中考数学一轮复习课件矩形菱形正方形

矩形、菱形、正方形

知识点1矩形的性质与判定1.性质边两组对边分别平行且相等角四个角都是直角对角线两条对角线①

相等且互相平分

⁠对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是过每组对边中点的直线，对称中心是两条对角线的交点相等且互相平分2.判定边有一个角是②

直角

⁠的平行四边形是矩形（定义法）角有三个角都是③

直角

⁠的四边形是矩形对角线对角线④

相等

⁠的平行四边形是矩形图示⁠

⁠直角直角相等【提分小练】1.如图，添加下列条件能判定▱ABCD是矩形的是（

C

）A.AB＝ADB.AB∥CDC.AC＝BDD.AC⊥BDC2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOD＝120°，CD＝2，则OA的长为

2

⁠，∠OAD的度数为

30°

⁠，BD的长为

4

⁠.230°4知识点2菱形的性质与判定1.性质边四条边⑤

相等

⁠，对边平行角对角相等对角线对角线⑥

互相垂直且平分

⁠，并且每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点相等互相垂直且平分2.判定边（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）（2）四条边都相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形图示⁠

⁠3.面积的计算公式S＝⑦

mn

⁠（m，n分别表示菱形两条对角线的长）

【提分小练】3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点.已知AD＝8，∠CAD＝60°，则AB的长为

8

⁠，OE的长为

4

⁠，∠ABD的度数为

30°

⁠.8430°4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件

AB＝AD（答案不唯一）

⁠能判定▱ABCD为菱形.AB＝AD（答案不唯一）知识点3正方形的性质与判定1.性质边对边平行，四条边都⑧

相等

⁠角四个角都是直角对角线对角线⑨

相等且互相垂直平分

⁠，每条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形；有四条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线和过每组对边中点的直线；对称中心是对角线的交点相等相等且互相垂直平分2.判定边有一组邻边相等，并且有一个角是⑩

直角

⁠的平行四边形是正方形（定义法）有一组⑪

邻边

⁠相等的矩形是正方形角有一个角是⑫

直角

⁠的菱形是正方形对角线对角线⑬

互相垂直

⁠的矩形是正方形对角线⑭

相等

⁠的菱形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形直角邻边直角互相垂直相等3.面积的计算公式S＝a2（a表示正方形的边长）＝l2（l表示正方形对角线的长）图示⁠

⁠【提分小练】

6.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（

C

）A.AC⊥BDB.AB∥CDC.∠A＝90°D.∠A＝∠C524

C

第7题图4

16168.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED，延长BE，交AD于点F.若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为

65°

⁠.第8题图65°知识点4中点四边形1.顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是⑮

平行四边形

⁠；其周长是原四边形的对角线之和，其面积是原四边形面积的一半.2.若四边形的对角线垂直，则顺次连接各边中点所得的四边形是⑯

矩形

⁠；若四边形的对角线相等，则顺次连接各边中点所得的四边形是⑰

菱形

⁠.平行四边形矩形菱形9.如图，四边形ABCD各边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的周长是

14

⁠.14【提分小练】

命题点1

矩形的性质与判定1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长是（

D

）A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm第1题图D考点训练2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是

20

⁠.第2题图20

3.如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积.

4.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程.（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形.证明如下：由（1）可知∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF.由（1）知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形.∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形.命题点2

菱形的性质与判定5.如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（

C

）A.40°B.60°C.80°D.100°C

第6题图（2，0）

第7题图

8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.（1）证明：AF＝CE；（1）证明：∵D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，AC＝2DE.∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE.（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由.

命题点3

正方形的性质与判定9.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（

B

）A.B.3C.D.5第9题图B10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是（

D

）A.①②B.①③C.②③D.①②③第10题图D11.将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上.（1）求证：△ADE≌△CDG；（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠A＝∠C＝90°，∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL）.（2）若AE＝BE＝2，求BF的长.

⁠

⁠（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.图1

3460

图2

图32

图4

图5

【夺分宝典】应用矩形性质计算的一般思路：（1）根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用勾股定理或解直角三角形求线段的长；（2）根据矩形对角线相等且互相平分，可借助对角线的关系得到全等三角形；（3）矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相关计算和证明中能够得到线段或角度的等量关系.⁠

⁠（一题多设问）已知菱形ABCD.（1）如图1，AC，BD相交于点O，E为AD的中点，OE＝2，则菱形ABCD的周长为

16

⁠；图116（2）如图2，点P在对角线AC上，PE⊥AB于点E.若PE＝4，则点P到AD的距离为

4

⁠；图24

图3

（4）如图4，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E.若∠CDF＝27°，则∠DAB的度数为

102°

⁠；图4102°

图5

图6

【夺分宝典】菱形计算的一般思路：（1）求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的性质，转化为要求的角，直到找到与已知的角存在的关系；（2）求长度（线段长或周长）时，应注意使用等腰三角形的性质.若菱形中有一个角为60°，则连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质求线段长；（3）求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线乘积的一半求解.⁠

⁠已知正方形ABCD.（1）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，2），D（1，0），则点C的坐标为

（3，1）

⁠；图1（3，1）（2）如图2，E是边DC上一点，延长CB到点F，使AF＝AE.若AB＝a，则四边形AFCE的面积是

a2

⁠；图2a2（3）如图3，点P在正方形ABCD的内部，△PBC是等边三角形，BD与CP交于点F，则∠PDA的度数是

15°

⁠；图315°（4）如图4，AE平分∠BAC，交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF.若BE＝AF，则∠CDF的度数为

67.5°

⁠.图467.5°

【对点训练】1.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（

D

）A.B.1C.D.

A.B.C.D.DD3.如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F.（1）求证：四边形OECF是正方形；（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ODF＝∠OBE＝45°.∵AO⊥BD，∴DO＝BO.∵OF⊥DC，OE⊥BC，∴∠OFD＝∠OEB＝90°，∴△ODF≌△OBE（AAS），∴OF＝OE.∵∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形.∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形.（2）若AD＝4，求四边形OECF的面积.

4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；证明：（1）∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA.∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD.∵AD＝AB，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形.（2）P是边BC上的动点（不包括端点），过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，连接OP，EF，求证：OP＝EF.证明：（2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形OFPE是矩形，∴OP＝EF.

1.（2023·毕节期末）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标为（

C

）A.（3，－3）B.（－3，3）C.（3，3）D.（－3，－3）第1题图C巩固训练2.（2023·安顺模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF.若四边形ECDF为菱形，则a的值为（

B

）A.1B.2C.3D.4第2题图3.（2023·遵义期末）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（

C

）A.20°B.60°C.70°D.80°第3题图BC4.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2的度数为（

C

）A.α－90°B.α－45°C.180°－αD.270°－α第4题图5.（2023·黔西南州期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列条件能使四边形ABCD为矩形的是（

C

）A.AB∥CDB.AD＝BCC.∠A＝∠BD.∠A＝∠DCC6.（2023·六盘水期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE的长为（

B

）A.2B.C.3D.4第6题图B

A.4B.8C.12D.16第7题图B8.如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG的长为（

C

）A.2B.2.5C.3D.3.5第8题图C9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件

AB＝AD（答案不唯一）

⁠，使得矩形ABCD为正方形.第9题图10.若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为

24

⁠.AB＝AD（答案不唯一）2411.如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为

3

⁠.312.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.（1）求证：AE∥BF；证明：（1）∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD.∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.（2）若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.证明：（2）由（1）知△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB，∴CE∥DF.∵CE＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形.13.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个条件①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为矩形.（1）你添加的条件是

①（答案不唯一）

⁠；（填序号）①（答案不唯一）（2）添加条件后，求证：▱ABCD为矩形.

（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

（2）当▱ABCD的对角线满足

AC⊥BD，AC＝BD

⁠时，四边形BPCO是正方形.AC⊥BD，AC＝BD15.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点