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文档简介
第8章立体几何初步章末综合类型1空间几何体的表面积和体积1.主要考查空间几何体的几何体表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题;对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养.【例1】(1)(2022·山东泰安期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥AC,A1A⊥BC,平面A1BC⊥平面AA1B,AC=5,若该三棱柱存在体积为43π的内切球,则三棱锥A-A1BCA.23B.4(2)如图所示(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2空间点、线、面位置关系1.空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系,平行、垂直关系的相互转化如图所示.2.通过线线、线面、面面平行、垂直关系的相互转化,提升直观想象和逻辑推理素养.【例2】(1)(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,其中正确的是()A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM与BN的平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为60°(2)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.求证:①AC⊥B1C;②AC1∥平面CDB1.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3空间角的计算1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时要先找角,再证角,最后在三角形中求角.2.通过找角、证角、求角,提升逻辑推理与数学运算素养.【例3】如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:(1)AO与A′C′所成的角的大小;(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值;(3)二面角B-AO-C的大小.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型4空间距离的计算1.我们已学习过的空间距离的计算主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离,其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心,通常借助几何体的等体积法求解.2.通过三种距离间的转化,提升逻辑推理和数学运算素养.【例4】如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,DC=3,点E在CD上,且DE=2,将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2).(1)求点B到平面ADE的距离;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP∥平面ADE?若存在,求三棱锥P-ABC的体积;若不存在,请说明理由.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________章末综合提升例1(1)D[如图所示,因为C1C⊥AC,A1A⊥BC⇔C1C⊥BC,AC∩BC=C,所以CC1⊥平面ABC,又因为平面A1BC⊥平面AA1B,平面A1BC∩平面AA1B=A1B,过点A作AE⊥A1B,则AE⊥平面A1BC,则AE⊥BC.又因为BC⊥BB1,所以BC⊥平面AA1B,AB⊂平面ABB1A1,所以AB⊥BC.设AB=c,AC=b,BC=a,则b2=a2+c2,又因为三棱柱内切球的体积为43π,则43π=43πR3又R=c+a-b2,即c+a-b解得ac=12,棱柱的高等于内切球直径2,所以VA-A1BC故三棱锥A-A1BC的体积为4.故选D.](2)解:由题意知,所求几何体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面,S半球=8πcm2,S圆台侧=35πcm2,S圆台底=25πcm2,故所求几何体的表面积为68πcm2.由V圆台=13×[π×22+π×22×π×52+π×52]×4=52π(cm3),V半球=4所以所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-163π=1403π(cm例2(1)CD[结合题图,显然直线AM与C1C是异面直线,直线AM与BN是异面直线,直线BN与MB1是异面直线.连接D1C,AD1(图略),直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角,在等边三角形AD1C中,易知∠ACD1=60°,所以直线MN与AC所成的角为60°,故选CD.](2)证明:①∵C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC.∵AC=9,BC=12,AB=15,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1B1,而B1C⊂平面BCC1B1,∴AC⊥B1C.②连接BC1交B1C于点O,连接OD.如图,∵O,D分别为BC1,AB的中点,∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.例3解:(1)∵A′C′∥AC,∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).∵AB⊥平面BC′,OC⊂平面BC′,∴OC⊥AB,又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO⊂平面ABO,∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC=22,AC=2∴sin∠OAC=OCAC=12,∴∠即AO与A′C′所成的角为30°.(2)如图,作OE⊥BC于点E,连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD,平面BC′∩平面ABCD=BC,OE⊂平面BC′,∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中,OE=12,AE=12+∴tan∠OAE=OEAE=5即AO与平面ABCD所成的角的正切值为55(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.即二面角B-AO-C的大小为90°.例4解:(1)取AE中点G,连接DG,因为AD=DE=2,所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG⊂平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.在直角三角形ADE中,因为AD=DE=2,∴AE=22,所以DG=12AE=2.又S△ABE=5,S△ADEVD-ABE=VB-ADE=13S△ABE·DG=13S△ADE·d
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