2019年湖南省长沙市中考数学试卷（解析版）

A.15X109B.1.5X109C.1.5X1O10D.0.15X1011

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为oX10"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【解答】解：数科学记数法表示为1.5X101°.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中1W间<10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

3.（3分）（2019•长沙）下列计算正确的是（）

A.3a+2b=5abB.（a3）2=a6

c6•3__2]-»z7\2__2172

C.ci~ci~~aD.（〃+£?）a+。

【考点】35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；48：同底数塞的除法；4C：完全

平方公式.

【专题】11：计算题.

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数累的除法法则、越的乘方法则以及完全平

方公式解答即可.

【解答】解：43a与26不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；

B、（J）2=J,故选项8符合题意；

C>a>^-a—a,故选项C不符合题意；

D、（q+b）2=a2+2ab+b2,故选项。不合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了幕的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌

握运算法则是解答本题的关键.

4.（3分）（2019•长沙）下列事件中，是必然事件的是（）

A.购买一张彩票，中奖

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.任意画一个三角形，其内角和是180°

【考点】K7：三角形内角和定理；XI：随机事件.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事

件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.

【解答】解：A.购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；

B.射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；

。.任意画一个三角形，其内角和是180。，属于必然事件，符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件.

5.（3分）（2019•长沙）如图，平行线AB,被直线AE所截，Zl=80°,则/2的度数

是（）

AEki

2

B>D>

A.80°B.90°C.100°D.110°

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案.

【解答】解：•••/：!=80°,

.•.Z3=1009,

'：AB//CD,

.•.Z2=Z3=100°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解

题关键.

6.（3分）（2019•长沙）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

A.B.

c.D.

【考点】U3：由三视图判断几何体.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；63：空间观念.

【分析】根据几何体的三视图判断即可.

【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.

故选：D.

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，

难度不大.

7.（3分）（2019•长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成

绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能

否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【考点】WA：统计量的选择.

【专题】542：统计的应用.

【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可.

【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故选：B.

【点评】本题考查了中位数意义.解题的关键是正确的求出这组数据的中位数.

8.（3分）（2019•长沙）一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是（）

A.2KB.4TtC.12nD.24Tl

【考点】MO：扇形面积的计算.

【专题】11：计算题.

2

【分析】根据扇形的面积公式5=虚出一计算即可.

360

【解答】解：s=12QX7lX62=12it,

360

故选：C.

2

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nnR是解题的关键.

360

9.（3分）（2019•长沙）如图，RtAABCZC=90°,ZB=30°,分别以点A和点8

为圆心，大于L1B的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交8C于点

2

D,连接AD,则NCA。的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】13：作图题.

【分析】根据内角和定理求得/8AC=60°,由中垂线性质知即/

=30°,从而得出答案.

【解答】解：在△ABC中，VZJ5=3O°,ZC=90°,

AZBAC=180°-ZB-ZC=60°,

由作图可知MN为AB的中垂线，

:.DA=DB,

：.ZDAB=ZB^30°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=30°,

故选：B.

【点评】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键.

10.（3分）（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔6Qnmile

的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的8

处，这时轮船8与小岛A的距离是（）

北

A.3bJ^nrnileB.GOnmile

C.120nmileD.(30+30^3)nmile

【考点】TB：解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力；69：应用意识.

【分析】过点C作dAB,则在RtAACD中易得A。的长，再在直角△8。中求出

BD,相加可得A8的长.

【解答】解：过C作于。点,

AZAC£>=30°,NBCD=45°,AC^60.

在RtAACD中，cosZACD=—,

AC

CZ)=AUcosZACD=60X近=3Ch/5.

2

在RtZXOCB中，VZBCD=ZB=45°,

：.CD=BD=30\[^,

：.AB=AD+BD=30+30V3.

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+3073)nmile.

故选：D.

北

I

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题

一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

11.（3分）（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是:

“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”

意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木

头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正

确的是（）

fy=x+4.5fy=x+4.5

[0.5y=x-l（y=2x-l

Jy=x-4.5j产x-4.5

'10.5y=x+l'ly=2x-l

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

（y=x+4.5

[0.5y=x-l

故选：A.

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列

出相应的方程组.

12.（3分）（2019•长沙）如图，ZVIBC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,D是

线段BE上的一个动点，则CDN』BD的最小值是（）

A.2-75B.4旄C.5MD.10

【考点】KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】如图，作。于”，于由tanA=&殳=2,设BE=2a,

AE

利用勾股定理构建方程求出a,再证明DH=^-BD,推出CD+匡BD=CD+DH,由垂

55

线段最短即可解决问题.

【解答】解：如图，作。于H,CMLA8于M.

ZAEB=9Q°,

VtanA=-^-=2,设AE=a,BE=2a,

AE

则有：100=/+442,

〃=20,

・・・4=2遥或-2灰（舍弃），

BE=2a=4A/5，

9：AB=AC,BELAC,CMLAB,

:.CM=BE=4炳（等腰三角形两腰上的高相等））

ZDBH=/ABE,ZBHD=/BEA,

・•/ngDHAEV5

BDAB5

5

CQ+立BD=CD+DH,

5

：.CD+DH^CM,

：.CD+J^-BD的最小值为4A/5.

5

故选:B.

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.（3分）（2019•长沙）式子在实数范围内有意义，则实数无的取值范围是x25.

【考点】72：二次根式有意义的条件.

【专题】514：二次根式.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.

【解答】解：式子J启在实数范围内有意义，则x-5'O,

故实数x的取值范围是：x25.

故答案为：尤》5.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.

14.(3分)(2019•长沙)分解因式：-9a=a(v+3)(〃7-3).

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】44：因式分解.

【分析】先提取公因式。，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】解：am2-9a

=a(m2-9)

=a(m+3)(m-3).

故答案为：a(m+3)(m-3).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提

取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15.(3分)(2019•长沙)不等式组[x+l可的解集是-iWx<2.

[3x-6<0

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式(组)及应用.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的

解集.

【解答】解：卜

[3x-6<0②

解不等式①得：》》-1，

解不等式②得：x<2,

...不等式组的解集为：-lWx<2,

故答案为：TWx<2.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

16.（3分）（2019•长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差

另！J,从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中

并摇匀，不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

摸球实验次数100100050001000050000100000

“摸出黑球”的次数36387201940091997040008

“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是0.4.（结果保留小数点后一位）

【考点】V7：频数（率）分布表；X8：利用频率估计概率.

【专题】542：统计的应用.

【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；

【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，

故摸到白球的频率估计值为0.4；

故答案为：0.4.

【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个

事件发生的频率能估计概率.

17.（3分）（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A,8两点间的距离，可以在池塘外

选一点C,连接AC,BC,分别取AC,的中点。，E,测得。£=50机，则的长是

【考点】KX：三角形中位线定理.

【专题】552：三角形.

【分析】先判断出DE是AABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等

于第三边的一半可得AB=2DE,问题得解.

【解答】解：：点。，£分别是AC,BC的中点,

.,.OE是AABC的中位线,

AB=2DE=2X50=100米.

故答案为：100.

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并

准确识图是解题的关键.

18.（3分）（2019•长沙）如图，函数y=K1为常数，左＞0）的图象与过原点的。的直线

X

相交于A,B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM

分别交x轴，y轴于C,。两点，连接8M分别交x轴，y轴于点E,F.现有以下四个结

论：

①与△OC4的面积相等；②若于点则/MBA=30°；③若/点

的横坐标为1,△OAM为等边三角形，贝1」左=2+正；④若则AW=2AM.

5

其中正确的结论的序号是①⑶⑷.（只填序号）

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】①设点A（m,四），M（M,其），构建一次函数求出C,。坐标，利用三角形

mn

的面积公式计算即可判断.

②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立.

2

③设k）,由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM,可得1+针=机2+7，

ID

推出m=k,根据OM=AM,构建方程求出k即可判断.

④如图，作MK〃O。交。4于K.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

【解答】解：①设点AGn,上），M（〃,X）,

mn

则直线AC的解析式为y=-"

mnnm

：.C(根+〃，0),D(0,(/n)k),

mn

••・昆0£)加二工x九*」'口吐门'"',=lR*IL)k_,S/^OCA=—X(加+〃)xN=」"n，k,

2inn2m2IT121rl

•••△OQM与△OCA的面积相等，故①正确；

・・,反比例函数与正比例函数关于原点对称，

・・・。是45的中点，

：.OM=OA,

••k=mri,

.'.A(m,"),M(n,m),

：.AM=42"m),O^=J2+n2,

不一定等于OM,

/BAM不一定是60°,

.../MBA不一定是30°.故②错误，

点的横坐标为b

.•.可以假设M(1,k),

•..△OAM为等边三角形，

：.OA^OM^AM,

22k2

l+k=m+—,

2

in

Vm>0,k>0,

・・iri^~kj

'/OM=AMf

：.(1-/77)2+&上产=1+必,

ID

.,.F-4H1=O,

:.k=2±如,

Vm>L

：.k=2-^/3,故③正确，

如图，作MK〃。。交。4于K.

•/OF//MK,

.FM=0K=2_

••丽KBT

•.0•K_一2-,

OB3

'：OA^OB,

.OK_2

••--——9

OA3

.OK_2

••--—f

KA1

\'KM//OD,

•.D•M_OK_o乙,

AMAK

：.DM^2AM,故④正确.

故答案为①③④.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成

比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线

分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第

23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、

证明过程或验算步骤）

19.（6分）（2019•长沙）计算：|-721+（―）1-764-73-2cos60".

2

【考点】6F：负整数指数塞；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】514：二次根式.

【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数哥的意义和特殊角的三

角函数值进行计算.

【解答】解：原式=血+2-46+3-2x1

2

=V2+2-V2-1

=1.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行

二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵

活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

20.（6分）（2019•长沙）先化简，再求值：（空之-工）+&+产+4,其中a=3.

2

a-1a-1a-a

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将。的值代入进行计算即可.

【解答】解：原式=空2..-1）

aT（a+2）2

__a_

a+2

当。=3时，原式=--=二.

3+25

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

21.（8分）（2019•长沙）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动.为

了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生

进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制

了如下不完整的统计表和条形统计图.

等级频数频率

优秀2142%

良好m40%

合格6〃％

待合格36%

（2）补全条形统计图；

（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”

等级的学生共有多少人.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；

（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；

（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论.

【解答】解：（1）本次调查随机抽取了21+42%=50名学生，加=50X40%=20,n=@

5c

X100=12,

故答案为：50,20,12；

（2）补全条形统计图如图所示;

等级

【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

22.（8分）（2019•长沙）如图，正方形ABC。，点E,尸分别在AD,CD±.,且。E=CR

AF与BE相交于点G.

（1）求证：BE=AF；

（2）若48=4,DE=1,求AG的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）由正方形的性质得出尸=90°,AB=AD=CD,得出

由SAS证明△BAEgAADF,即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出得出/G4E+NAEG=90°,因此NAGE

=90°,由勾股定理得出8E=JAB2+AE2=5,在RtZVIBE中，由三角形面积即可得出

结果.

【解答】（1）证明：：四边形ABCD是正方形，

：.ZBAE=ZADF=9Q°,AB=AD=CD,

•：DE=CF,

：.AE=DF,

'AB=AD

在△BAE和△ADF中，，ZBAE=ZADF，

,AE=DF

.'.△BAE^AADF（SAS）,

：.BE=AF；

（2）解：由（1）得：ABAE0AADF,

：.ZEBA=ZFAD,

：.ZGAE+ZAEG^90°,

AZAGE=90°,

:A3=4,DE=1,

：.AE=3,

B£=VAB2+AE2=V42+32=5'

在Rt^ABE中，^-ABXAE=^BEXAG,

22

.…4X3—12

55

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面

积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

23.（9分）（2019•长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施

意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上

线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42

万人次.

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】（1）设增长率为无，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益

学生2.42万人次”可列方程求解；

（2）用2.42X（1+增长率），计算即可求解.

【解答】解：（1）设增长率为x,根据题意，得

2（1+x）2=2.42,

解得尤1=-2.1（舍去），尤2=01=10%.

答：增长率为10%.

（2）2.42（1+0.1）=2.662（万人）.

答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

24.（9分）（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例

的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直

接在横线上填写“真”或"假").

①四条边成比例的两个凸四边形相似；(假命题)

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(假命题)

③两个大小不同的正方形相似.(真命题)

(2)如图1,在四边形ABCD和四边形A/iCiOi中，ZABC=ZA1B1C1，ZBCD=Z

B1C1D1，处-=B'、-=CD.求证：四边形48。)与四边形43相似.

A[BiB।CjC।D।

(3)如图2,四边形A3。中，AB//CD,AC与8。相交于点。，过点O作环〃A8分

别交4。，BC于点、E,F.记四边形ABFE的面积为Si，四边形EEC。的面积为必，若

So

四边形ABFE与四边形EFCD相似，求—的值.

S1

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)根据相似多边形的定义即可判断.

(2)根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可.

(3)四边形与四边形£PC£＞相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明。月

AE即可.

【解答】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等.

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例.

③两个大小不同的正方形相似.是真命题.

故答案为假，假，真.

(2)证明：如图1中，连接8。，BiDi.

CD

NBCD=/B<iDi，且

B[Ci

△BCDS^BICIDI，

NCDB="DiBi，/CiBR=/CBD,

AB_BC_CD

A[B]B।C।C।Dj

BD_AB,

B[D[A]Bi

ZABC=ZAiBiCv

ZABD=ZArBiDi，

△ABD^AAiBiDp

城'.二萩，ZA=ZAi，ZADB^ZAiDiBt，

A1D1A1B1

AB_BCCDAD

,ZADC^ZAiD^Ci，ZA=ZAi，NABC=/

A1B1B1C1CpD7M；

A\B\C\,^BCD=^B\C\D\,

四边形ABC。与四边形AJBICIDI相似.

(3)如图2中,

,/四边形ABCD与四边形EFCD相似.

.DE=EF

"AEAB，

'：EF=OE+OF,

.DE_QE+OF

•,蕊AB

'：EF//AB//CD,

.DE=OEDE=OC=OF

"ADAB(ADABAB

.DE+DE=OE+OF

"ADADABAB)

•2DE=DE

""AD"前，

\'AD=DE+AE,

.2_1

"DE+AEAE)

：.2AE=DE+AE,

C.AE^DE,

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

25.（10分）（2019•长沙）已知抛物线y=-2/+（6-2）x+（c-2020）（b,c为常数）.

（1）若抛物线的顶点坐标为（1,1）,求b,c的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数叩n当mWxW”时，恰好

2nri-ly+2

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】151：代数综合题.

【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y=-2?+（&-2）x+（c-2020）

可知，y--2（x-1）~+1,易得b、c的值；

（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（孙，比），（-冲，-为），

代入函数解析式，经过化简得到c=2无（）2+2020,易得c22020；

（3）由题意知，抛物线为＞=-2X2+4X-1=-2（x-1）2+1,贝!JyWl.利用不等式的性

质推知：易得1W相＜九由二次函数图象的性质得到：当％=初时，y最大值

nm

nn1917

=-2m+4m-1.当x—n时，y最小值=-In+4〃-1.所以士=-2m+4m-1,—=-2n+4〃

inn

-1通过解方程求得相、〃的值.

【解答】解：(1)由题可知，抛物线解析式是：尸-2(x-1)2+1=-2，+4x-1.

,fb-2=4

'lc-2020=-l'

：.b=6,c=2019.

(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(项，死)，(-尤o，-V0))

---

yn=2xn^+(b2)Xn+(c2020)

代入解析式可得：<2

=---

-yp2xQ(b2)XQ+(C-2020)

2

.•.两式相加可得:-4X0+2(C-2020)=0.

2

.•.C=2XO+2O2O,

.,.c>2020；

(3)由(1)可知抛物线为y=-2f+4x-1=-2(尤-1)2+l.

•'.yWl.

,：0<m<n,当加WxW”时，恰好_^W」一W」一，

2irri-ly4-22n+l

^1,即机21.

ID

「・1Wm<〃.

・・,抛物线的对称轴是％=1,且开口向下,

，当mWxW〃时，y随x的增大而减小.

**.当x—m时，y最大值=-2m+4m-1.

=

当xn时，y最小值=-2/+4〃-1.

又工

nin

一二-2n+4nT①

n

.,.s.

1n

一二-21n+4mT②

m

将①整理，得2二-4^2+n+l=0,

变形，得2/(〃-1)-(2〃+1)(〃-1)=0.

(n-1)(2«2-In-1)=0.

•">1,

：.2n-2n-1=0.

解得町=上逅(舍去)，改=上正.

22

同理，由②得到：(根-1)(2m-2m-1)=0.

V

2m2-2m-1=0.

解得〃“=1,加2=上巨(舍去)，加3=上正(舍去)•

22

综上所述，m—1,“=1+F.

2

【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标

特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元

二次方程的解法.该题计算量比较大，需要细心解答.难度较大.

26.(10分)(2019•长沙)如图，抛物线>=依2+6取(。为常数，a>0)与无轴交于。，A

两点，点B为抛物线的顶点，点。的坐标为0)(-3<?<0),连接8。并延长与过

O,A,8三点的。尸相交于点C.

(1)求点A的坐标；

(2)过点C作。尸的切线CE交x轴于点E.

①如图1,求证：CE=DE；

②如图2,连接AC,BE,BO,当时，求的值.

30D0E

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】15：综合题；535：二次函数图象及其性质；55A：与圆有关的位置关系.

【分析】（1）令y=0,可得ov（x+6）=0,则A点坐标可求出;

（2）①连接PC,连接延长交x轴于点由切线的性质可证得

贝UCE=DE；

2

②设OE=m,由C^=OE-AE,可得—,由/CAE=/OBE可得里则

6+2tBE0E

1rp综合整理代入」-L可求出」--L的值.

-t-6tin0D0E

【解答】解：（1）令"2+6办=0,

ax(x+6)=0,

AA(-6,0)；

（2）①证明：如图，连接PC,连接尸8,延长交x轴于点

：OP过。、A、B三点,B为顶点,

：.PM±OA,ZPBC+ZBOM=90a,

又,：PC=PB,

：.ZPCB=ZPBC,

为切线，

：.ZPCB+ZECD=90°,

又,：NBDP=NCDE,

：.ZECD=ZCOEf

：.CE=DE.

②解：设0£=机，即E(M,0),

由切割线定理得：CW=OE・AE,

2

(m-t)

+2_

nF_;----①，

6+2t

•：NCAE=NCBD,

/CAE=/OBE,NCBO=/EBO,

由角平分线定理:BD_QD

Bf=OE

即:J(3+t)2+27_H

H3+m)2+2710

ITF6[②,

-t-b

由①②得t?=6t

6+2t-t-6

整理得：r+18f+36=0,

7

.\t=-18z-36,

.11_11_3t+61

••丽而—丁一”专

【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与X轴的交点坐标、切线

的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识.把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆

的性质进行计算是解题的关键.

考点卡片

1.有理数大小比较

(1)有理数的大小比较

比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示

的两个有理数，右边的数总比左边的数大)；也可以利用数的性质比较异号两数及。的大小,

利用绝对值比较两个负数的大小.

(2)有理数大小比较的法则：

①正数都大于0；

②负数都小于0；

③正数大于一切负数；

④两个负数，绝对值大的其值反而小.

【规律方法】有理数大小比较的三种方法

1.法则比较：正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对

值大的反而小.

2.数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.

3.作差比较：

若a-b>0,则a>b；

若a-b<0,则a<b；

若a-b=0,贝！Ia=b.

2.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10n,其中lWa<10,

w为正整数.】

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

4.塞的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（很，〃是正整数）

注意：①哥的乘方的底数指的是嘉的底数；②性质中“指数相乘”指的是塞的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数幕的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

Cab）n=anbn（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

5.同底数塞的除法

同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.

（aWO,〃是正整数，相＞〃）

①底数。W0,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数幕除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

6.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2—a2±2ab+bi.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的0,6可是单项式，也可以是多项式；（2）

对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

7.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

8.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

9.负整数指数第

负整数指数幕：ap=iap（«#0,0为正整数）

注意：①aWO；

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数基的意义计算，避免出现（-3）"=（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

10.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如小（。20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.«Q20）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二