第2课时　一元二次不等式的实际应用 高一数学

2.3

二次函数与一元二次方程、不等式第2课时

一元二次不等式的实际应用自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析

自主预习·新知导学一元二次不等式的解集是R或⌀的含义1.解决一元二次不等式的解集是R或⌀的问题,可以借助二次函数的图象求解,请把下列结论补充完整:2.(1)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集为⌀,则(

)A.a<0,Δ>0

B.a<0,Δ≤0C.a>0,Δ≤0 D.a>0,Δ<0(2)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是

.

解析:(1)因为不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集为⌀,所以二次函数y=ax2+bx+c的图象全在x轴上方,即a>0,Δ<0.(2)由题意知,Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0.答案:(1)D

(2)-4<a<0【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1,或x>x2},则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(√)(2)关于x的不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0,且Δ=b2-4ac≤0.(×)(3)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(√)

合作探究·释疑解惑探究一

二次方程、二次函数、二次不等式间的关系分析:先由ax2+bx+2>0的解集为

,得出方程ax2+bx+2=0的实根,再由根与系数的关系求出a,b的值并得出2x2+bx+a<0的解集.反思感悟1.本题是二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间关系的灵活运用,注意“三个二次”间的关系,即一元二次方程的两根对应着二次函数图象与x轴两交点的横坐标,对应着一元二次不等式解集中的端点值.2.已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:(1)根据解来判断二次项系数的符号;(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.【变式训练1】

已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,x2+x-6<0的解集为B,x2+ax+b<0的解集为C,若C=A∩B,求a,b的值.解:x2-2x-3<0的解集A为{x|-1<x<3},x2+x-6<0的解集B为{x|-3<x<2}.∵C=A∩B,∴集合C={x|-1<x<2},∴x1=-1,x2=2是方程x2+ax+b=0的两根,∴a=-1,b=-2.探究二

一元二次不等式的恒成立问题【例2】

若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.解:由题意可知当m+1=0,即m=-1时,原不等式可化为2x-6<0,解得x<3,不符合题意,应舍去.当m+1≠0时,由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,反思感悟1.本题中二次项系数不确定,应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.2.一元二次不等式恒成立问题的常见类型:设y=ax2+bx+c(a≠0).答案:D探究三

一元二次不等式的实际应用【例3】

某摩托车生产企业,上年度生产车辆投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的百分比为x(0<x<1),则出厂价相应提高的百分比为0.75x,同时预计年销量增加的百分比为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的百分比x之间的关系式;(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的百分比x应在什么范围内?解:(1)每辆车投入成本增加的百分比为x,则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,年销量为1

000×(1+0.6x)辆.故y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1

000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0<x<1).反思感悟1.解决本题的关键是利用题目给出的等量关系,即年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量,转化为函数形式.解有关不等式的应用问题时,有时一个不等式还不足以解决问题,必须列出相应的不等式组才可以.2.用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)还原:把数学结论还原为实际问题.【变式训练3】

国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策,现知某种酒每瓶定价70元,不征收附加税时,每年大约销售100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元征税R元(即税率R%),则每年的销售量将减少10R万瓶,若政府每年在此项经营中所征收附加税金不少于112万元,则R应怎样确定?解:由题意得,70×(100-10R)×R%≥112,化简得R2-10R+16≤0,解得2≤R≤8.故当2≤R≤8时,每年在此项经营中所征收附加税金不少于112万元.易

错

辨

析忽略二次项系数为零致错【典例】

已知函数y=(a-2)x2+2(a-2)x-2的图象在x轴下方,求实数a的取值范围.错解:由题意知,y<0恒成立,故a的取值范围是{a|0<a<2}.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:当a=2时,y=-2,满足其图象在x轴下方,此时不能用根的判别式.防范措施1.二次项系数含参数时,要严格分系数为正、系数为0