函数零点问题七大题型（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题06函数零点问题七大题型汇总

01

题型1分段函数的零点............................................................1

题型2唯一零点问题..............................................................8

题型3指对幕函数零点...........................................................12

题型4含有绝对值函数的零点.....................................................18

题型5复合函数零点.............................................................24

题型6函数中的整数问题.........................................................30

题型7三角函数的零点...........................................................37

题型1分段函数的零点

【例题11(2023•贵州贵阳•校联考三模)已知函数/'(x)=八吃仪］股：，其中

aeR,若/(x)在区间(0,+8)内恰好有4个零点，则a的取值范围是()

【答案】C

【分析】根据参数a的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与

性质，结合端点满足的条件，即可求解.

【详解】由函数/'(x)={28s”［哽：，其中aeR,

当a<0时，对任意x>0，函数f(x)=(r-a>-4在(0,+8)内最多有1个零点不符题意，

所以a>0,

当x>a时，/'(%)=(x-a)2-4,

由(x—a)2—4=0,可得x=a+2或x=a—2,

则在x>a上,/(x)=(x-a)2-4有一个零点，

所以/'(x)=cos(nx-na)在(0,a)内有3个零点,BPcos[n(x-a)]=。在(0,a)内有3个零点，

因为0<x<a,所以—a<x—a<0,—Tia<TT(X—a)<0,

所以一y<-na<-^,解得|<a<l，

综上所述，实数a的取值范围为《,外

故选：C.

【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方

法：

L直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定

参数的取值范围；

2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结

合求解.

【变式1-1】1.（2023•海南海口・海南华侨中学校考一模）关于函数，/（%）=

f'°92（X：2）-a，0<35其中处占eR,给出下列四个结论：

甲：5是该函数的零点.

乙：4是该函数的零点.

丙：该函数的所有零点之积为0.

T:方程/（久）=1有两个不等的实根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】结合命题的矛盾性，先判断丙、丁均正确，然后分情况讨论甲乙，进行判断解题；

【详解】当尤G[3.5,+8）时，〃尤）=b-x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点.

即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确.

由所有零点之积为0,结合分段函数的性质，知必有一个零点为0,

则f(0)=log22-a=0,可得a=1.

①若甲正确,则/⑸=6-5=0,则b=5,

由f(x)=1,可得Iog2(x+2)-1=1,0<x<3.5或5-x=l,x23.5

解得x=2或x=4,方程/'(x)=1有两个不等的实根，

故丁正确.，若甲正确，乙错误；

②若乙正确，则/'(4)=0,即b-4=0,则匕=4,

dog(x+2)—1,0<x<3,5

可得/(%)=2

I4—x,x>3.5

由/(x)=1,可得log2a+2)-1=1,0<x<3.5或4-x=l,x>3.5

解得久=2,方程/'(X)=1只有一个实根，故丁错误，不满足题意.

综上，甲正确，乙错误,

故选：B

【变式1-112.(2023•天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模)设/Xx)是定义

在R上的函数，若F(x)=/(x)+合是奇函数.G(x)=f(x)-x是偶函数，函数g(x)=

黑+8)，则下歹脱法正确的个数有()

(1)当X6[2,3]时,g(x)=-2(x-2)(%-3)

(2)9(钓=2~1(>€2)

(3)若g(m)>2,则实数m的最小值为:

(4)若/i(x)=g(x)~k(x-2)有三个零点，则实数k=o

A.ljB.2jC.3jD.4j

【答案】A

【分析】由题可得"%)=x-/，后由题目条件可得g(x)大致图象.(1)由题目条件可得xe

[2,3]时,g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=4/(x-2)；(2)注意k=1的特殊情况；(3)由

题可得x£(3,4)时，g(x)=-8(x-3)(x-4)ng0=2,后结合图象可得答案；(4)问

题转化为g(%)图象与直线y=-2)有3个交点，等价于直线y=k[x-2)与g(x)在xe

(0,1)时的图象相切.

【详解】因尸(X)=f(%)+/是奇函数，则/(x)+x2+/(-x)+x2=0.因G(x)=/(x)-X是

偶函数,则/(%)-x=/(-%)+x=/(-%)-/(x)-2x.

贝!]2/(x)+2x2—2x=0=>/(x)=x—x2.

又注意到xe(1,2]时，x—1€(0,1],则g(x)=2g(x-1)=2/(x-1)；xG(2,3]时,x-le

(1,2],x-2G(0,1],则g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=4/(x-2).以此类推,可得g(x)大

致图象如下.

(1)xG[2,3]时,x-1G[1,2],x-1-1e[0,1].则g(x)=2g(x-1)=4g(x-2)=

4/(x-2)=-4(%-2)(x一3),故(1)错误；

(2)注意到当k=1时，g(等)=g0=屋)=；#2。，故(2)置吴；

(3)当x6(3,4)时，由以上分析：g(x)=8f(x-3)=-8(x-3)(%-4),则g(习=2,结

合图象可知若当m<狎,g(m)<2,则m的最小值为:，故(3)正确；

(4)h(x)=g(x)-k(x-2)有三个零点等价于g(x)图象与直线y=k(x-2)有3个交点.

由图可得，当直线y=k(x-2)与g(x)在尤e(0,1)时的图象相切时，满足题意.注意到当xe

(0,1)时，g(x)图象上有一点B,又丫=fc(x-2)恒过定点4(2,0),&B=—1则当y=

fc(x-2)与g(x)在xe(0,1)时的图象相切时,

k<=-：，故(4)错误.综上，只有(3)正确.

O

故选：A

【点睛】关键点睛：本题涉及求函数解析式及对于类周期函数性质的考查.本题由函数奇偶

性确定f(x)解析式后，结合题目条件得到了g(无)大致图象，可以直观且简明地判断(1)(2)

(3),对于(4)所涉零点问题常可转化为函数图象与直线的交点问题.

【变式1-1］3.(2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)设aeR,函

数f(x)=与函数。⑺=狈在区间［0,+8)内恰有3个零点，

I人I(XI乙)KI14.Itjf人IX

则a的取值范围是.

【答案】{2}u(|,3).

【分析】设八(X)=/(X)-g(x),结合题意可知函数h(x)在区间［0,+8)内恰有3个零点，

分析a<0时不符合题意，a>0时，结合二次函数△=8a-16的正负及h(a)=-2a+5的

正负即可求解.

【详解】由题意，函数/(x)与函数g(x)=ax在区间［0,+8)内恰有3个零点，

—2a\x—11—ax+4a—a2,x<a

设八(x)=/'(x)-g(x)=

x2—(2a+2)x+a2+5,x>a

即函数h(x)在区间［0,+8)内恰有3个零点，

当a<0时，函数h(x)在区间［0,+8)内最多有2个零点，不符合题意；

当a>0时,函数y=x2-(2a+2)x+a2+5的对称轴为x=a+1,

A=(2a+2)2-4(a2+5)=8a-16,

所以，函数h(x)在［a,a+1)上单调递减,在(a+1,+8)上单调递增，且/i(a)=-2a+5,

当4=8Q-16V0,即a<2时，函数九(%)在区间［a,+8)上无零点，

所以函数八(久)=-2a\x-1|-ax+4a-M在［o,a)上有三个零点，不符合题意；

当4=8a-16=0,即a=2时，函数九(%)在区间［2,+8)上只有一个零点，

则当工£［0z2)时,九(%)=-4\x-1|-2%4-41

令九(%)=-4|x-1|-2x+4=0,解得％=0或x=，符合题意；

当［址建二10，即a>泄，函数照)在区间［a,+8)上有1个零点,

则函数h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-°'2^在［。，a)上有2个

I—3ax+6a—az,1<%<a

零点,

2a—a2<0

则a+2a—a2>0,即2<a<3,所以|VaV3；

>—3小+6Q-a?v0

当］盂,}0,即2<。好时,函数/i(x)在区间［a,+8)上有2个零点,

则函数h(x)=-2a\x-1\-ax+4a-a2=\十上一°~在［0,a)上只有1

(-3ax+6a—az,1<x<a

个零点，

(2a-a2=02a—a2<0(2a—a2<0

则］a+2a—a2>0或a+2a—a2>0或1a4-2a—a2=0,即无解.

(-3Q2+6a—a2>0\—3a24-6a—a2>0t—3a2+6a—a2<0

综上所述，a的取值范围是{2}U(|,3).

故答案为：{2}U(|,3).

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数y=/(%)

零点个数的常用方法：

(1)直接法：令八%)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；

⑵零点存在性定理法：判断函数在区间回切上是连续不断的曲线，且f(a)"(b)<0,再结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数

形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就

是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零

点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理,

有时可结合函数的图象辅助解题.

【变式1-1J4.(2023・福建厦门・统考模拟预测)函数/•(")=[j，当a=1

时，/(X)的零点个数为；若f(x)恰有4个零点，则a的取值范围

是.

【答案】1G胡u图

2

【分析】第一空：当Q=1时COS7T%=0xx>1时/(久)=0可得答案；第二空：y=X-4ax+

8(x>a)至多有2个零点故y=COSTET在(0,a)上至少有2个零点所以Q>|分1<a

|<a<a>:讨论结合图象可得答案.

【详解】第一空：当a=1时，当0<x<1时，f(x)=cosnx=0,解得x=1；

当x>1时，“X)=%2-4%+8=(x-2)2+4>0,无零点，

故此时f(x)的零点个数是1；

第二空：显然，y=/-4ax+8(x>a)至多有2个零点，故y-coswx在(0,a)上至少有2

个零点，所以a>|；

①

若y=cos7rx(0<x<a)恰有2个零点，则|<aW|,此时y=x2-4ax+8(x>a)恰有两

(2a>a

个零点，所以△=16a2-32>0,解得e<aW4,

(f(a)=-3a2+8>0

此时|<aW半;

②

若y=COS7TX(0<x<a)恰有3个零点，则|<a号,此时f(a)=8-3a2<0,

所以y=x2-4ax+8(x>a)恰有1个零点,符合要求；

③当a>:时，/'(a)=8-3a?<0,所以y=x2-4ax+8(x>a)恰有1个零点，

而y=cosrtx^x<a)至少有4个零点，

此时f(x)至少有5个零点，不符合要求，舍去.

综上,|<aW乎或|<a<|,

故答案为工(I，胡u(|4

【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调

+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.

题型2唯一零点问题

【例题2](2023秋•重庆•高三统考阶段练习)在数列｛a"中，的=1,且函数/(X)=必+

an+1sinx-(2an+3)x+3的导函数有唯一零点,则的值为().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【答案】A

【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断f'(x)为偶函数，根据有唯一零点知/(0)=0,

构造法有即+1+3=2(an+3),应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.

4

【详解】由尸(X)=5X+(Zn+iCOSX一(20n+3)在R上有唯一零点,

44

而((―x)=5(—x)+an+1cos(—x)—(2an+3)=5x+an+1cosx—(2an+3)=f'(x),

所以尸(x)为偶函数，则/(0)=an+1-2an-3=0，故a^+i+3=2(an+3)，且%+3=4,

+1

所以5+3｝是首项为4,公比为2的等比数列,则0n+3=4-2”T=2«,

则£19=210-3=1021.

故选：A

【点睛】关键点点睛：判断导函数尸(%)为偶函数，进而得到尸(0)=0为关键.

【变式2-1]1.(2023・全国•高三专题练习)已知函蜘(x),h(x)分别是定义在R上的偶

函数和奇函数，且g(x)+/i(x)=ex+x,若函数f(x)=e|z-11+Ag(x-1)-2M有唯一零

点，则正实数4的值为()

A.-32B.-C.1D.2

【答案】C

【分析】首先利用方程组法求函数g(x)的解析式，由解析式判断/l(X)的对称性，利用导数分

析f(x)的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值f(l)=0,即可求正实数2值.

【详解】由题设，｛+般?)+42[：)£).h(x)l可得：M=手，

由/'(X)=elx-H+Xg[x-1)-2A2,易知：/(x)关于X=1对称.

当X21时，/(x)=eXT+式e》T+e】-x)-2A2,贝！J/(x)=+*e——e-，)>0,

所以f(x)单调递增，故x<1时f(x)单调递减，且当x趋向于正负无穷大时/"(X)都趋向于正无

穷大，

所以f(x)仅有一个极小值点1,则要使函数只有一个零点，即/"(1)=0,解得4=1.

故选：C

【点睛】关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个

数及对称性、单调性求参数值.

【变式2-1]2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/⑺="/+©os%-1(a6R),

若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为()

A.(—00,0)B.(—00,0)U[1,4-00)

C.(—8,0]U[1,+8)D.(—8,—1]U[1,+8)

【答案】B

x2X

【分析】根据函数的奇偶性变换得到a=(手)，设k=手，利用其几何意义根据图象得

到范围.

【详解】/(x)=1ax2+cosx-1,易知函数为偶函数，且/(0)=0,故考虑%>。的情况即

可，

当x>0时，/*(x)=1ax2+cosx—1=0,即a=,

设上=乎，表示函数y=2sin：上的点到原点的斜率，根据图象知：

y'=cos|,当X=0时，y，max=1，故k<1，故°W<1，

a=2(：；际)_无解，故aG(-00,0)U[1,4-co).

【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数y=2sin；上的点到

原点的斜率是解题的关键.

2x2

【变式2-1]3,(2023•全国•高三专题练习)已知函数"X)=2/T_齐&-2+2~)-a

有唯一零点，则负实数驻________

A.-2B.C.-1D.-，或-1

【答案】A

【详解】函数/Xx)=2dx-2|一!以2》-2+22-x)_有唯一零点,

设x-2=t,

则函数y=2e|c|-1a(2t+2-t)-标有唯一零点，

贝-1a(2f+2-t)=a2

设g(t)=2e|£|-1a(2c+2-，),•••g(-t)=2el-t|-1a(2-t+2f)=g(t),，g(t)为偶函数,

.・函数f(t)有唯一零点，

■-y-g(t)与y-a?有唯一的交点，

,此交点的横坐标为0,2-a=,解得。=—2或a=1(舍去)，

故选A.

【变式2-1J4.(2021春•洛阳期末)存在实数a使得函数f⑺=2X+2T-ma2+a-3<

唯一零点，则实数小的取值范围是().

A.(-8,：]B.(-00,0]c.[o,i]D.{o,：}

【答案】A

【分析】根据函数y=2,+2T的性质确定唯一零点，然后由二次方程判别式得结论.

【详解】令t=2》(t>0)是增函数，y=t+]由对勾函数性质y=t+：在(0,1)上递减，

在(1,+8)上递增，

所以1=1时/ymin=2,此时％=0,因此/(%)有唯一零点,则零点为％=0,

/(0)=-ma24-0-1=0,771=0时，a=1有解,m*0时，贝必=1-4m>0,m<一且

mH0.

综上加<;.

4

故选：A.

题型3指对幕函数零点

【例题3](2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)定义在R上的

偶函数/'(x)满足/'(2-x)=f(x+2)偶%G[0,2]时,/(x)=(在尸，若在区间xG[0,10]内,

函数g(x)=/(x)-mx-1,(m>0)有5个零点，则实数m的取值范围是()

A•舟，等)B.(吟9

5(詈，詈户(。号]

【答案】D

【分析】等价于y=/'(x)与y=mx+l(m>0)的图象在xG[0,10]有5个交点，利用已知可

得/'(X)是周期为4的函数，且图象关于x=2对称，画出了(%)的图象结合图象可得答案.

【详解】f[2一(x+2)]=/(-X)=f[(x+2)+2]=/(x+4),

又/(%)是偶函数,所以/'(-X)=/(X),则+4)=/(x),

所以/'(X)的周期为4,由/'(2-x)=f[x+2)得/'(x)的图象关于x=2对称,

当x€[0,2]时，f(x)=(Ve)x,可得f(x)的大致图象如下，

若在区间xG[0,10]内，函数g(x)=/(x)-mx-l(m>0)有5个零点，

等价于y=/'(x)与y=mx+l(m>0)的图象在xG[0,10j有5个交点，

结合图象,当x-10时y-/(x)与y=mx+l(m>0)的图象恰好有5个交点,

当m=0时y=f(x)与y=mx+l(m>0)的图象有3个交点，不符合题意,

可得4(10,e),此时e=10m+1,可得m=胃,

则实数小的取值范围是(0,鬻].

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是等价于y=/'(X)与y=mx+l(m>0)的图象

在Xe[0,10]有5个交点，利用已知条件画出它们的图象，考查了学生的思维能力、运算能

力.

【变式3-1]1.(2021秋•绍兴期末)已知a,b,c€R,a+b+c=0,若3a/+2bx+c=

0(a40)的两个实根是右，x,则+的最小值是()

2|。1一1||02一11

A.-B.-C.V3D.2V3

63

【答案】D

【解析】根据—+—F>2I2：+X)+11以及韦达定理可解得结果•

|2X2-1|yj\4X1X2-2{X1+X2)+1\

【详解】因为3aI+2bx+c=0(aH0)的两个实根是右,x2,

所以Xi+x2=,xrx2=.,

-

所以I(2%1-l)(2x2-l)|\4XtX2—2(X1+X2)+l\

=2AS5==254c+；：4a-al，

因为a+b+c=0,

所以2白泊i=2福即—+Wii22肉当且仅当|2巧-11=吐-11时，等

号成立.

所以―+—刀的最小值是2百.

|2必-1||2X2-1|

故选：D

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【变式3-1]2.(2023•陕西•西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知4>0,若关于

x的方程?一衣+Aln(Ax)=0存在正零点，则实数2的取值范围为()

A.(-00,1]B.[1,4-00)C.(-8,3]D.[3,4-00)

【答案】B

【分析】化简号-X+ln(Ax)=exTn(a-i一比一in(&)]=0,令t=X-ln(&),转化为

et-1-1=。有解，设h(t)=et-1-1,利用导数求得函数九⑴的单调性，结合h⑴=0,得

到h(t)存在唯一零点t=1,转化为1+liU=x-Inx在(0,+8)有解，令p(x)=X-Inx,利

用导数求得函数的单调性，得到1+InA>p(l)=1,即可求解.

【详解】由题意得，《~x+In(Ax)=-x+ln(Ax)=ex-ln(Az)-1-[x-ln(Ax)]=0,

令t=x-ln(4x),问题转化为e^T-t=。有解，

设八(t)=e^-t,则，(t)=e£-1-1,

当te(—8,1)时，h，(t)<o,h(。单调递减；当te(1,+8)时,T(t)>o,h(t)单调递增，

又由八(1)=0,所以/i(t)存在唯一零点t=1,即1=x-ln(Zx)在(0,+8)有解，

即1+InA=x—Inx,令p(x)=x—Inx,则p，(x)=1—^=?,

当xG(0,1)时，p'(x)<0；当xe(1,+8)时，p'(x)>0,

所以函数p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以1+InA>p(l)=1,解得4>1,

故实数4的取值范围为口+8).

故选：B.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

L通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

【变式3-1]3.(2023・吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数/•(>)=e'-

alnx有两个大于1的零点，则a的取值范围可以是()

A.(0,1]B.(1同

C.(即D.[ee+1,e2e)

【答案】D

【分析】由函数人乃有两个大于1的零点,得/Xx)在(L+8)不单调，然后利用导数研究函

数f(x)的单调性即可求解.

【详解】因为函数"X)=e'-alnx有两个大于1的零点，所以f(x)在(1,+8)不单调.

由/(x)=ex—alnx得厂(x)=ex—^(%>0),

当aW0时，尸(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)上单调递增,不符合题意；

当a>0时，显然/(x)=十一(在(0,+8)上单调递增，而r(1)=e-a,

当0<a4e时，当xe(1,+8)时，尸⑺>尸⑴>0,所以<乃在(i,+8)上单调递增,不

符合题意，此时可排除ABC；

当a>e时，因为尸(1)=e-a<o,fr(a)=ea-1>0,

所以存在X。e(l,a),使得/(X。)=ex。一巴=0,即。=XoM。，

XO

当xe(1,%0)时，((x)<0，/'(%)单调递减，

当xGg,+8)时，尸(X)>o,f(x)单调递增，

所以f(X)在X=X。处取得极小值，也是最小值.

而f(1)=e>0,当x趋向正无穷时，f(x)趋向正无穷，

所以当函数八%)有两个大于1的零点时，只要/(%o)<。即可，

xxXox

f(x0)=e°—alnx0=e0—x0elnx0=e0(l—xolnxo),

设y=xex(x>1),则『=(x+l)ex>0,所以y=xex(x>1)单调递增；

设g(x)=1—xlnx,则g'(x)=-Inx-1,当x>相寸，g'(x)=~^nx-1<0,g(x)单调递

减；

对于D,当a€[ee+i,e2e)时,由a=与炉。知X。>e,

x

当通>e时,1-xolnxo<1-e<0,所以/(与)=e°(l-xoinxo)<0,满足题意;

故选：D.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合

思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

【变式3-1]4.(多选X2023•广东广州•华南师大附中校考三模)已知/⑺=等+-

k也eR)有三个不相等的零点与，右，与，且与<%2<x3,则下列命题正确的是()

A.存在实数k,使得》=1

B.勺>e

C.ke(1,|)

D•(詈+岁(詈+3(詈+?为定值

【答案】BCD

【分析】化简方程，令罢=t，得到t2+(1一k)t-k+1=0.构造函数g(x)=詈，则

g，(x)=e•臂，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实

数解%,不，，且与<X2<X3,结合图象可得关于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0一定

有两个实根G,<0<t2<1),结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选

项一一判断即可得出答案.

【详解】由方程学+小一人=。，可得萼+&-卜=。・

X

令平=t,则有t+a一k=0,即产+(1-fc)t-fc+1=0.

令函数g(x)=萼,则“(x)=e-L蓍,

令“(x)>0,解得0<x<e,令<0,解得x>e,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

所以g(x)max=g(e)=等=1,

作出图象如图所示，要使关于%的方程等+忌7-k=0有三个不相等的实数解X】，g,%3，

且Xi<x2<x3，结合图象可得关于t的方程t2+(1--k+1=0一定有两个实根q,

且均<0,0<t2<1或1=1,0<t2<1,

令(gt)=+(1—k)t—/c+1,

：5(0)<0

若G<0,0<t2<1,贝彳

ig⑴〉o，故1<k<|.

1A=卜2+2k-3>0

Ig⑴=0

右=1,0<[2<1，则j5(0)>0,无解，

=fc2+2fc-3>0

综上故C正确；

由图结合单调性可知句>e，故B正确；

若/⑴=1-k=0,则k=l,又kG,故A不正确；

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查导数的应用，解答本题的关键是：令g(x)=萼,判断出函数g(x)的

单调性，结合图象将照+-k=0,表示为关于珀勺函数即可求解.

xeinx+x

题型4含有绝对值函数的零点

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)若函数f(x)=ax2-2x-\x2-ax+1|有且仅有两

个零点，则a的取值范围为.

【答案】(—00,0)U(0,1)U(1,4-00)

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点,再根据根存在的条件即可判断a的取

值范围.

【详解】(1)当/-ax+1>0时,/(%)=0=(a-l)x2+(a-2)x-1=0,

即[(a—l)x—l](x+1)=0,

若a=1时，％=-1,此时%2-ax+1>0成立；

若aH1时，x=1或x=-1,

若方程有一根为％=-1,则1+a4-1>0,即a>一2且aH1；

若方程有一根为X==，贝！1(^)2一aXW+120，解得：aW2且a羊1；

若x==-1时，a=0,此时1+a+l>。成立.

(2)当，—ax4-1<0时,/(%)=0<=>(a+I)%2—(a+2)x+1=0,

即[(a+1)%-l](x-1)=0,

若a=-1时,x=1,显然/一Q%+1v0不成立；

若aH-1时，x=1或x=-47,

若方程有一根为％=1,则1一a+1<0,即Q>2；

2

若方程有一根为％=W，贝KW)—QX充+1v0,解得：Qv—2；

若x=—=1时a=0,显然/一QX+1<0不成立;

a+lf

综上，

当a<-2时,零点为,—-；

a+la-1

当一2Wa<0时，零点为白，-1；

当a=。时，只有一个零点-1；

当0<a<1时，零点为工,-1；

a—1

当a=1时，只有一个零点-1；

当1<aW2时，零点为七,-1；

a—1

当a>2时，零点为1,一1.

所以，当函数有两个零点时，a*0且aH1.

故答案为：(-8,0)u(0,1)U(l,+oo).

【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出

对应的范围，然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出.

【变式4-1]1.(2021春•宁夏校级月考)已知函数/⑺=|%2+3x1,X6R.若方程f⑺-

a|x-l|=。恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.

【答案】(0,1)U(9,+8).

【详解】试题分析：(方法一)在同一坐标系中画/(%)=|%2+3%|和。(%)=a\x-1|的图象

(如图)，问题转化为

/(%)与g(x)图象恰有四个交点.当y=a(x-1)与y=/+3x(或y=-a(x-1)与y=

-%2-3x)相切时,/(%)与g(%)图象恰有三个交点把y=a(x-1)代入y=%2+3x，得，+

2

3x=a(x—1),即/+(3—a)x+Q=0,由4=0,得(3—a)—4Q=0,解得Q—1或a=

9.又当a=。时，/(%)与g(x)仅两个交点,-0<a<1或a>9.

(方法二)显然％H1,..a=||.令t=》一1,则Q=卜+彳+

,•工+；W(-00,-4]U[4,4-oo)r：.t+；+5£(-co,1]U[9,4-oo).结合图象可得0<QV1或

a>9.

考点：方程的根与函数的零点.

【变式4-1]2.(2021秋•浦东新区校级月考)已知函数/(%)=

x

产+(4a-3)x+3a,<«(a>o^a*1)在/?上单调递减，且关于x的方程|/(x)|=2-

久恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是.

【答案】脑啕

【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f(x)为减函

数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围.

【详解】函数小)=匕：黑；*+1U(。>。且…),

在R上单调递减，则：J0<«<1

2

lO+(4a-3)-0+3a>loga(0+1)+1

解得(Q4：・

34

由图象可知，在[0,+8)上=2-x有且仅有一个解，

故在(-8,0)上=2-X同样有且仅有一个解，

当3a>2即a>|时，联立+(4a—3)x+3a|=2—x,

则A=(4a-2A一4(3a-2)=0,解得a=：或1(舍去)，

当1W3aW2时,由图象可知，符合条件，

综上：a的取值范围为乐|]u{%

故答案为图ug).

【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数，除了每一

段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方，经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解

通常转化为函数的零点，或两函数的交点,体现了数学结合思想，属于难题.

【变式4-1】3.(2021秋•瑶海区校级期末)已知函数/'(X),g(x)分别是定义在R上的偶函

数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2、-x,则f(0)的值为；若关于%的方程

2

2w2。211_2/(x-2021)-2A=0有唯一的实数解，则实数4的值为.

【答案】1海-1

【分析】构造函数方程并根据奇偶性可求得函数f(x)的解析式；转化为

2旧一A《2(/+2-t)-2A2=。有唯一解，构造偶函数m(t)=2由一+2^)-2万，

根据偶函数的对称性列式可求得结果.

【详解】V/(%),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

g(o)-o,y(o)+g(o)=2°-o=i,y(o)-1

,­,/(-x)=f(x),g(-x)=_g(x)

又T/(x)+g(x)=2"-x①，

/(-x)+g(-x)=/(x)-gM=2r+%②

Xxx

①+②：2f(x)=2+2-,Af(x)=*2*+2-),

令=23-20211_2/(x_2021)-2"

又••・h(x)=2IX-20211_2/(X_2021)-2A2=2>x-20211-g(2X-2021+2~x+2021)A-2M

换元设x-2021=t

又•••关于x的方程2lA202i|/(x_2021)-2A2=0有唯一的实数解，

igm(t)=2旧一gal2t+2-t)-2A2,

mQ)为偶函数，，当且仅当t=0时为唯一零点，二1一A-2万=0,解得4=(或2=-1.

故答案为：0；(或-1

【点睛】关键点睛：构造函数方程并根据奇偶性求函数解析式、利用偶函数的对称性求解是

解题关键.

【变式4-1]4.(2023•青海西宁统考二模)函数f(x)=4sin=x-|x-1|的所有零点之和

为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令/'(x)=0两个解为零点，将零点问题转换成=4sin^x,h(x)=|x-1|两个

函数的交点问题，作图即可求出零点，且g(x)和/i(x)的图象关于x=1对称，零点也关于x=1,

即可求出所有零点之和.

【详解】令f(x)=0，得4singx=|x-1|,解得x=-3或x=5,即为零点，

令g(x)=4sin^x,/i(x)=|x-1|,

g(x)的周期7=等=4,对称轴x=1+4/c,fceZ,且/i(x)的对称轴x=1,

2

做出g(x)=4sin]x和/i(x)=|x-1|的图象如图所示:

显然，f(功在(0,1)和(L2)上各存在一个零点，

"g⑸-4siny=4=/i(5)=|5-1|,h(4)=3>g(4)=0,在(4,5)上两函数必存在一个

交点，

・••(0)在(4,5］上有两个零点，同理〃久)在［-3,-2)上存在两个零点，

所以f(x)在［-3,5］上存在6个零点，

因为g(x)和无(久)关于尤=1对称，则/(x)零点关于x=1对称，

所以f(x)的所有零点之和为6xl=6.

故选：C

【变式4-1】5.(2021•义乌市月考)已知/(%)=(因+(12-1).呵％+0,满足/(%)20

在定义域上恒成立，贝必的值为

【答案】0.

【分析】要使/'(X)>。在定义域上恒成立，则函数/i(x)=|x|+-1与函数y=ln\x+a|必

有相同零点,进而得解.

【详解】令伉|x+a|=0,解得x=1-a或x=-1-a,

依题意，函数h(x)=闭+a?-1的零点也为x=1-a或x=-1-a,(因为y=ln\x+a|的

值域为R,若函数h(x)=\x\+a2-1的零点不为久=1-a或％=-1-a,则/'(x)<0必有

解，则与题设矛盾.)

即10，解得a：。

U—1一Q|+-1=0

经检验，a=。符合题意.

故答案为：0.

【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，函数的零点，考查逻辑推理能力，属于中档题.

题型5复合函数零点

【例题5](2023秋・河南•高三校联考开学考试)已知函数g(x)=(e为自然对

数的底数)，则函数f(x)=g[gM]-：g(x)-1的零点个数为()

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【分析】令g(x)=u,则方程g[g(x)]-(g(x)-1=0变为了gQ)=：“+1,在同一直角坐

标系中分别画出y=gQ)和y=+1的图象得到相应的a范围，再画出g(x)的图象，结合

图像即可得解.

【详解】首先由g(x)定义知道&=g(x)>0，又由y=g(u)的定义域知道aH0，所以有u>0.

然后在同一直角坐标系中先分别画出y=g(a)和y=Ju+1的图象，如下图所示：

设方程gQ)=|lnu|=iy+1的三个根从大到小依次排列为小,％，

则由图可知0<%<1<的<的•

现在在同一直角坐标系中先分别画出g(x),y=,y=u2,y=%的图象如下图：

由图可知g(x)分别与y=%,y=“2，y=%的图象分别交于4B,C,D,E,F,G一共七个点,

所以方程g[g(x)]-[。⑺-1=0有7个根，

则函数/(幻=g[gM]-：g(x)-1的零点个数为7.

故选：D.

【点睛】关键点睛：解题关键是首先将原问题转化为求方程g[g(x)]-：g(x)-1=0的根之

后，利