平面(2)课件 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.了解由基本事实1和基本事实2得到的3个推论．2.能运用3个基本事实及其推论解决一些简单的问题．活动方案活动一了解确定平面的依据过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面．用图形表示：过不共线的三点A，B，C的平面通常记作“平面ABC”．【解析】

略思考1►►►自行车的撑脚一般安装在自行车的什么位置？能不能安装在前后轮一条直线的地方？思考2►►►照相机支架需要几条腿？两条行不行？【解析】3条不行【解析】

不能．因为如果这三点、四点在同一条直线上就不能确定一个平面．回顾基本事实1，体会确定一个平面的条件．思考3►►►分别经过三点、四点能确定唯一的平面吗？为什么？思考4►►►过一条直线l和直线l外一点A的平面有几个？【解析】

一个【解析】

在直线l上任取两点B，C.因为点A不在直线l上，根据基本事实1，经过不共线三点A，B，C有一个平面α.因为B∈l，C∈l，且B∈α，C∈α，所以根据基本事实2，得l⊂α，即平面α

经过直线l和点A.因为点B，C在直线l上，所以经过直线l和点A的平面一定经过点A，B，C.再根据基本事实1，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个，所以经过直线l和点A的平面只有一个．推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．已知：直线l，点A∉l.求证：过直线l和点A有且只有一个平面．证明：【解析】

设直线a，b相交于点C，在直线a上取不同于点C的点A，点A在直线b外．由推论1，得过直线b和点A有一个平面α.因为直线a上的两点A，C在α内，所以a⊂α，因此经过a，b有一个平面α.经过a，b的平面一定经过点A和直线b，由推论1，这样的平面只有一个，所以经过两条相交直线a，b的平面有且只有一个．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．已知：直线a，b相交．求证：过直线a，b有且只有一个平面．证明：【解析】

根据平行线的定义(同一平面内没有公共点的两条直线)可知，直线a和直线b一定在同一个平面内．在直线a上任取一点A，因为a∥b，所以点A不在直线b上，由推论1可知，经过点A和直线b的平面只有一个．因为经过直线a和直线b的平面一定经过点A和直线b，所以经过直线a和直线b的平面只有一个．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．已知：直线a∥b.求证：过直线a，b有且只有一个平面．证明：【解析】

用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，若这两根细绳相交，则说明桌子四条腿的底端在同一平面内，否则就不在同一平面内，说明桌子有问题，依据的是推论2.思考5►►►下图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查一下桌子的四条腿的底端是否在同一个平面内吗？活动二平面的基本事实及其推论的简单应用例1已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l.求证：直线AD，BD，CD共面．【解析】

因为D∉l，所以直线l与点D可以确定平面α.因为A∈l，所以A∈α.因为D∈α，所以AD⊂α.同理BD⊂α，CD⊂α，所以直线AD，BD，CD在同一平面α

内，即它们共面．确定一个平面，只要根据基本事实1和基本事实2及其3个推论即可．如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．【解析】

因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内．例2如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．【解析】

因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以l⊂α.因为b∥c，所以b，c确定一个平面β.同理可证l⊂β.于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l.又因为b与l不重合，所以α与β重合，所以a，b，c，l共面．在证明共面问题时，先根据条件确定平面，再证明其他的点或线在这个平面内．(2)由(1)知EF∥HG，且EF≠HG，所以设EH与FG交于点P，如图，延长EH，FG相交于点P.因为EH⊂平面ABD，P∈EH，所以P∈平面ABD.同理点P∈平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以点P在直线BD上，所以直线EH，BD，FG相交于一点．检测反馈245131.下列说法中，正确的是(

)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形．A.①④

B.①②

C.②④

D.③④24513【解析】

因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确．综上，正确的是②④.【答案】C24513【解析】

如图，由题意，得MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ.因为R∈l，l⊂β，所以R∈β.因为P∈γ，P∈β，所以β∩γ＝PR.2.已知平面α∩平面β＝l，M∈α，N∈α，P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于(

)A.PR B.MR

C.PM D.NR【答案】A245313.(多选)下列说法中，正确的是(

)A.不共面的四点中，其中任意三点不共线B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面24531【解析】

在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，故A正确；在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，故B不正确；选项C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，故D正确．故选AD.【答案】AD24531【解析】(1)连接BD.若EH∩FG＝P，则P∈平面ABD，且P∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.(2)连接AC.若EF∩GH＝Q，则Q∈平面ABC，且Q∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.4.如图，A，B，C，D为不共面的四点，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上.(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．【答案】(1)BD

(2)AC24531【解析】

如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.因为l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，所以l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1，P∈l2.因