第2课时　等式性质与不等式性质 高一数学

2.1

等式性质与不等式性质第2课时

等式性质与不等式性质自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析

自主预习·新知导学等式的性质与不等式的性质1.你能说出等式有哪些基本性质吗?提示:性质1.如果a=b,那么b=a;性质2.如果a=b,b=c,那么a=c;性质3.如果a=b,那么a±c=b±c;性质4.如果a=b,那么ac=bc;2.类比等式的基本性质,你能猜想到不等式的哪些基本性质?提示:性质1

如果a>b,那么b<a;性质2

如果a>b,b>c,那么a>c;性质3

如果a>b,那么a±c>b±c;性质4

如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果a>b,c<0,那么ac<bc.3.

4.(1)设b<a,d<c,则下列不等式一定成立的是(

)A.a-c>b-d

B.ac>bdC.a+c>b+d

D.a+d>b+c(2)如果a>b,那么下列不等式一定成立的是(

)A.c-a>c-b

B.-2a>-2bC.a+c>b+c

D.a2>b2解析:(1)由b<a,d<c,利用性质5,得b+d<a+c.(2)由a>b,利用性质3,得a+c>b+c.答案:(1)C

(2)C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.

合作探究·释疑解惑探究一

利用不等式的性质判断命题的真假【例1】

判断下列四个命题的真假:(1)若a<b<0,则(2)若a>b>c,则有a|c|>b|c|;(3)若a>b,c<d,则有a-c>b-d;(4)若b<a<0,n∈N,n>1,且n为奇数,则有an>bn.∴该命题是假命题.(2)∵a>b,|c|≥0,当c≠0时,|c|>0,∴a|c|>b|c|;当c=0时,|c|=0,∴a|c|=b|c|=0.∴该命题是假命题.(3)∵c<d,∴-c>-d.又a>b,∴a+(-c)>b+(-d).即a-c>b-d.∴该命题是真命题.(4)∵b<a<0,∴-b>-a>0.∴(-b)n>(-a)n(n∈N,n>1).∵n为奇数,∴-bn>-an,∴an>bn.∴该命题是真命题.反思感悟1.运用不等式的性质判断命题的真假时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然地随意捏造性质.2.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.【变式训练1】

(多选题)已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列不等式一定成立的是(

)答案:ABD探究二

利用不等式的性质证明不等式【例2】

(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc;分析:根据条件选择合适的不等式的基本性质证明有关不等式.反思感悟用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式与已知条件的关系,利用相应的不等式性质证明;要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘(除以)一个不为0的常数;一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的;一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等.探究三

利用不等式的性质求代数式的取值范围【例3】

已知-1<x<4,2<y<3.(1)求x-y的取值范围;(2)求3x+2y的取值范围.解:(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.(2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.将本例条件改为“-1<x<y<3”,求x-y的取值范围.解:因为-1<x<3,-1<y<3,所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4.又x<y,所以x-y<0,所以-4<x-y<0.反思感悟1.利用几个不等式的取值范围来确定某代数式的取值范围是一类常见的综合问题,解题时要紧扣不等式的基本性质,不能直接将几个已知不等式相加减或相乘除.2.注意提升逻辑推理和数学运算能力.【变式训练3】

若x>1,y>2,则:(1)2x+y>

;

(2)xy>

.

答案:(1)4

(2)2易

错

辨

析错用不等式的性质致错【典例】

已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.错解:1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4,②以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的.那到底是为什么呢?我们先看不等式4a-2b≥3什么时候取等号,由上述解题过程可知,当

,才取等号,而此时a-b=0,不满足①式,因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来做变形,是非同解变形,因此结论是错误的.防范措施1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的取值范围.2.同向(异向)不等式的两边可以相加(减