+x)=l+mx+--------x+-••+----------------------x+-­•(-1<^<1)

2!n!

“3"5_2"T

sinx=x-----+----------+(-1)-----------十・••(-00<%<+oo)

3!5!(2n-l)!

欧拉公式：

-*+e*

cosx=-----------

a

e=cosx+zsinx或

.ecix-e-ix

sinx=-----------

2

三角级数:

0000

。0+E(〃“cosnx+bsinnx)

sin(〃G%+9")=~2n

n=ln-l

其中，％=%，an=Ansin(p“,bn=Ancos%，mt=x。

正交性:1,5抽羽（：05羽51112%（：052%--5111〃》,（：05底-任意两个不同项的乘积力-犯乃］

上的积分=0。

傅立叶级数:

00

。0+Z(%cosnx+bsinnx),

f(x)=~2n周期=2万

n=l

(〃=0,1,2…)

(〃=1,2,3…)

1+3+-.111兀2

FF—TH=(相力口)

32522232426

111/+，-（+…吨（相减）

域+L『…